1、1,9-5 函数展开成幂级数,2,定理 若幂级数,的收敛半径,则其和函,在收敛域上连续；,且在收敛区间内可逐项求导与,逐项求积分,运算前后收敛半径相同，即,收敛域,1.幂级数和函数的分析运算性质:,复习,3, 求部分和式的极限,二、幂级数和函数的求法,求和,逐项求导或求积分法,逐项求导或求积分,对和式积分或求导,（在收敛区间内）,4,第五节,本节内容:,一、泰勒 ( Taylor ) 级数,二、函数展开成幂级数,函数展开成幂级数,第九章,展开方法,直接展开法,间接展开法,5,则称函数在该区间内能展开成幂级数,函数能展开成幂级数的定义:,它在某区间内收敛，且其和恰好就是给定的函数,例如:,6,则
2、称函数在该区间内能展开成幂级数,函数能展开成幂级数的定义:,它在某区间内收敛，且其和恰好就是给定的函数,问题:,1.如果能展开, 是什么?,2.展开式是否唯一?,3.在什么条件下才能展开成幂级数?,7,则称函数在该区间内能展开成幂级数,函数能展开成幂级数的定义:,它在某区间内收敛，且其和恰好就是给定的函数,例如:,无穷级数,有限形式 表示函数,8,一、泰勒 ( Taylor ) 级数,其中,( 在 x 与 x0 之间),称为拉格朗日余项 .,则在,若函数,的某邻域内具有 n + 1 阶导数,此式称为 f (x) 的 n 阶泰勒公式 ,该邻域内有 :,1.回忆泰勒公式,9,为f (x) 的泰勒级
3、数 .,则称,待解决的问题 :,若函数,的某邻域内具有任意阶导数,2.泰勒级数定义:,当x0 = 0 时, 泰勒级数 又称为麦克劳林级数 .,？,10,定理1 .,各阶导数,则 f (x) 在该邻域内能展开成泰勒级数的充要,条件是,f (x) 的泰勒公式中的余项满足:,证明:,设函数 f (x) 在点 x0 的某一邻域,内具有,3.泰勒级数的收敛定理:,泰勒级数 收敛于f(x),11,定理2.,若 f (x) 能展成 x 的幂级数, 则这种展开式是,惟一的 , 且,证: 设 f (x) 所展成的幂级数为,则,显然结论成立 .,4.系数的惟一性定理:,12,说明：,2)幂级数的展开式是唯一的.,
4、13,二、函数展开成幂级数,1. 直接展开法,由泰勒级数理论可知,第一步,第三步 判别在收敛区间(R, R) 内,是否为,骤如下 :,展开方法,直接展开法, 利用泰勒公式,间接展开法, 利用已知其级数展开式的函数展开,0.,求,第二步 写出泰勒级数 , 并求出其收敛半径 R ;,则,14,例1. 将函数,展开成 x 的幂级数.,解:,其收敛半径为,对任何有限数 x , 其余项满足,故,( 在0与x 之间),故得级数,15,例2. 将,展开成 x 的幂级数.,解:,得级数:,其收敛半径为,对任何有限数 x , 其余项满足,16,常用函数的幂级数展开式（要求牢记！）,17,2. 间接展开法,根据唯
5、一性, 利用已知的函数展开式, 通过变量,代换, 四则运算, 恒等变形, 逐项求导, 逐项积分等方法,将所给函数展开成幂级数.,例1. 将函数,展开成 x 的幂级数.,解:,把 x 换成, 得,18,解,思考：,例2,将,展开成x的幂级数.,将-2x代入上式中x的位置，即得,19,解,例3,将,展开成x的幂级数.,20,例4. 将,展成,解:,的幂级数.,21,例5,解,22,例6. 将,在x = 0处展为幂级数.,解:,因此,23,例7.,将下列函数展开成 x 的幂级数,解:,x1 时, 此级数条件收敛,因此,24,注意：,把函数展开为幂级数的间接展开法实际上就是转化,经验：,1)有理函数,转化,2)指数函数,转化,3)对数函数,转化,4)三角函数,转化,5)反三角函数：,先求导化为有理函数，再积分,25,内容小结,1. 函数的幂级数展开法,(1) 直接展开法, 利用泰勒公式 ;,2. 常用函数的幂级数展开式,下节课默写！,
