矩阵的满秩分解

1、摘 要 矩阵的秩是矩阵的一个重要特征 它具有许多的重要性质 本文总结归纳出了有关矩阵的秩的等式和不等式命题 以及证明这些命题常用的证明方法 即从向量组 线性方程组 线性空间同构 矩阵分块 矩阵初等变换等角度给出多种证明方法 本文主要解决以下几个问题 用矩阵已知的秩的理论证明矩阵秩的等式和不等式问题 用线性空间的方法证明矩阵秩的等式和不等式问题 用向量组秩的理论证明矩阵秩的等式和不等式问题 用矩阵分。

2、证明初等变换不改变矩阵的秩证:设 A 为 mn矩阵经过初等行变换变为 mn矩阵 B,且1()RAr， 2()Br1.初等对换变换： ijr （交换矩阵的第 i 行与第 j 行）因为 A 中的任意 1阶子式均为零，所以 B 的任意 1r阶子式也为零。因此有矩阵 B 中任何 r阶子式等于任意非零常数 k 与 A 的某个 阶子式的积。2.初等倍法变换： ikrB （用非零常数 k 乘矩阵的第 i 行）因为 A 中的任意 1阶子式均为零，所以 B 的任意 1r阶子式也为零。因此有矩阵 B 中任何 r阶子式等于任意非零常数 k 与 A 的某个 阶子式的乘积。3.初等消法变换： ijrkB （矩阵的第 j 行的 k 。

3、矩阵的秩的相关不等式的归纳小结林 松（莆田学院数学系，福建，莆田）摘要：利用分块矩阵，证明一些矩阵的秩的相关不等式，观察矩阵在运算后秩的变化，归纳出常见的有关矩阵的秩的不等式，由此引出等式成立的条件。关键词：矩阵的秩，矩阵的初等变换引言：矩阵的秩是指矩阵中行（或列）向量组的秩，与之等价的说法通常是指矩阵中不为零的子式的最高阶数，是矩阵最重要的数字特征之一。利用分块矩阵，把子式看成元素，可将高阶矩阵的运算化为较低阶矩阵的运算，也为矩阵的秩的一些常见不等式的证明带来了方便。本文将讨论矩阵的秩的一些常。

4、第三章 第 1 頁第三章 矩阵的分解(一) 矩阵的特征值与特征向量 (Eigenvalues and EigenVectors)1. 矩阵的特征值与特征向量 解 Ax=x 运算式中的 及其所对应的非零的向量 x , 我们称 / x 为矩阵 A 的特征值与特征向量。 改写原式为 , (A-I) x = 0 , I 是单位矩阵, 我们令 P() = det(A-I) = 0, 则 P()的展开式称为矩阵 A 的特征多项式, 解出矩阵 A 的特征多项式 , 就可得矩阵 A 的所有 eigenvalues 。再将每一个 eigenvalue 代入原式中, 即可求出其相对应的 eigenvectors 。例 1 : 解矩阵 A = -9 -3 -16 ; 13 7 16; 3 3 10 的特征值与特征向。

5、2015 级理科实验班高等代数与解析几何课程论文1分块矩阵的秩的降阶公式及其推广赵权（北京科技大学 2015级理科实验班 1班）摘要：本文通过讨论分块矩阵中有子块为零矩阵时的秩的性质，再推广到一般分块矩阵的秩的性质，得到分块矩阵的秩的降阶公式及推广。关键词：分块矩阵；降阶；矩阵乘积；初等变换。1 降阶公式1.1子块含零矩阵1）设分块矩阵 Z= 中有两个子块是零矩阵（其中 A和 D不一定为方阵） ，例如，令 Z1= , Z2= 则易证 r(Z1)=r(A)+r(D), r(Z2)=r(B)+r(C)2）当分块矩阵 Z= 有一个子块是零矩阵时，例如，令 Z1= , Z2= 容易知道，当。

6、1矩阵秩的基本不等式定理 1：设 ， ，则 。,mnAR,nsB()()min(),rABnrArB证明：由于 的解一定是 的解，因此 的基础解系为0x0x0x的基础解系的一部分。于是， ，即 。B()()s()。()()()(TTrrr这样，我们就证明了 ， ，故 。AB)(ABr()min(),ABrB我们假设 ， ， ， ， 为 的基础1x2()srx()1sr()srx0x解系。其中， ， ； ， 。0ii0j1()jr下面，我们来证明向量组 是线性无关的。事实上，假设数 ，()1srABjx jk，使得()1()srBjsr，于是 。()1AjjjsrBkx()10srABjjx这样， 为 的解。于是，存在数 ， ，使得()10srAjjB jk1()jsrB，即 。由于向量组 线。

