1、课题 11.5 函数展开成幂级数及幂级数展开式的应用 教具用品 多媒体 教学目的：了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件 掌握 , ln 1+ ,(1+) 的麦克劳林展开式，会用它们将一些简单函数间接展开成幂级数 重点： , ln 1+ ,(1+) 的麦克劳林展开式 难点：泰勒级数 教学方法：讲授 时间分配：90分钟,第五节,一、函数展开成幂级数,二、幂级数展开式的应用,函数展开成幂级数及 幂级数展开式的应用,三、欧拉公式,一、泰勒 ( Taylor ) 级数,其中,( 在 x 与 x0 之间),称为拉格朗日余项 .,则在,若函数,的某邻域内具有 n + 1 阶导数,此式称为 f (x) 的 n
2、 阶泰勒公式 ,该邻域内有 :,为f (x) 的泰勒级数 .,则称,当x0 = 0 时, 泰勒级数又称为麦克劳林级数 .,1) 对此级数, 它的收敛域是什么 ？,2) 在收敛域上 , 和函数是否为 f (x) ?,待解决的问题 :,若函数,的某邻域内具有任意阶导数,定理1,各阶导数,则 f (x) 在该邻域内能展开成泰勒级数的充要,条件是,f (x) 的泰勒公式中的余项满足:,证明:,令,设函数 f (x) 在点 x0 的某一邻域,内具有,定理2,若 f (x) 能展成 x 的幂级数, 则这种展开式是,唯一的 , 且与它的麦克劳林级数相同.,证: 设 f (x) 所展成的幂级数为,则,显然结论
3、成立 .,二、函数展开成幂级数,1. 直接展开法,由泰勒级数理论可知,第一步 求函数及其各阶导数在 x = 0 处的值 ;,第二步 写出麦克劳林级数 , 并求出其收敛半径 R ;,第三步 判别在收敛区间(R, R) 内,是否为,骤如下 :,展开方法,直接展开法, 利用泰勒级数,间接展开法, 利用已知其级数展开式,0.,的函数展开,例11.5.1 将函数,展开成 x 的幂级数.,解,其收敛半径为,对任何有限数 x , 其余项满足,故,( 在0与x 之间),故得级数,P196,例 11.5.2 将,展开成 x 的幂级数.,解:,得级数:,其收敛半径为,对任何有限数 x , 其余项满足,P196,类
4、似可推出:,P197,例11.5.3. 将函数,展开成 x 的幂级数, 其中a,为任意常数 .,解: 易求出,于是得 级数,由于,级数在开区间 (1, 1) 内收敛.,因此对任意常数 m,则,为避免研究余项 , 设此级数的和函数为,称为二项展开式 .,说明：,(1) 在 x1 处的收敛性与 有关 .,(2) 当 为正整数时, 级数为 x 的 次多项式, 上式就是代数学中的二项式定理.,由此得,P197,对应,的二项展开式分别为,2.间接展开法,利用一些已知的函数展开式及幂级数的运算性质,例11.5.4 将函数,展开成 x 的幂级数.,解: 因已知,将所给函数展开成 幂级数.,两端求导得,P19
5、7,例11.5.5 将函数,展开成 x 的幂级数.,解:,从 0 到 x 积分, 得,定义且连续,区间为,利用此题可得,上式右端的幂级数在 x 1 收敛 ,所以展开式对 x 1 也是成立的,于是收敛,例11.5.6 将 f (x)=5x+1展成x的幂级数.,解:,因 5x+1= 5exln5 ,利用ex的幂级数展开式，,解: 因为,对上式求导，,例11.5.7 将 f (x)=1/x2 展成 x2的幂级数.,故,内容小结,1. 函数的幂级数展开法,(1) 直接展开法, 利用泰勒公式 ;,(2) 间接展开法, 利用幂级数的性质及已知展开,2. 常用函数的幂级数展开式,式的函数 .,二、幂级数展开
6、式的应用：近似计算,函数的幂级数展开式，从形式上来说，似乎复杂了，其实并非如此.因为幂级数的部分和是一个多项式，这在进行数值计算时比较方便因此常用这样的多项式来近似表达复杂的函数，并且用它的展开式在收敛区间上来进行近似计算，产生的误差可以用余项来估计也就是说，函数值可以利用该级数按精确度要求计算出来这种应用是级数的主要应用之一.,例8 计算,的近似值, 精确到,解:,例9 计算,的近似值 ,使准确到,解: 已知,故,令,得,于是有,在上述展开式中取前四项,说明: 在展开式,中,令,得,具此递推公式可求出任意正整数的对数 . 如,( n为自然数) ,例10 利用,求,误差.,解: 先把角度化为弧
7、度,(弧度),误差不超过,的近似值 , 并估计,( 取,例11 计算积分,的近似值, 精确到,解:,则 n 应满足,则所求积分近似值为,欲使截断误差,三、欧拉(Euler)公式,则称 收敛 , 且其和为,绝对收敛,收敛 .,若,收敛,若,对复数项级数,绝对收敛,则称 绝对收敛.,由于, 故知,定义: 复变量,的指数函数为,易证它在整个复平面上绝对收敛 .,当 y = 0 时, 它与实指数函数,当 x = 0 时,的幂级数展式一致.,（欧拉公式）,（也称欧拉公式）,利用欧拉公式可得复数的指数形式,则,据此可得,(德莫弗公式),利用幂级数的乘法, 不难验证,特别有,欧拉 (1707 1783),瑞士数学家.,他写了大量数学经典,著作,如无穷小分析引论 , 微,还,写了大量力学, 几何学, 变分法教材.,他在工作期间几乎每年都完成 800 页创造性的论文.,他的最大贡献是扩展了微积分的领域,要分支 (如无穷级数, 微分方程) 与微分几何的产生和,发展奠定了基础.,分学原理 , 积分学原理等,为分析学的重,在数学的许多分支中都有以他的名,字命名的重要常数, 公式和定理.,
