1、第五节 函数展开成幂级数前面几节我们讨论了幂级数的收敛域以及幂级数在收敛域上的和函数. 现在我们要考虑相反的问题，即对给定的函数 ，要确定它能否在某一区间上“表示成幂级数” ，或)(xf者说，能否找到这样幂级数，它在某一区间内收敛，且其和恰好等于给定的函数 . 如)(xf果能找到这样的幂级数，我们就称函数 在该区间内能展开成幂级数,而这个幂级数在)(xf该区间内就表达了函数 ).(xf分布图示 引言 泰勒级数的概念 麦克劳林级数 函数展开成幂级数直接法 例 1 例 2 例 3 例 4 例 5 常用麦克劳林展开式 函数展开成幂级数间接法 例 6 例 7 例 8 例 9 例 10 例 11 例 1
2、2 例 13 内容小结 课堂练习 习题 125 返回内容要点一、泰勒级数的概念：函数的泰勒展开式；函数的麦克劳林展开式；如果函数 能)(xf在某个区间内展开成幂级数，则它必定在这个区间内的每一点处具有任意阶的导数. 即，没有任意阶导数的函数是不可能展开成幂级数的. 可证明，如果 能展开成 的幂级数，)(xf则这种展开式是唯一的，它一定等于 的麦克劳林级数.)(xf二、函数展开成幂级数的方法：直接法：直接将函数展成泰勒级数；间接法：利用已知的函数展开式（七个基本函数的麦克劳林展开式） ，通过线性运算法则、变量代换、恒等变形、逐项求导或逐项积分等方法间接地求得幂级数的展开式. 这种方法我们称为函数
3、展开成幂级数的间接法.例题选讲利用直接法将函数展开成幂级数例 1（E01）将函数 展开成 幂级数.xef)(解 由 得 于是 的麦克劳林级数为,)(xnef 10)(nf ),2,( )(xf nx!21该级数的收敛半径为 对于任何有限的数 、 ( 介于 0 与 之间) ，有.Rx|)(|xn1)!nxe.)!1(|xen因 有限,而 是级数 的一般项，所以xe)!1(|n01)!(|n )!1(|nxe0),(即有 于是 ,0limRnxe,!2 nx.,例 2（E02）将函数 展成 x 的幂级数.fsin)(解 )(xfn2si),10顺序循环地取 于是 的麦克劳林级数为)0(nf ,1,
4、0,2,(n)(xf )!1()5!3nxx该级数的收敛半径为 对于任何有限的数 、 介于 0 与 之间)，有.Rxx)(xn 1)!(2sin)!(1n有 )(xRn)!1n0),(于是 si ,)!2(!31 nx).,(x例 3（E03）将函数 展成 x 的幂级数.xfcos)(解 利用幂级数的运算性质,由 的展开式inxsin ,)!12()!53 nxx ),(x逐项求导得 xcos ,)!2(!421 nxx ),(例 4（E04）将函数 展成 x 的幂级数.)1l()f解 因为 而,1)(xf在上式两端从 0 到 逐项积分,得x1,)(32 n)1,(xxlnx ,!32 nx1
5、,(上式对 也成立.因为上式右端的幂级数当 时收敛，而上式左端的函数 在x 1)1ln(x处有定义且连续.1例 5（E05）将函数 展开成 x 的幂级数.)(1)(Rxf解 )(xf,af ,)1(2x)(xfn ,)1(naxnaa所以 ,1)0(f,f ),)0(f ),1(0)( f于是 的麦克劳林级数为x2!)1(1xa nxa!)1() )1(该级数相邻两项的系数之比的绝对值 n1),(因此，该级数的收敛半径 收域区间为,R).,(设级数(1)的和函数为 则可求得 ),(xs,1nxs)1,(即 (2)ax1)( a!)() ,在区间的端点 处，展开式(2)是否成立要看 的取值而定
6、.可证明:当 时，收敛域为 当 时，收敛域为 当 时，收敛1a);1,(0a;1,(0a域为 公式(2)称为二项展开式. ,特别地,当 为正整数时，级数成为 的 次多项式，它就是初等代数中的二项式定理.x例如，对应 、 的二项展开式分别为21a,64231xxx ;1,.,(,521例 6 将函数 展开成 的幂级数.xsin4/解 )/(4/i)4/sin(co)(cos)4sin( xx4in21!)/(!)/(2xx !5)4/(!3)4/()/( xxx!3)4/(!2)4/()/(12 x ).(x利用间接法将函数展开成幂级数例 7（E06）将函数 展开成 x 的幂级数.xfarctn
7、)(解 201arctnddxxnx )1(24 ,53 ).1,(当 时，级数 收敛;当 时，级数 收敛.且当 时，函数1x012)(n1x02)nx连续，所以arct ,1)(53arct xxxn.1,例 8（E07）将函数 展开成 x 的幂级数.xxxf arctn21ln4)(解 由于 )1)( f ,14044nnxx且 所以,0)(f dxdxfxf n)()()(1400 ).1,(,14xn例 9（E08）将函数 展开成 x 的幂级数.23x解 3ln2213xxxe ,23ln!123ln!1l xx).,(例 10 将函数 展开成 的幂级数.24lx解 )(1ln)3ln
8、(2x )4ln()1l(x而 1l)l32xx1)4(n4(x)41ln(32)4()(l x)4(x所以 )3l(2x 3232lxxx).1(1926374ln3例 11 将函数 展开成 的幂级数.2xfx解 因为 )(121 321xx nnx)2(120).2|逐项求导,得 ,)2()(112nnxx所以 1112)2()()( nnnxxf ).40(x例 12（E09）将函数 展开成 的幂级数.34)(2xf )1(x解 341)(2xf )(1)3(2)(,418214xx而 0)(2)21(nnx),xnnx)1(48)4(80),53故 nnnxx)(2()131302 ).x例 13（E10）将 展开成 的幂级数, 并求xf4)(1).1(nf解 )(31)3(x ,)31(32 nxx,3|1|xx41)(4 ,3)1()1()(332 nx.x于是 故,!)nf .!)(nf课堂练习1.将函数 展开成 x 的幂级数.)21ln(x2.将函数 展开成 x 的幂级数.3)(f3.设函数 , 求 .2xef)0(nf