7、1特殊分块矩阵的逆与秩朱利文，数学计算机科学学院摘要：矩阵的逆和秩是矩阵的一个重要不变量,在矩阵中起着基本的作用。不论在理论上还是在实践中，矩阵的逆和秩都是一种强有力的工具。深入掌握矩阵的逆和秩可以更好地将其应用到实践中。本文利用分块矩阵的特性，研究了几个特殊分块矩阵的逆和秩。关键词：矩阵的逆和秩是矩阵的一个重要不变量,在矩阵中起着基本的作用。不论在理论上还是在实践中，矩阵的逆和秩都是一种强有力的工具。深入掌握矩阵的逆和秩可以更好地将其应用到实践中。本文利用分块矩阵的特性，研究了几个特殊分块矩阵的。

8、- 1 -矩阵的秩及其应用摘要：本文主要介绍了矩阵的秩的概念及其应用。首先是在解线性方程组中的应用，当矩阵的秩为 1 时求特征值；其次是在多项式中的应用，最后是关于矩阵的秩在解析几何中的应用。对于每一点应用，本文都给出了相应的具体的实例，通过例题来加深对这部分知识的理解。关键词：矩阵的秩； 线性方程组； 特征值； 多项式引言：阵矩的秩是线性代数中的一个概念，它描述了矩阵的一个数值特征。它是矩阵的一个重要性质。在判定向量组的线性相关性，线性方程组是否有解，求矩阵的特征值，在多项式、空间几何中等多个方面都有广。

9、第 1 页 共 3 页第五节：矩阵的秩及其求法一、矩阵秩的概念1. k 阶子式定义 1 设 在 A 中任取 k 行 k 列交叉处元素按原相对位置组成的阶行列式，称为 A 的一个 k 阶子式。例如 共有 个二阶子式，有 个三阶子式矩阵 A 的第一、三行，第二、四列相交处的元素所构成的二阶子式为 而为 A 的一个三阶子式。显然， 矩阵 A 共有 个 k 阶子式。2. 矩阵的秩定义 2 设 有 r 阶子式不为 0，任何 r+1 阶子式(如果存在的话)全为 0 , 称 r 为矩阵 A 的秩，记作 R(A)或秩(A )。 规定： 零矩阵的秩为 0 .注意：(1) 如 R ( A ) = r，则 A 中至少有一个 r 阶。

10、1求逆矩阵的方法与矩阵的秩一、矩阵的初等行变换（由定理 2.4 给出的求逆矩阵的伴随矩阵法，要求计算矩阵 A 的行列式 值和它的伴随矩阵 .当 A 的阶数较高时，它的计算量是很大的，因此用伴随矩阵*法求逆矩阵是不方便的.下面介绍利用矩阵初等行变换求逆矩阵的方法.在介绍这种方法之前，先给出矩阵初等行变换的定义.）定义 2.13 矩阵的初等行变换是指对矩阵进行下列三种变换：(1) 将矩阵中某两行对换位置；(2) 将某一行遍乘一个非零常数 k；(3) 将矩阵的某一行遍乘一个常数 k 加至另一行.并称(1)为对换变换，称(2)为倍乘变换，称(3)为倍加变。

11、矩阵的秩数1 矩阵的秩数的定义零矩阵的秩数规定为零；对于非零矩阵，规定其非零值子式的最高阶数 为其秩数。r的秩数记为 。A()R2 主要结论（1）初等变换不改变矩阵的秩数。（2） 。()TA（3） 。(,)(RBRB（4） ， 是 之列数与 之行数。()nAB（5） 。()A（6）设 为 矩阵， 为 矩阵，且 ，则 。mBp0()RABn（7）若 ， 均为可逆矩阵，则 。PQ()RAPQP（8）。

12、 学年论文（本科）学 院 数学与信息科学学院 专 业 信息与计算科学 年 级 2009 级 姓 名 张晓函 论文题目 矩阵的秩 指导教师 彭玉成 职称 讲师 成 绩 2009 年 5 月 25 日学号：20095034022学年论文成绩评定表评 语成 绩： 指导教师(签名): 200 年 月 日学院意见：学院院长(签名): 200 年 月 日目 录摘 要 1关键词 1Abstract 1 Keywords 1引言 。

13、 从不同的角度看矩阵的行秩与列秩 兼论如何学好线性代数 线性代数中 有那么几个神秘又神奇的东西 总是让初学它的人琢磨不透 无法理解 其中就有矩阵的行向量和列向量的关系 为什么一个矩阵的行向量里有多少个线性无关的向量 列向量里就一定也有多少个线性无关的向量呢 或者考虑稍微简单一点的问题 一个方阵 为什么行向量线性无关或线性相关列向量就一定也线性无关或相关呢 行秩为何等于列秩 这本来应该是一个基本又简。

