常用函数的幂级数展开式

其中,定理1 (泰勒中值定理) 若函数f(x)在x0点的某邻域U (x0)内具有直到n+1阶连续导数, 则当x取U (x0)内任何值时, f (x)可按(xx0)的方幂展开为,f (x)=f(x0)+f (x0)(xx0)+,( 在x0与x之间),+Rn(x),公式(1)称为函数 f (x)在x0处

常用函数的幂级数展开式Tag内容描述:

1、其中,定理1 (泰勒中值定理) 若函数f(x)在x0点的某邻域U (x0)内具有直到n+1阶连续导数, 则当x取U (x0)内任何值时, f (x)可按(xx0)的方幂展开为,f (x)=f(x0)+f (x0)(xx0)+,( 在x0与x之间),+Rn(x),公式(1)称为函数 f (x)在x0处的泰勒公式.,(1),Rn(x)称为拉格朗日(Lagrange)余项.,泰勒系数,k=0, 1, 2, , n,是唯一的.,一、泰勒公式,定义 如果函数f (x)在x0的某邻域内是存在任意阶导数, 则幂级数,称为函数f (x)在x0处的泰勒级数.,= f(x0) + f (x0)(xx0),二、泰勒级数,称为函数 f (x)的麦克劳林级数.,sin x =,x(, +).,(1x1),=1+x+x2+xn+,定理2 f(。

2、第五节 函数幂级数展开式的应用,一、近似计算 二、计算定积分 三、欧拉公式 四、小结,一、近似计算,两类问题:,1.给定项数,求近似值并估计精度;,2.给出精度,确定项数.,通过估计余项,确定精度或项数.,常用方法:,1.若余项是交错级数,则可用余和的首项来解决;,2.若不是交错级数,则放大余和中的各项,使之成为等比级数或其它易求和的级数,从而求出其和.,例1,解,余和:,例2,解,其误差不超过 .,二、计算定积分,解法,逐项积分,展开成幂级数,定积分的近似值,被积函数,第四项,取前三项作为积分的近似值,得,例3,解,收敛的交错级数,三、欧拉公式,复数项。

3、,第五节,一、近似计算,二、欧拉公式,函数幂级数展开式的应用,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第十一章,一、近似计算,例1. 计算,的近似值, 精确到,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2. 计算,的近似值 ,使准确到,解: 已知,故,令,得,于是有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,在上述展开式中取前四项,机动 目录 上页 下页 返回 结束,说明: 在展开式,中,令,得,具此递推公式可求出任意正整数的对数 . 如,( n为自然数) ,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3. 利用,求,误差.,解: 先把角度化为弧度,(弧度),误差不超过,的近似值 , 并估计,机动 目录。

4、2019/5/29,1,常用函数的幂级数展开式,2019/5/29,2,第五节 函数的幂级数展开式的应用,第十二章,一、近似计算,三、欧拉公式,二、微分方程的幂级数解法,2019/5/29,3,一、近似计算,解: 已知,故,令,得,于是有,2019/5/29,4,在上述展开式中取前四项,2019/5/29,5,( 取,的近似值, 精确到,解:,例2 计算定积分,2019/5/29,6,则 n 应满足,则所求积分近似值为,欲使截断误差,2019/5/29,7,二、微分方程的幂级数解法,当微分方程的解不能用初等函数或其积分表达时 我们就要寻求其它解法 本节我们简单地介绍微分方程的幂级数解法,其中函数f(x y)是(xx0)、(yy0。

5、 本科毕业论文浅谈幂级数展开式的应用姓 名: 系 别: 数学系 专 业: 数学与应用数学 学 号: 指导教师: 年 月 日2012 届本科生毕业论文1目 录摘要1关键词1Abstract1Keywords1引言2一基本知识21.1幂级数的性质 21.2. 幂级数的收敛区间 2二幂级数的和函数3三幂级数的展开。

