函数展开成幂级数

1、,第四节,两类问题:,在收敛域内,和函数,本节内容:,一、泰勒 ( Taylor ) 级数,二、函数展开成幂级数,函数展开成幂级数,第十一章,一、泰勒 ( Taylor ) 级数,其中,( 在 x 与 x0 之间),称为拉格朗日余项 .,则在,若函数,的某邻域内具有 n + 1 阶导数,此式称为 f (x) 的 n 阶泰勒公式 ,该邻域内有 :,为f (x) 的泰勒级数 .,则称,当x0 = 0 时, 泰勒级数又称为麦克劳林级数 .,1) 对此级数, 它的收敛域是什么 ？,2) 在收敛域上 , 和函数是否为 f (x) ?,待解决的问题 :,若函数,的某邻域内具有任意阶导数,定理1 .,各阶导数,则 f (x) 在该邻域内能展开成。

2、第四节 函数展开成幂级数,一、泰勒级数 二、函数展开成幂级数 三、小结,一、泰勒级数,上节例题,存在幂级数在其收敛域内以f(x)为和函数,问题:,1.如果能展开, 是什么?,2.展开式是否唯一?,3.在什么条件下才能展开成幂级数?,证明,泰勒系数是唯一的,逐项求导任意次,得,泰勒系数,问题,定义,泰勒级数在收敛区间是否收敛于f(x)?,不一定.,可见,在x=0点任意可导,证明,必要性,充分性,证明,二、函数展开成幂级数,1.直接法(泰勒级数法),步骤:,例1,解,由于M的任意性,即得,例2,解,例3,解,两边积分,得,即,牛顿二项式展开式,注意:,双阶乘,2.间接法,根据唯一。

3、利用幂级数的性质（特别是性质 3 和性质4） 可以求出一些较为复杂的幂级数的和函数,（利用幂级数的和函数又可以求出一些 较为复杂的常数项级数的和）,这是属于由给出的幂级数求和函数的问题， 其反问题为,问题1：给定一个函数 f (x) （假定它在区间 ( a , b )上具有任意阶导数），如何求出 f (x) 在 区间 ( a , b ) 上的幂级数？,第五节、函数展开成幂级数,定理（泰勒中值定理）如果函数 f (x) 在含有点,的区间 ( a , b ) 内有直到 n + 1 阶的连续导数，,的一个 n 次多项式,与一个余项,之和，即,则当 x 在 ( a , b ) 内取任何值时，f (x) 。

4、,第四节,两类问题:,在收敛域内,和函数,本节内容:,一、泰勒 ( Taylor ) 级数,二、函数展开成幂级数,函数展开成幂级数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第十一章,一、泰勒 ( Taylor ) 级数,其中,( 在 x 与 x0 之间),称为拉格朗日余项 .,则在,若函数,的某邻域内具有 n + 1 阶导数,此式称为 f (x) 的 n 阶泰勒公式 ,该邻域内有 :,机动 目录 上页 下页 返回 结束,为f (x) 的泰勒级数 .,则称,当x0 = 0 时, 泰勒级数又称为麦克劳林级数 .,1) 对此级数, 它的收敛域是什么 ？,2) 在收敛域上 , 和函数是否为 f (x) ?,待解决的问题 :,若函数,的某邻域。

5、第五节 函数展开成幂级数前面几节我们讨论了幂级数的收敛域以及幂级数在收敛域上的和函数. 现在我们要考虑相反的问题，即对给定的函数 ，要确定它能否在某一区间上“表示成幂级数” ，或)(xf者说，能否找到这样幂级数，它在某一区间内收敛，且其和恰好等于给定的函数 . 如)(xf果能找到这样的幂级数，我们就称函数 在该区间内能展开成幂级数,而这个幂级数在)(xf该区间内就表达了函数 ).(xf分布图示 引言 泰勒级数的概念 麦克劳林级数 函数展开成幂级数直接法 例 1 例 2 例 3 例 4 例 5 常用麦克劳林展开式 函数展开成幂级数间接法 例 6 例 。

6、,第三节,两类问题:,在收敛域内,和函数,本节内容:,一、泰勒 ( Taylor ) 级数,二、函数展开成幂级数,展开函数为幂级数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第十二章,一、泰勒 ( Taylor ) 级数,其中,( 在 x 与 x0 之间),称为拉格朗日余项 .,则在,若函数,的某邻域内具有 n + 1 阶导数,此式称为 f (x) 的 n 阶泰勒公式 ,该邻域内有 :,机动 目录 上页 下页 返回 结束,为 f (x) 的泰勒级数 .,则称,当x0 = 0 时, 泰勒级数又称为麦克劳林级数:,反例 : 设,若函数,的某邻域内具有任意阶导数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,由于,则对应的麦氏级数为,定理1。

