浅谈幂级数在计算中的应用.pdf

1、 282 2009 年 8 月 号学 术 论 坛前 沿浅 谈 幂 级 数 在 计 算 中 的 应 用江 苏 食 品 职 业 技 术 学 院 赵 瑜摘 要 基 本 初 等 函 数 在 一 定 范 围 内 都 可 展 成 幂 级 数 ， 幂 级 数 有 许 多 方 便 的 运 算 性 质 ， 在 研 究 函 数 方 面 是 一 个 很 有 力 的 工具 。 利 用 幂 级 数 的 展 开 式 来 表 示 函 数 ， 利 用 幂 级 数 和 函 数 的 分 析 性 质 等 ， 常 常 能 解 决 许 多 疑 难 问 题 。 本 文 利 用 幂 级 数 的 重 要 性质 归 纳 总 结 了 幂 级 数

2、 在 计 算 中 的 几 个 应 用 ， 并 结 合 例 题 阐 述 了 幂 级 数 在 各 个 方 面 应 用 中 的 技 巧 和 方 法 。关 键 词 幂 级 数 幂 级 数 展 开 式 幂 级 数 的 和 函 数 应 用由 幂 级 数 列 所 产 生 的 函 数 项 级 数称 为 幂 级 数 ， 是 一 类 最 简 单 的 函 数 项 级 数 。幂 级 数 是 高 等 数 学 中 的 一 个 非 常 重 要 的 内 容 ， 其 简 单 的 结 构 形式 和 逐 项 可 导 、 逐 次 可 积 的 优 良 性 质 使 之 成 为 一 种 有 效 的 计 算工 具 ， 它 能 应 用 于 近

3、 似 计 算 、 积 分 计 算 、 数 项 级 数 求 和 、 欧 拉 公式 等 问 题 中 。 巧 妙 地 利 用 函 数 幂 级 数 展 开 式 及 幂 级 数 的 性 质能 够 把 一 个 复 杂 的 性 质 以 及 一 些 不 容 易 把 握 的 函 数 表 达 成 形式 最 简 单 、 性 质 最 好 的 级 数 形 式 ， 所 以 用 它 解 题 往 往 思 路 清 晰 、条 理 清 楚 。一 、 幂 级 数 在 近 似 计 算 中 的 应 用我 们 通 过 的 近 似 计 算 来 研 究 利 用 幂 级 数 进 行 近 似 计 算 的方 法 。 可 用 arcsin x 的 幂

4、 级 数 展 开 式 取 x=1 近 似 计 算 ， 也 可用 arctan x 的 幂 级 数 展 开 式 取 近 似 计 算 ， 我 们 不 妨 用 前 者来 计 算 。， 取 x=1 得上 式 两 边 同 乘 以 2 得用 它 的 部 分 和近 似 代 替 ， 则 误 差 绝 对 值 有 以 下 估 计 ，易 计 算 ， 就 是 说 ， 用 表 示 的 近 似 值 ，其 误 差 小 于 0.001， 经 计 算 。 利 用 此 方 法 还 可 以 计 算 数的 近 似 值 。二 、 幂 级 数 在 计 算 积 分 中 的 应 用当 f(x)的 原 函 数 不 能 用 初 等 函 数 的

5、有 限 形 式 表 示 出 来 时 ，计 算 f(x)的 定 积 分 就 遇 到 了 困 难 。 现 在 ， 我 们 可 以 利 用 幂 级 数展 开 式 取 有 限 项 的 办 法 近 似 计 算 这 些 定 积 分 的 值 。 具 体 计 算时 ， 要 求 被 积 函 数 能 够 展 成 收 敛 的 幂 级 数 ， 且 积 分 区 间 必 须 在幂 级 数 的 收 敛 域 之 内 ， 然 后 利 用 幂 级 数 的 逐 项 积 分 性 质 来 计 算所 求 定 积 分 的 值 。例 1 证 明证 明 ： 因 为所 以三 、 幂 级 数 在 求 极 限 中 的 应 用求 函 数 极 限 的

6、方 法 很 多 ， 幂 级 数 法 也 是 其 中 之 一 。例 2 求解 ： 因 为所 以四 、 幂 级 数 在 数 项 级 数 求 和 中 的 应 用例 3 求解 ： 设设 则 ， 且从 而当 x 0，此 时 ，令 ， 可 得五 、 幂 级 数 应 用 于 推 导 欧 拉 公 式例 4 试 用 幂 级 数 的 展 开 式 来 推 导 欧 拉 公 式解 ： 当 x 为 实 数 时 ， 由 指 数 函 数 的 幂 级 数 展 开 式 知用 纯 虚 数 ix 代 替 实 变 量 x 有因 为所 以即 （ 1）在 （ 1） 式 中 -x 以 置 换 x 可 得 （ 2）再 由 （ 1）（ 2） 式

