1、,第四节 函数展开成幂级数,一、泰勒级数,二、函数展开成幂级数,一、泰勒级数,由上节知,问题:,1.如果函数能展开,幂级数系数 是什么?,2.展开式是否唯一?,3.在什么条件下函数才能展开成幂级数?,和函数,函数,泰勒公式,泰勒(Taylor)中值定理,其中,为n次多项式，,如果函数,阶导数,有,其系数,则对任一个,由泰勒公式：,设想：,有,称为泰勒级数,定义,的泰勒级数.,则幂级数,的麦克劳林级数.,问题,即泰勒级数除 外是否收敛?,是否收敛于f (x)?,定理,由泰勒公式：,证明,必要性,由泰勒公式,充分性,展开式的惟一性：,逐项求导,得,泰勒系数 是唯一的,在x=0点任意阶可导,可见,因
2、此，函数各阶导数存在，可以写出幂（泰勒）级数，但该级数是否收敛，以及是否收敛于该函数本身，却需要进一步考察.,必须证明,二、函数展开成幂级数,1.直接法(泰勒级数法),步骤:,例1,解,例2,解,幂级数与多项式逼近,由直接展开法可得几个常用函数的麦克劳林展开式：,牛顿二项式展开式,2.间接展开法,根据唯一性, 利用常见展开式, 通过变量代换, 四则运算, 恒等变形, 逐项求导, 逐项积分等方法,求展开式.,例如,例3,解,例4,解,例5,解,小 结,1.如何求函数的泰勒级数;,2.泰勒级数收敛于函数的条件;,3.函数展开成泰勒级数的方法.,思考题,什么叫幂级数的间接展开法？,思考题解答,从已知的展开式出发, 通过变量代换、四则运算或逐项求导、逐项积分等办法,求出给定函数展开式的方法.,习题11-4 p.223,2.(3); (5); 4. 5. 6,作 业,
