幂级数及其应用

1、2019/5/29,1,常用函数的幂级数展开式,2019/5/29,2,第三节 函数的幂级数展开式的应用,第十章,一、近似计算,二、欧拉公式,2019/5/29,3,一、近似计算,解: 已知,故,令,得,于是有,2019/5/29,4,在上述展开式中取前四项,2019/5/29,5,( 取,的近似值, 精确到,解:,例2 计算积分,2019/5/29,6,则 n 应满足,则所求积分近似值为,欲使截断误差,2019/5/29,7,二、欧拉公式,(Euler formula),则称 收敛 , 且其和为,绝对收敛,收敛 .,若,收敛,若,对复数项级数,绝对收敛,则称 绝对收敛.,由于, 故知,2019/5/29,8,的指数函数为,易证它在整个复平面上绝对收敛 .,当 。

2、毕业论文例谈幂级数的应用DISCUSSION ON APPLICATION OF POWER SERIES BY EXAMPLES摘 要幂级数是一类形式简单却应用广泛的函数项级数，由于其本身具有很多便于运算的性质，因此是一个解决函数方面诸多问题的利器。利用幂级数的分析性质，通常可以使形式进行转化，使复杂问题得以化简。本文通过归纳和举例，从幂级数的定义出发，对幂级数的重要性质进行总结性证明，举例分析幂级数在各种计算中的应用，包括利用幂级数求极限、求导数、求积分、求解微分方程、证明不等式，结合实例阐述幂级数在应用中的方法与技巧。本文还举例介绍了如何应用。

3、1,第六节 幂级数展开式的应用,一、近似计算函数值,二、计算定积分,三、欧拉公式,2,一、近似计算,两类问题:,1.给定项数,求近似值并估计精度;,2.给出精度,确定项数.,关健:,通过估计余项,确定精度或项数.,3,常用方法:,1.若余项是交错级数,则可用余和的首项来解决;,2.若不是交错级数,则放大余和中的各项,使之成为等比级数或其它易求和的级数,从而求出其和.,例1,解,4,余和:,5,例2,解,其误差不超过 .,6,二、近似计算定积分,解法,逐项积分,展开成幂级数,定积分的近似值,被积函数,7,第四项,取前三项作为积分的近似值,得,例3,解,收敛的交错级数,8,。

4、第五节 函数幂级数展开式的应用,一、近似计算 二、计算定积分 三、欧拉公式 四、小结,一、近似计算,两类问题:,1.给定项数,求近似值并估计精度;,2.给出精度,确定项数.,关健:,通过估计余项,确定精度或项数.,常用方法:,1.若余项是交错级数,则可用余和的首项来解决;,2.若不是交错级数,则放大余和中的各项,使之成为等比级数或其它易求和的级数,从而求出其和.,例1,解,余和:,例2,解,其误差不超过 .,二、计算定积分,解法,逐项积分,展开成幂级数,定积分的近似值,被积函数,第四项,取前三项作为积分的近似值,得,例3,解,收敛的交错级数,三、欧拉公式,。

5、山西师范大学现代文理学院 毕业论文(毕业设计)开题报告,二一三 年 九 月 十一日,论文题目：函数幂级数的展开与应用 系 别：数学与计算机科学系 专 业：数学与应用数学 班 级：1003 班 姓 名：杜晓蕾 学 号：1090110334 指导教师：张丽红,。

6、第五节 函数的幂级数展开式的应用,幂级数有许多应用,上段我们已经用它表示,了比较复杂的函数,这里再来看它在近似计算,上的应用.,例11 计算sin100的近似值,精确到10-4.,在sinx的展开式(6)中,令x=0.174533,并取前面三项,估计误差,解: 先把自变量化为弧度制.,的近似值,精确到10-4,在二项式级数中令x=2/35(-1,1)并取二项计算,由于这时,例12 求,例13 计算ln2的近似值,要求误差不超过0.0001,如果取这级数的前n项的和作为ln2的近似值,其误差为,解:,为了保证误差不超过10-4,就需要取级数的前,10000项进行计算.这样做的计算量太大,我们必,须用收敛。

7、一、近似计算,二、欧拉公式,第五节 函数幂级数展开式的应用,一、近似计算,例1. 计算,的近似值, 精确到,解:,例2. 计算,的近似值 ,使准确到,解: 已知,故,令,得,于是有,在上述展开式中取前四项,说明: 在展开式,中,令,得,具此递推公式可求出任意正整数的对数 . 如,( n为自然数) ,例3. 利用,求,误差.,解: 先把角度化为弧度,(弧度),误差不超过,的近似值 , 并估计,( 取,例4. 计算积分,的近似值, 精确到,解:,则 n 应满足,则所求积分近似值为,欲使截断误差,例5. 计算积分,的近似值, 精确到,解: 由于,故所给积分不是广义积分.,若定义被积函数在 x = 。

8、1幂级数在近似计算中的应用摘要：形如 的函数20102000()()()()n nn naxaxxax项级数称为幂级数,幂级数可以看成是一个“无限次多项式” ，它无论在理论上还是实践上都是一个有力的工具.本文主要运用幂级数的展开式,对无理数等，利用计算机相关软件， 进行近似计算. ,ln2e关键词：幂级数、近似计算1. 理论依据以某个幂级数展开式为基础，然后把所需要求的量表达成无数级数的和，并依据要求，选取部分和作这 个量的近似值， 误差用余 项 估计。()nrx我们先给出一些基本初等函数的幂级数展开式及它们对应的余项 2301512=1 ! !()() 2n!+()n n nx。