7、 联 立 ， 解 得 ：六 、 幂 级 数 在 求 导 数 中 的 应 用例 5 求 在 x=0 处 的 n 阶 导 数 .解 ： 因 为 函 数 f(x)在 x=0 处 的 泰 勒 级 数 为 ， 所 以 可先 将 f(x)用 间 接 方 法 展 成 x的 幂 级 数 ， 然 后 从 xn的 系 数 中 解 出f(n)(0) 283 2009 年 8 月 号 学 术 论 坛 前 沿浅 谈 西 方 绘 画 材 料 的 技 法 与 表 现辽 宁 对 外 经 贸 学 院 李 玉 萍摘 要 西 方 绘 画 经 历 了 从 蜡 画 、 镶 嵌 画 、 干 壁 画 、 湿 壁 画 、 坦 培 拉 绘 画

8、 到 油 画 的 历 史 变 迁 ， 而 绘 画 材 料 、 颜 料 、 媒 介 剂 的 变 化则 促 进 了 油 画 的 发 展 。 十 五 世 纪 欧 洲 北 方 画 派 的 奠 基 人 凡 爱 克 创 造 的 绘 画 媒 介 剂 “ 布 鲁 日 光 油 ” 促 成 坦 培 拉 绘 画 正 式 向 油 画过 渡 ， 法 国 当 代 超 写 实 主 义 画 家 克 劳 德 伊 维 尔 创 造 的 玛 蒂 树 脂 ， 则 是 古 典 油 画 技 法 不 可 缺 少 的 重 要 材 料 。关 键 词 绘 画 材 料 媒 介 剂 变 化西 方 绘 画 油 画 ， 真 正 意 义 上 的产 生 至

9、今 不 过 500 年 的 历 史 ， 而 此 前 欧洲 曾 经 历 过 古 代 胶 彩 画 、 蜡 彩 画 、 镶 嵌画 、 湿 壁 画 、 干 壁 画 、 坦 培 拉 绘 画 以 及 坦培 拉 与 油 画 混 合 技 法 的 漫 长 历 史 变 迁 ，直 到 16 世 纪 以 后 ， 现 代 意 义 的 油 画 才 逐步 发 展 成 熟 ， 并 作 为 西 方 主 要 画 种 统 领画 坛 直 至 20 世 纪 。 油 画 从 某 种 意 义 上来 说 也 是 材 料 技 法 的 演 变 史 ， 由 于 结 合剂 的 改 变 ， 绘 画 经 历 了 从 蜡 画 、 镶 嵌 画 、干 壁 画

10、 、 湿 壁 画 、 坦 培 拉 绘 画 到 油 画 的 历史 变 迁 。一 、 绘 画 材 料 的 变 化在 西 方 传 统 绘 画 中 ， 依 托 材 料 是 绘画 赖 以 生 存 的 基 本 材 料 ， 是 用 来 承 载 底色 及 油 彩 层 的 。 传 统 绘 画 早 期 的 依 托 材料 一 般 是 木 板 ， 一 直 到 15 世 纪 ， 木 板 仍是 欧 洲 最 主 要 的 依 托 材 料 。 随 着 社 会 的发 展 、 绘 画 技 法 的 进 步 ， 布 的 轻 便 性 、 平整 性 远 远 优 于 木 板 ， 因 此 木 板 逐 渐 被 画布 所 取 代 ， 一 直 沿

11、用 到 今 天 。 现 在 西 方传 统 绘 画 油 画 的 依 托 材 料 主 要 为 画布 （ 如 亚 麻 布 、 棉 布 及 其 他 布 类 ） 、 绘 画 纸张 （ 如 白 卡 纸 ） 、 木 板 （ 如 五 夹 板 ） 。 每 一种 依 托 材 料 性 能 的 不 同 ， 都 可 能 导 致 画家 技 法 使 用 的 不 同 。西 方 传 统 绘 画 技 法 材 料 的 发 展 演 进历 经 五 百 多 年 ， 积 累 了 丰 富 的 经 验 。 由欧 洲 绘 画 发 展 起 来 的 绘 画 技 法 材 料 学 ，是 一 门 研 究 历 代 大 师 具 体 的 作 画 方 法 和选

12、择 、 制 备 材 料 的 经 验 为 基 础 的 ， 不 仅 研究 表 现 技 巧 ， 还 要 探 讨 绘 画 技 法 材 料 的适 应 性 、 稳 定 性 和 坚 固 耐 久 性 。 在 一 些古 代 大 师 的 传 世 杰 作 中 ， 由 于 年 代 久 远和 使 用 材 料 的 关 系 ， 如 今 画 面 色 彩 已 变灰 暗 。 德 拉 克 洛 瓦 完 成 攻 占 君 士 坦 丁堡 这 一 作 品 时 ， 其 绚 丽 的 色 彩 当 时 曾 引起 轰 动 ， 但 如 今 这 幅 画 已 变 得 一 片 灰 暗 。而 十 五 世 纪 欧 州 北 方 弗 拉 芒 画 派 大 师 凡 爱