6、7.7 函数展开成幂级数,1.直接法(泰勒级数法),步骤:,例1,解,由于M的任意性,即得,用余项判断更简单,例2,解,例3,解,在这些收敛域内,f(x)能否等于其泰勒级数?,即,牛顿二项式展开式,注意:,两边积分,得,双阶乘,2.间接法,根据唯一性, 利用常见展开式, 通过变量代换, 四则运算, 恒等变形, 逐项求导, 逐项积分等方法,求展开式.,例如,例4,解,例5,解,例6,解,例7,解,例8,解,注:常用函数的麦克劳林级数,三、小结,1.如何求函数的泰勒级数;,2.泰勒级数收敛于函数的条件;,3.函数展开成泰勒级数的方法.,思考题,什么叫幂级数的间接展开法?,思考题解答,从。

7、,一、近似计算,两类问题:,1.给定项数,求近似值并估计精度;,2.给出精度,确定项数.,关健:,通过估计余项,确定精度或项数.,常用方法:,1.若余项是交错级数,则可用余和的首项来解决;,2.若不是交错级数,则放大余和中的各项,使之成为等比级数或其它易求和的级数,从而求出其和.,例1,解,余和:,例2,解,其误差不超过 .,二、计算定积分,解法,逐项积分,展开成幂级数,定积分的近似值,被积函数,第四项,取前三项作为积分的近似值,得,例3,解,收敛的交错级数,三、求数项级数的和,1.利用级数和的定义求和:,(1)直接法;,(2)拆项法;,(3)递推法.,例4,解,2.阿贝尔法。

8、2019/5/29,1,常用函数的幂级数展开式,2019/5/29,2,第三节 函数的幂级数展开式的应用,第十章,一、近似计算,二、欧拉公式,2019/5/29,3,一、近似计算,解: 已知,故,令,得,于是有,2019/5/29,4,在上述展开式中取前四项,2019/5/29,5,( 取,的近似值, 精确到,解:,例2 计算积分,2019/5/29,6,则 n 应满足,则所求积分近似值为,欲使截断误差,2019/5/29,7,二、欧拉公式,(Euler formula),则称 收敛 , 且其和为,绝对收敛,收敛 .,若,收敛,若,对复数项级数,绝对收敛,则称 绝对收敛.,由于, 故知,2019/5/29,8,的指数函数为,易证它在整个复平面上绝对收敛 .,当 。

9、第四节 函数的幂级数展开式,问题: 一、为何将函数展开成幂级数?二、将函数展开成幂级数需要何条件?三、如何将函数展开成幂级数?,一、为何将函数展开成幂级数?,数学思想: 将复杂问题的简单化,用简 单的函数表示复杂的函数。,复杂的 函数,简单的 函数,数学的方法,在实际问题中,我们需要将一个函数表示成一个幂级数形式。,问题:计算机是如何计算sin(x)的函数值的?,二、将函数展开成幂级数需要何种条件?,该问题转化为:对任意给定的函数 f(x),(2) 如果能展开, 是什么?,(3) 展开式是否唯一?,(1)在什么条件下才能展开成幂级数?,证明,。

10、第五节 函数幂级数展开式的应用,一、近似计算 二、计算定积分 三、欧拉公式 四、小结,一、近似计算,两类问题:,1.给定项数,求近似值并估计精度;,2.给出精度,确定项数.,关健:,通过估计余项,确定精度或项数.,常用方法:,1.若余项是交错级数,则可用余和的首项来解决;,2.若不是交错级数,则放大余和中的各项,使之成为等比级数或其它易求和的级数,从而求出其和.,例1,解,余和:,例2,解,其误差不超过 .,二、计算定积分,解法,逐项积分,展开成幂级数,定积分的近似值,被积函数,第四项,取前三项作为积分的近似值,得,例3,解,收敛的交错级数,三、欧拉公式,。

11、一、近似计算,二、欧拉公式,第五节 函数幂级数展开式的应用,一、近似计算,例1. 计算,的近似值, 精确到,解:,例2. 计算,的近似值 ,使准确到,解: 已知,故,令,得,于是有,在上述展开式中取前四项,说明: 在展开式,中,令,得,具此递推公式可求出任意正整数的对数 . 如,( n为自然数) ,例3. 利用,求,误差.,解: 先把角度化为弧度,(弧度),误差不超过,的近似值 , 并估计,( 取,例4. 计算积分,的近似值, 精确到,解:,则 n 应满足,则所求积分近似值为,欲使截断误差,例5. 计算积分,的近似值, 精确到,解: 由于,故所给积分不是广义积分.,若定义被积函数在 x = 。

