1、大理学院学报 第8卷第4期2009军4月 ：2：2竺些篮2竺：竺：錾2耋：一 一一一 一一一 一一一 =：=：竺：三竺型：K一解析函数的幂级数展开式张建元，张毅敏，刘承萍，姜锐武(昭通师范高等专科学校数学系，云南昭通657000)摘要给出了K一解析函数的幂级数展开式，并在此基础上得到了K一解析函数的零点孤立性及其唯一性，所得结论是解析函数与共轭解析函数中相应结果的继续和应用。关键词K一解析函数；收敛K一半径；幂级数展开式；零点；唯一性定理中图分类号01745文献标识码A文章编号16722345(2009)04001405Expansion of K-analytic Function in P
2、ower SeriesZhang Jianyuan，Zhang Yimin，Liu Chengping，Jiang Ruiwu(Department of Mathematics，Zhaotong Junior Teachers College，Zhaotong，Yunnan 657000，China)AbstractThe essay proposed the expansion of Kanalytic function in power series，and on this basis deducted out the isolatedcharacter of zero point an
3、d the uniqueness theorem of Kanalytic functionThe conclusion is the extension of the corresponding resultfrom the analytic function and conjugate analytic functionKey words J K-analytic function；convergence Kradius；the expansion in power series；zel“o of a function；uniqueness theorem在文献12中，我们给出K一解析函数
4、的概念，并分别用极限、积分的数学思想方法研究了它的一些性质。本文将在此基础上用级数理论的数学思想方法来研究它的另一些性质，所得结论是解析函数与共轭解析函数中级数理论的继续和应用。1基本概念11 K一解析函数项级数定义11设函数爪z)桠。的某邻域内有定义，彳(后)=x+iky(O#kR)彳)在彳。处的K一导缈。)=芝等I笺粤等暑兰筹(存在)。“z)在。内的K一导数记为厂。z)(z。)，一般地八z)的n阶K一导数批)2等2南(等(z eD)o批荆也觥艄疵定义12牵钒z)在区域D内K一可导，币妖z)在D内K一解析以z)在z。的某个邻域内K一可导，乖积：)在z。是K一解析。把在区域D内K一解析的函数全
5、体记为F(D(k)。设函数列f(z”中Z(彳)(n=l、2、)在点集ECC上有定义，则级数基金项目】云南省教育厅科研基金资助项目(08y0369)收稿日期20081010作者简介】张建元(1956一)，男，云南祥云人，副教授，主要从事复变函数研究14万方数据总第64期 张建元。张毅敏。刘承萍，等K一麓析函数的摹级薮展开式 第8锚酝(z)萌(z)幔(z)+锈(z)+- (11)称为E上的复变函数项级数。类似于数学分析中的级数有如下结论3：定N11级数(11)各项(三)在曲线c上连续，且一致收敛刁抓z)，则沿c可以逐项K一积分：f“z)dz(k)=乏I正(z)出(后。定理12级数(11)在n(k)
6、：t(za)(k)kRP龟闭一致收敛铮Vp：D印谊，级数(11)在豆，(后)：I(彳一口)(|)Ip上一致收敛(注：因B(而)的边界G：(z一口)(k)=Reis(Dp2仃)即(实形式)(戈一吸)2+后2(广q)2胡2为一A“椭NN，称B(k)为一个椭圆域)。定理13设D是由(逐段)光滑曲线c所围成的有界区域。若(1况(z)在区域D内K一解析；(2)EL(z)在D内闭一致收敛积z)，且叭z)=Yfo(z)(V名D)。则(1狐彳)在区域D内K一解析；(2圹州(z)=川n(z)(z E D，P=1，2，)(12)；(3)级数(12)在区域D内闭一致收敛拶川(彳)。12 K一幂级数的解析性定义13形