7、1,第11章 无穷级数 16学时,2,前面一节研究了幂级数的收敛域及其和函数的性质；给一个幂级数，可求其在收敛域上的和函数s(x)。,2. 实际中会遇到相反的问题：给定一个函数f(x)，要考虑它 在某个区间上能否“展开成幂级数”即找一个幂级数，它在 某区间内收敛且和函数恰好是给定的函数f(x)。,3. 如果能找到这样的幂级数，就称函数f(x)在该区间内能展开 成幂级数，而该级数为函数f(x)的幂级数展开式。,下面要讨论的问题 1.在什么条件下所给函数能够展开成幂级数； 2.怎样确定幂级数的系数。,11.4 函数展开成幂级数,3,11.4 函数展开成幂级数,一。

8、,一、泰勒级数,上节例题,存在幂级数在其收敛域内以f(x)为和函数,问题:,1.如果能展开, 是什么?,2.展开式是否唯一?,3.在什么条件下才能展开成幂级数?,证明,泰勒系数是唯一的,逐项求导任意次,得,泰勒系数,问题,定义,泰勒级数在收敛区间是否收敛于f(x)?,不一定.,可见,在x=0点任意可导,证明,必要性,充分性,证明,二、函数展开成幂级数,1.直接法(泰勒级数法),步骤:,例1,解,由于M的任意性,即得,例2,解,例3,解,两边积分,得,即,牛顿二项式展开式,注意:,双阶乘,2.间接法,根据唯一性, 利用常见展开式, 通过变量代换, 四则运算, 恒等变形, 逐项求导, 逐。

9、一、泰勒级数,二、函数展开成幂级数,三、欧拉公式,四、小结,第五节 函数的泰勒级数,一、泰勒级数,上节例题,存在幂级数在其收敛域内以f(x)为和函数,问题:,1.如果能展开, 是什么?,2.展开式是否唯一?,3.在什么条件下才能展开成幂级数?,证明,泰勒系数是唯一的,逐项求导任意次,得,泰勒系数,问题,定义,泰勒级数在收敛区间是否收敛于f(x)?,不一定.,可见,在x=0点任意可导,证明,必要性,充分性,证明,二、函数展开成幂级数,1.直接法(泰勒级数法),步骤:,例1,解,由于M的任意性,即得,例2,解,例3,解,两边积分,得,即,牛顿二项式展开式,注意:,双阶乘,2.间接。

10、,一、泰勒级数,上节例题,存在幂级数在其收敛域内以f(x)为和函数,问题:,1.如果能展开, 是什么?,2.展开式是否唯一?,3.在什么条件下才能展开成幂级数?,证明,泰勒系数是唯一的,逐项求导任意次,得,泰勒系数,问题,定义,泰勒级数在收敛区间是否收敛于f(x)?,不一定.,可见,在x=0点任意可导,证明,必要性,充分性,证明,二、函数展开成幂级数,1.直接法(泰勒级数法),步骤:,例1,解,由于M的任意性,即得,例2,解,例3,解,两边积分,得,即,牛顿二项式展开式,注意:,双阶乘,2.间接法,根据唯一性, 利用常见展开式, 通过变量代换, 四则运算, 恒等变形, 逐项求导, 逐。

11、一、Taylor 级数,熟知,现讨论任意 f(x) 展开成如下形式的幂级数问题：,问题:,2.展开式是否唯一?,3.在什么条件下才能展开成幂级数?,1.如果能展开, 各个系数是什么?,证明,泰勒系数是唯一的,逐项求导任意次,得,泰勒系数,问题,定义,泰勒级数在收敛区间是否收敛于f(x)?,不一定.,可见,在x=0点任意可导,证明,必要性,证明,二、函数展开成幂级数,1.直接法(泰勒级数法),步骤:,例1,解,由于M的任意性,即得,例2,解,例3,解,两边积分,得,即,牛顿二项式展开式,注意:,双阶乘,2.间接法,根据唯一性, 利用常见展开式, 通过变量代换, 四则运算, 恒等变形, 逐项。

12、,第四节,两类问题:,在收敛域内,和函数,本节内容:,一、泰勒 ( Taylor ) 级数,二、函数展开成幂级数,函数展开成幂级数,第十二章,一、泰勒 ( Taylor ) 级数,其中,( 在 x 与 x0 之间),称为,则在,复习:,若函数,的某邻域内具有 n + 1 阶导数,该邻域内有 :,拉格朗日余项 .,则称,当x0 = 0 时, 泰勒级数又称为,1) 对此级数, 它的收敛域是什么 ？,2) 在收敛域上 , 和函数是否为 f (x) ?,待解决的问题 :,若函数,的某邻域内具有任意阶导数,麦克劳林级数 .,定理1,各阶导数,则 f (x) 在该邻域内能展开成泰勒级数的充要,条件是,f (x) 的泰勒公式余项满足:。

13、课题 11.5 函数展开成幂级数及幂级数展开式的应用 教具用品 多媒体 教学目的：了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件 掌握 , ln 1+ ,(1+) 的麦克劳林展开式，会用它们将一些简单函数间接展开成幂级数 重点： , ln 1+ ,(1+) 的麦克劳林展开式 难点：泰勒级数 教学方法：讲授 时间分配：90分钟,第五节,一、函数展开成幂级数,二、幂级数展开式的应用,函数展开成幂级数及 幂级数展开式的应用,三、欧拉公式,一、泰勒 ( Taylor ) 级数,其中,( 在 x 与 x0 之间),称为拉格朗日余项 .,则在,若函数,的某邻域内具有 n + 1 阶导数,此式称为 f (x) 的 n。