12、函数的幂级数展开式及其应用 通过前面的学习我们看到,幂级数不仅形式简单,而且有一些与多项式类似的性质。而且我们还发现有一些可以表示成幂级数。为此我们有了下面两个问题: 问题1:函数f(x)在什么条件下可以表示成幂级数; 问题2:如果f(x)能表示成如上形式的幂级数,那末系数cn(n=0,1,2,3,)怎样确定? 下面我们就来学习这两个问题。 泰勒级数 我们先来讨论第二个问题.假定f(x)在a的。

13、大理学院学报 第8卷第4期2009军4月 :2:2竺些篮2竺:竺:錾2耋:一 一一一 一一一 一一一 =:=:竺:三竺型:K一解析函数的幂级数展开式张建元,张毅敏,刘承萍,姜锐武(昭通师范高等专科学校数学系,云南昭通657000)摘要给出了K一解析函数的幂级数展开式,并在此基础上得到了K一解析函数的零点孤立性及其唯一性,所得结论是解析函数与共轭解析函数中相应结果的继续和应用。关键词K一解析函数;收敛K一半径;幂级数展开式;零点;唯一性定理中图分类号01745文献标识码A文章编号16722345(2009)04001405Expansion of K-analytic Function i。

14、第五节 函数的幂级数展开式的应用,幂级数有许多应用,上段我们已经用它表示,了比较复杂的函数,这里再来看它在近似计算,上的应用.,例11 计算sin100的近似值,精确到10-4.,在sinx的展开式(6)中,令x=0.174533,并取前面三项,估计误差,解: 先把自变量化为弧度制.,的近似值,精确到10-4,在二项式级数中令x=2/35(-1,1)并取二项计算,由于这时,例12 求,例13 计算ln2的近似值,要求误差不超过0.0001,如果取这级数的前n项的和作为ln2的近似值,其误差为,解:,为了保证误差不超过10-4,就需要取级数的前,10000项进行计算.这样做的计算量太大,我们必,须用收敛。

15、1,第四节,一、泰勒 ( Taylor ) 级数,初等函数的幂级数展开,二、函数展开成幂级数,2,两类问题:,在收敛域内,和函数,3,一、泰勒 ( Taylor ) 级数,其中,( 在 x 与 x0 之间),称为拉格朗日余项 .,则在,若函数,的某邻域内具有 n + 1 阶导数,此式称为 f (x) 的 n 阶泰勒公式 ,该邻域内有 :,4,为f (x) 的泰勒级数 .,则称,当x0 = 0 时, 泰勒级数又称为麦克劳林级数 .,1) 对此级数, 它的收敛域是什么 ?,2) 在收敛域上 , 和函数是否为 f (x) ?,待解决的问题 :,若函数,的某邻域内具有任意阶导数,5,定理1 .,各阶导数,则 f (x) 在该邻域内能展开成泰勒级。

16、课题 11.5 函数展开成幂级数及幂级数展开式的应用 教具用品 多媒体 教学目的:了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件 掌握 , ln 1+ ,(1+) 的麦克劳林展开式,会用它们将一些简单函数间接展开成幂级数 重点: , ln 1+ ,(1+) 的麦克劳林展开式 难点:泰勒级数 教学方法:讲授 时间分配:90分钟,第五节,一、函数展开成幂级数,二、幂级数展开式的应用,函数展开成幂级数及 幂级数展开式的应用,三、欧拉公式,一、泰勒 ( Taylor ) 级数,其中,( 在 x 与 x0 之间),称为拉格朗日余项 .,则在,若函数,的某邻域内具有 n + 1 阶导数,此式称为 f (x) 的 n。

17、、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、1. 、 、 、 、 、 、 、 、 、(1) 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 ;(2) 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、2. 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、xe),(x)(ln1! n34n、 、 、 、 .、 、 、 、 、 、 、 、 、 、!)2(xsi!57co1246nxm)(! )(、 m= 1 、x,32 nx,)1(、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 , 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、.),(zyx、 、 、 、 、 (x, y, z) 、 、 、 、vd2、 、 、 、 、 z、 、 、 、 、 、 :I,Oy、 z。

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