1、幂级数的和函数 一、 幂级数的运算： 设 与0nnnax=0nnnbx=两个幂级数，收敛半径分别为1R ,2R ,则在它们的公共收敛域内可以进行如下的四则运算： i 加法和减法：00nnnnax bx= = 0()nnnnabx=其中 、 为常数。当12R R 时，上式的收敛半径为12min , R RR=ii 乘法和除法： 000nnnn nax bx cx = = n1其中011nnn ncabab ab= +二、 和函数： 设 的收敛半径为 R (R0)， 为和函数，则有以下性质成立 0nnnax=0()nnnSx ax=i 和函数在（-R,+R ）内可导，并且有逐项求导公式： 100(
2、) ( )nnnnSx ax nax=且，同时求导之后，幂级数的收敛半径不变。 ii 由此，和函数 S（ x）在（-R,+R ）内任意次 可导，并有逐项求导公式： () ()00() ( )(1)(2)( 1)knknnnknnSx axnn n n k ax=+它的收敛半径仍然为 R。 iii 在（-R,+R ）内逐项积分公式成立 10000()1xxnnnnnnaS t dt a t dt xn+=+ 并且，逐项积分后收敛半径也不变 iv 若幂级数 在 X=R(-R)出收敛，则该幂级数： 0nnnax=（ A） 0lim ( )nnxRnSx aR=0lim ( ) ( )nnxRnSx
3、a R+=（ B） 可以在 0,R或者-R,0 上逐项积分，即： 100()1RnnnaSxdx Rn+=+010() ( )1nnnRaSxdx Rn+=+（ C） 逐项求导之后的级数100() ( )nnnnSx ax nax=在 X=R(-R)处可能发散。 （ D） 若 在 X=R(-R)处发散， 则逐项求导之后的级数在 X=R(-R)一定发散。 0nnnax=（ E） 若 在 X=R(-R)处发散， 则逐项求积分之后的级数0nnnax=10000()1xxnnnnnnaS t dt a t dt xn+=+在 X=R(-R)可能收敛。 三、 和函数的性质： （ 1） 性质 1：设幂级数 的收敛半径为 R（ R0），则其和函数 S（x ）在区间（-R,+R ）连续，如果幂级数在 X=R 或者 -R 也收敛， 则其和函数在 R 或者-R 也连续。 0nnnax=（ 2） 性质 2：和函数求导公式 （ 3） 性质 3：和函数求积分公式 四、 幂级数的求和： 第一. 步： 经过适当变性，对和函数求导。 第二. 步： 然后对导函数求积分。 第三. 步： 确定和函数的定义域（根据和函数性质 （ 1） ） 五、 补充知识： （ 1） 211(1nxx x xx= + + + + 1)（ 2） 211(1)(11nnxx x xx= + + + +1)