13、克 的 传 世 作 品 至 今 还 保 存 得 完 好 如新 。 历 史 证 明 ， 凡 爱 克 技 法 是 坚 固 的古 典 油 画 技 法 。在 欧 美 现 代 画 家 中 、 很 多 人 为 重 建凡 爱 克 式 技 法 做 着 种 种 试 验 ， 在 众 多的 研 究 者 中 ， 其 中 最 著 名 的 是 法 国 当 代超 写 实 主 义 画 家 克 劳 德 伊 维 尔 ， 他 是一 位 当 今 世 界 上 少 有 的 ， 技 艺 精 道 的 幻境 画 派 （ 乱 真 画 派 ） 的 著 名 画 家 。 他 的 乱真 画 在 世 界 各 国 引 起 了 轰 动 ， 现 在 正 以其

14、强 大 的 生 命 力 影 响 着 世 界 画 坛 。 平 滑如 镜 的 画 面 表 层 结 构 、 物 体 刻 画 细 致 、 质感 逼 真 、 画 面 效 果 精 美 ， 这 些 都 是 凡 爱克 技 法 的 主 要 特 点 ， 而 伊 维 尔 绘 制 的 “ 乱真 派 ” 油 画 效 果 也 十 分 接 近 凡 爱 克 绘画 风 格 。 伊 维 尔 技 法 的 特 点 是 他 使 用 的材 料 都 是 遵 古 法 ， 自 己 制 作 ， 依 据 是 参 考古 书 文 献 记 载 ， 他 认 为 自 己 做 的 东 西 ， 因为 了 解 其 性 能 ， 颜 色 稳 定 、 不 变 不 退

15、， 用起 来 有 把 握 。 伊 维 尔 用 加 氧 化 铅 熬 制 的熟 核 桃 油 和 玛 蒂 树 脂 溶 化 后 混 合 而 成 的罩 染 媒 介 剂 ， 与 凡 爱 克 的 “ 布 鲁 日 克油 ” 极 为 相 似 。 依 维 尔 技 法 系 统 、 严 谨 、言 之 有 据 、 操 作 有 法 、 材 料 性 能 稳 定 ， 表现 力 强 。 所 以 伊 维 尔 技 法 是 继 承 了 古 典油 画 技 法 主 要 特 点 的 技 法 。作 为 油 画 家 ， 不 仅 要 具 有 丰 富 的 心理 想 象 和 创 造 能 力 ， 还 要 具 有 精 湛 的 表现 技 法 ， 另 外

16、， 还 要 有 对 工 具 材 料 的 理 解程 度 和 运 用 的 能 力 ， 才 能 创 造 出 高 品 味 、高 质 量 的 艺 术 作 品 来 。 比 如 古 典 大 师 伦勃 朗 ， 他 惯 用 一 种 特 殊 技 法 “ 多 层 厚涂 透 明 法 ” ， 整 幅 作 品 均 有 一 定 厚 度 的 色层 ， 即 先 用 较 干 的 浅 厚 色 ， 堆 积 成 所 需 要的 笔 触 ， 有 点 类 似 浮 雕 ， 显 现 出 凹 凸 的 肌理 效 果 。 待 干 后 ， 再 用 特 别 的 较 稠 的 油进 行 两 次 积 分 ：则 ， 即七 、 幂 级 数 在 组 合 概 率 计

17、算 中 的 应 用定 义 设 是 一 个 待 定 其 值 的 数 列 ， 若 存 在 一 个函 数 f(x)， 使 得 成 立 ，则 称 f(x)为 数 列 的 生 成 函 数 。例 6 将 一 颗 骰 子 连 续 投 掷 10 次 ， 问 ： 出 现 20 点 的 概 率 是多 少 ？解 ： 设 Bn 表 示 共 出 现 点 n 的 方 式 的 总 数 ， 显 然 。 从而 Bn 的 生 成 函 数 为 ：因 为 ，所 以 F(x)的 展 开 式 中 x20 项 的 系 数 为 ， 于是 出 现 20 点 的 概 率 为 ： 。参 考 文 献1华 东 师 范 大 学 数 学 系 .数 学 分 析 M.北 京 ： 高 等 教 育 出版 社 ， 2004.2刘 玉 莲 .数 学 分 析 讲 义 M.北 京 ： 高 等 教 育 出 版 社 ， 2001.3裴 礼 文 .数 学 分 析 中 的 典 型 问 题 与 方 法 M.北 京 ： 高 等教 育 出 版 社 ， 1983.