7、如C。(彳一口)”(|)=CD+C。(z一口)(后)+C。(z一口)“(后)+ (13)或(形式更简单)YcS(k)=co+c：(,)+c声2(|)+c(后)+ (14)的级数称为K一幂级数，简称幂级数。其中cD，c。，c：，o为复常数。为了方便，有时把级数(13)(14)分别简记为YCo(zn)“(后)，ZcF(k)。121幂级数的敛散性区域定理14若级数(13)缸，(彳，口)处收敛，则它必在椭圆域B(后)：i(zo)(J|)In。时，VIq(z一口)“(J|)IqJ，nn。时，IC。(彳一口)“(I|)Ia“1，幂级数(13)不收敛，而它只在三=口收敛，收敛K一半径尺=D；当Dn。时，只要
8、ll(zo)(_j)Ilz，1，幂级数(13)不收敛。收敛K一半径R=II。122 K一幂级数的解析性定理16(1)幂级数的和函数八z)=c(z一)“(五)在收敛椭圆域B(k)：i(zo)(五)IO，且和函姒孑)=c。(z一口)“(后)，zB(k)：I(z一口)(|)I尺)，这与题设矛盾。进而得确定展开式收敛K一半径R的方法：命题设，(：)在点提K一解析，6是八彳)的奇点中距。最近的一个奇点，则八彳)在点a的幂级数展开式的收敛K一半径R=I(b-a)(k)I。综合定理I60)与定理21得K一解析函数的一个等价描述。定理2欢z)在区域D内K一解析车瓠z)在D内任一点诃展成z一口)(南)的幂级数。
9、22几个常用初等K一解析函数的展开式 由定理21及级数的相关性质易得如下几个初等K一解析函数的幂级数展开式。h“=至班2-si枷)=曼n=0揣础广3c。姗)=墨器础)h；(在l3札IO，贝石)I肘，(zD)，假设了二。D有抓乃)l划，任作jB(，R)(J|)CD，边界G：(z吆。)(|)=尺Pa(op27r)，由引理2】抓)：(27r)-1肌彳o+Re“(k_1)瑚即M：抓)l(27r)-1伊，(三。+尺eB(后一)laO。而抓z0+Rei8(k-1)I肘则必有抓z。+Rei8(Ij一)I-M(o口2仃)(反证法)。由尺的任意性得以z)在日(Z“0 R)(J|)cD内恒有j，(z)l三M。由引
10、理2及唯一性定理鳅z)-c(c为常数)，故厂(z)在D内为常数。推论23若(1狄z)在有界区域D内K一解析，在历=D+加上连续；(2mD，妖z)lM，(z历)，则刚z)为常数外，以z)tot，(zD)。证明：假设满足条件的函数八名)-C(zD，C为常数)且存桠。D使以彳。)I肘，但由定理26妖)I肘，形成矛盾。故J八彳)IM，(：D o3结束语在前面1至2部分，我们对K一解析函数的幂级数展开式及其零点的孤立性与唯一性定理、最大模原理进行了研究，因k=1时，K一解析函数c 2 3分别为解析函数(6)与共轭解析函数i 7-s)。即解析与共轭解析函数都是K一解析函数的特殊情况。因此以上所得结论包含了
11、解析函数与共轭解析函数中的相应结论。参考文献1张建元复变函数的K一积分(J云南师范大学学报：自然科学版，2009，29(1)：24282张建元K一解析函数及其存在的条件iJ)-2r南民族大学学报：自然科学版，2007，16(4)：2983023郑建华复分析iM)北京：清华大学出版社，2000：416143苏马库雪维奇解析函数论教程M阎昌龄，吴望一，译3版北京：高等教育出版社，1992：129139(5陈方权，蒋绍惠解析函数论基础M北京：北京师范大学出版社，1987：50596钟玉泉复变函数论【M 33K北京：高等教育出版社，2004：481787王见定半解析函数，共轭解析函数M北京：北京工业大
12、学出版社，1988：17578张建元共轭解析函数的Riemann边值问题J北京工业大学学报，1996，22(3)：99106(责任编辑蒋康)万方数据K-解析函数的幂级数展开式作者： 张建元， 张毅敏， 刘承萍， 姜锐武， Zhang Jianyuan， Zhang Yimin， Liu Chengping， Jiang Ruiwu作者单位： 昭通师范高等专科学校数学系,云南昭通,657000刊名： 大理学院学报英文刊名： JOURNAL OF DALI UNIVERSITY年，卷(期)： 2009，8(4)被引用次数： 0次参考文献(8条)1.张建元 复变函数的K-积分期刊论文-云南师范大学学报(自然科学版) 2009(01)2.张建元 K-解析函数及其存在的条件期刊论文-云南民族大学学报(自然科学版) 2007(04)3.郑建华 复分析 20004.马库雪维奇.阎昌龄.吴望一 解析函数论教程 19925.陈方权.蒋绍惠 解析函数论基础 19876.钟玉泉 复变函数论 20047.王见定 半解析函数,共轭解析函数 19888.张建元 共轭解析函数的Riemann边值问题 1996(03)本文链接：http:/