14、,第四节 函数展开成幂级数,一、泰勒级数,二、函数展开成幂级数,一、泰勒级数,由上节知,问题:,1.如果函数能展开,幂级数系数 是什么?,2.展开式是否唯一?,3.在什么条件下函数才能展开成幂级数?,和函数,函数,泰勒公式,泰勒(Taylor)中值定理,其中,为n次多项式，,如果函数,阶导数,有,其系数,则对任一个,由泰勒公式：,设想：,有,称为泰勒级数,定义,的泰勒级数.,则幂级数,的麦克劳林级数.,问题,即泰勒级数除 外是否收敛?,是否收敛于f (x)?,定理,由泰勒公式：,证明,必要性,由泰勒公式,充分性,展开式的惟一性：,逐项求导,得,泰勒系数 是唯一的,在x=0。

15、函数展开成幂级数,由于幂级数在收敛域内确定了一个和函数，因此我们就有可能利用幂级数来表示函数。如果一个函数已经表示为幂级数，那末该函数的导数、积分等问题就迎刃而解。,一、泰勒级数,上节例题,存在幂级数在其收敛域内以f(x)为和函数,问题:,2.展开式是否唯一?,3.在什么条件下才能展开成幂级数?,证明,逐项求导任意次,得,泰勒系数,泰勒系数是唯一的,问题,泰勒级数在收敛区间是否收敛于f(x)?,不一定.,定义,在x=0点任意可导,证明,必要性,充分性,证明,二、函数展开成幂级数,1.直接法(泰勒级数法),步骤:,例1,解,由于M的任意性,即得,例2,解。

16、函数展开成幂级数,由于幂级数在收敛域内确定了一个和函数，因此我们就有可能利用幂级数来表示函数。如果一个函数已经表示为幂级数，那末该函数的导数、积分等问题就迎刃而解。,一、泰勒级数,上节例题,存在幂级数在其收敛域内以f(x)为和函数,问题:,2.展开式是否唯一?,3.在什么条件下才能展开成幂级数?,证明,逐项求导任意次,得,泰勒系数,泰勒系数是唯一的,问题,泰勒级数在收敛区间是否收敛于f(x)?,不一定.,定义,在x=0点任意可导,证明,必要性,充分性,证明,二、函数展开成幂级数,1.直接法(泰勒级数法),步骤:,例1,解,由于M的任意性,即得,例2,解。

17、1,9-5 函数展开成幂级数,2,定理 若幂级数,的收敛半径,则其和函,在收敛域上连续；,且在收敛区间内可逐项求导与,逐项求积分,运算前后收敛半径相同，即,收敛域,1.幂级数和函数的分析运算性质:,复习,3, 求部分和式的极限,二、幂级数和函数的求法,求和,逐项求导或求积分法,逐项求导或求积分,对和式积分或求导,（在收敛区间内）,4,第五节,本节内容:,一、泰勒 ( Taylor ) 级数,二、函数展开成幂级数,函数展开成幂级数,第九章,展开方法,直接展开法,间接展开法,5,则称函数在该区间内能展开成幂级数,函数能展开成幂级数的定义:,它在某区间内收敛，且。

18、第四节,两类问题:,在收敛域内,和函数,本节内容:,一、泰勒 ( Taylor ) 级数,二、函数展开成幂级数,函数展开成幂级数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第十二章,一、泰勒 ( Taylor ) 级数,其中,( 在 x 与 x0 之间),称为拉格朗日余项 .,则在,先回忆一下n 阶泰勒公式，若函数,具有 n + 1 阶导数,此式称为 f (x) 的 n 阶泰勒公式 ,该邻域内有 :,机动 目录 上页 下页 返回 结束,x0= 0时麦克劳林公式的余项为,的某邻域内,为f (x) 的泰勒级数 .,则称,当x0 = 0 时, 泰勒级数又称为麦克劳林级数 .,1) 对此级数, 它的收敛域是什么 ？,2) 在收敛域上 , 。

19、,两类问题:,在收敛域内,和函数,本节内容:,一、泰勒 ( Taylor ) 级数,二、函数展开成幂级数,函数展开成幂级数,一、泰勒 ( Taylor ) 级数,其中,( 在 x 与 x0 之间),称为拉格朗日余项 .,则在,复习: f (x) 的 n 阶泰勒公式,若函数,的某邻域内具有 n + 1 阶导数,该邻域内有 :,为f (x) 的泰勒级数 .,则称,当x0 = 0 时, 泰勒级数又称为麦克劳林级数 .,1) 对此级数, 它的收敛域是什么 ？,2) 在收敛域上 , 和函数是否为 f (x) ?,待解决的问题 :,若函数,的某邻域内具有任意阶导数,定理1 .,各阶导数,则 f (x) 在该邻域内能展开成泰勒级数的充要,条件。