9、 282 2009 年 8 月 号学 术 论 坛前 沿浅 谈 幂 级 数 在 计 算 中 的 应 用江 苏 食 品 职 业 技 术 学 院 赵 瑜摘 要 基 本 初 等 函 数 在 一 定 范 围 内 都 可 展 成 幂 级 数 ， 幂 级 数 有 许 多 方 便 的 运 算 性 质 ， 在 研 究 函 数 方 面 是 一 个 很 有 力 的 工具 。 利 用 幂 级 数 的 展 开 式 来 表 示 函 数 ， 利 用 幂 级 数 和 函 数 的 分 析 性 质 等 ， 常 常 能 解 决 许 多 疑 难 问 题 。 本 文 利 用 幂 级 数 的 重 要 性质 归 纳 总 结 了 幂 级 数 在 计 算 中 的 几 个 应 用 ， 并 结 合 例 题 阐 述 。

10、,第五节,一、近似计算,二、欧拉公式,函数幂级数展开式的应用,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第十一章,一、近似计算,例1. 计算,的近似值, 精确到,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2. 计算,的近似值 ,使准确到,解: 已知,故,令,得,于是有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,在上述展开式中取前四项,机动 目录 上页 下页 返回 结束,说明: 在展开式,中,令,得,具此递推公式可求出任意正整数的对数 . 如,( n为自然数) ,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3. 利用,求,误差.,解: 先把角度化为弧度,(弧度),误差不超过,的近似值 , 并估计,机动 目录。

11、 本科毕业论文浅谈幂级数展开式的应用姓 名： 系 别： 数学系 专 业： 数学与应用数学 学 号： 指导教师： 年 月 日2012 届本科生毕业论文1目 录摘要1关键词1Abstract1Keywords1引言2一基本知识21.1幂级数的性质 21.2. 幂级数的收敛区间 2二幂级数的和函数3三幂级数的展开。

12、,第五节,一、近似计算,二、微分方程的幂级数解法,函数幂级数展开式的应用,第十二章,三、欧拉公式,一、近似计算,例1. 计算,的近似值, 精确到,解:,例2. 计算,的近似值 ,使准确到,解: 已知,故,令,得,于是有,用此式求 ln2 计算量大,在上述展开式中取前四项,说明: 在展开式,中,令,得,具此递推公式可求出任意正整数的对数 . 如,( n为自然数) ,例3. 利用,求,误差.,解: 先把角度化为弧度,(弧度),的近似值 , 并估计,( 取,例4. 计算积分,的近似值, 精确到,解:,则 n 应满足,则所求积分近似值为,欲使截断误差,例5. 计算积分,的近似值, 精确到,解: 由于。

13、课题 11.5 函数展开成幂级数及幂级数展开式的应用 教具用品 多媒体 教学目的：了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件 掌握 , ln 1+ ,(1+) 的麦克劳林展开式，会用它们将一些简单函数间接展开成幂级数 重点： , ln 1+ ,(1+) 的麦克劳林展开式 难点：泰勒级数 教学方法：讲授 时间分配：90分钟,第五节,一、函数展开成幂级数,二、幂级数展开式的应用,函数展开成幂级数及 幂级数展开式的应用,三、欧拉公式,一、泰勒 ( Taylor ) 级数,其中,( 在 x 与 x0 之间),称为拉格朗日余项 .,则在,若函数,的某邻域内具有 n + 1 阶导数,此式称为 f (x) 的 n。

14、1,power series,幂级数及其收敛性,2,1.定义,如下形式的函数项级数,称为,的幂级数,的幂级数.,定义,称为,3,2.收敛半径和收敛域,级数,级数的收敛域,4,证,定理1,（阿贝尔第一定理）,则它在满足,不等式,绝对收敛;,发散.,收敛,发散,如果级数,则它在满足不等式,的一切 x 处,如果级数,的一切 x 处,从而数列,有界,即有常数 M 0,使得,5,由 (1) 结论,这与所设矛盾.,使级数收敛,则级数,时应收敛,但有一点 x1 适合,6,推论,也不是在整个数轴上都收敛,则必有一个完全确,幂级数,绝对收敛;,幂级数,发散.,幂级数,可能收敛也可能发散.,几何说明,收敛区域,如果。

15、吕梁学院毕业论文（设计）开题报告（学生用表）课题 幂级数的应用系别 数学系 专业 数学与应用数学 学科 数学学生 韩红霞 指导教师 张润玲一、研究课题的来源及意义幂级数是函数级数的一种特殊情形，也是数学分析中非常重要的内容，不论在数学方面还是其它的学科中都有广泛的应用。基本初等函数以及函数在一定的范围都可以展成幂级数的形式，通过幂级数所具有的性质对其函数的研究和应用，将成为研究函数的一种有效手段，同时给问题的解决带来一些方便。幂级数是函数级数中最基本的级数，其在其收敛区间内绝对收敛，并且具有可逐项积分与。

16、函数的幂级数展开式及其应用 通过前面的学习我们看到，幂级数不仅形式简单，而且有一些与多项式类似的性质。而且我们还发现有一些可以表示成幂级数。为此我们有了下面两个问题： 问题1：函数f(x)在什么条件下可以表示成幂级数； 问题2：如果f(x)能表示成如上形式的幂级数，那末系数cn(n=0,1,2,3,)怎样确定？ 下面我们就来学习这两个问题。 泰勒级数 我们先来讨论第二个问题.假定f(x)在a的。