14、矩阵的秩与运算一矩阵秩的求法求矩阵的秩主要有三种方法；(1)定义法，利用定义寻找矩阵中非零子式的最高阶数。(2)初等变换法，对矩阵实施初等行变换，将其变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩；(3)标准形法，求矩阵的标准形，l 的个数即为矩阵的秩。二矩阵的秩与行列式对于一个方阵 A，如何判断它是否可逆，除了根据它的行列式是否为零，还可以根据方阵秩的大小来判断。比如方阵 A（nn）其秩 R, ，若 R n，则显然矩阵行列式为零，不可逆；若 R = n ,则矩阵行列式不为零，矩阵可逆。三矩阵的秩与线性方程组1 齐次。

15、关于矩阵秩的证明-09 数应 鄢丽萍中文摘要在高等代数中,矩阵的秩是一个重要的概念。它是矩阵的一个数量特征，而且在初等变换下保持不变。关于矩阵秩的问题,通常转化为矩阵是否可逆,线性方程组的解的情况等来解决。所谓矩阵的行秩就是指矩阵的行向量组的秩，矩阵的列秩就是矩阵的列向量组的秩，由于矩阵的行秩与列秩相等，故统称为矩阵的秩。向量组的秩就是向量组中极大线性无关组所含向量的个数。关键词：初等变换 向量组的秩 极大线性无关组约定用 E 表示单位向量， A 表示矩阵 A 的转置，r(A)表T示矩阵 A 的秩。在涉及矩阵的秩时，以下。

16、矩阵的秩的性质和 矩阵秩与矩阵运算之间的关系 要谈矩阵的秩，就得从向量组的秩说起，向量组的秩，简而言之就是其极大无关组里向量的个数。进而扩展到线性方程组，在线性方程组的概念中（课本P90）定理1说：“线性方程组有解的充要条件是，它的系数矩阵和增广矩阵有相同的秩。” 那么不妨把矩阵用向量组的方式来看，则有行秩和列秩，一个矩阵的行秩和列秩相同，而其初等变换又不会改变秩。自然而然，我们就得到了一个判断矩。

17、毕业论文题 目： 矩阵的秩及其应用 学生姓名： 唐路 学生学号： 079050130 系 别： 数学与计算科学系 专 业： 数学与应用数学 届 别： 2011 指导教师： 王宏兴 矩阵的秩及其应用学生：唐路指导教师：王宏兴淮南师范学院 数学与计算科学系摘 要 ，矩阵的秩是指矩阵中行（或列）向量组的秩，与之等价的说法通常是指矩阵中不为零的子式的最高阶数，是矩阵最重要的数字特征之一。基于矩阵的秩在高等代数学中的重要性，本文系统总结了矩阵的秩的基本性质及其应用,以及对矩阵的秩在满秩分解,公式和一类恒等式等方面的应用。关键词：矩阵；秩；分。

18、 高等代数第二次大作业1120133839 周碧莹 30011303 班矩阵的秩的性质1.阶梯型矩阵 J 的行秩和列秩相等，它们都等于 J 的非零行的数目；并且 J 的主元所在的列构成列向量的一个极大线性无关组。2.矩阵的初等行变换不改变矩阵的行秩。证明：设矩阵 A 的行向量组是 a1，,a s.设 A 经过1型初等行变换变成矩阵B，则 B 的行向量组是 a1，,a i,kai+aj,as.显然 a1，,a i,kai+aj,as可以由 a1，,a s线性表处。由于 aj=1*(kai+aj)-kai,因此 a1，,a s可以由a1，,a i,kai+aj,as线性表处。于是它们等价。而等价的向量组由相同的秩，因此 A 的行秩等于 B 。

19、摘 要本文将行（列）满秩矩阵的性质与可逆矩阵（即满秩矩阵）的相关性质进行比较，归纳出行（列）满秩矩阵在解线性方程组、矩阵秩的证明及矩阵分解等方面的若干应用，使其不受方阵的正方性限制，而应用起来又与可逆矩阵相差无几。关键词：可逆矩阵；行(列)满秩矩阵；矩阵的秩；线性方程组AbstractThis article will row (column) the nature of the full rank matrix and invertible matrix (i.e. full rank matrix) properties of comparison, induction travel (column) full rank matrix in solving linear equations, the proof of ma。

20、1094.3 矩阵的满秩分解本节讨论一个 复矩阵 可以分解为两个与 的秩相同的矩阵之积的问题。nmAA定义 4.3.1 设 复矩阵 的秩为 ，如果存在两个与 的秩相同的复矩阵 与 ，使r FG得 ，则称此式为复矩阵 的满秩分解。FGA当 是满秩矩阵时（行满秩或列满秩） 可以分解为单位矩阵与 自身的乘积，这个满秩分解叫做平凡分解。定理 4.3.1 设 复矩阵 的秩为 ，则 有满秩分解。nAr0A证：因为 ，对 施行初等行变换，可得到阶梯形矩阵 ，0rak 0B其中 为 矩阵，并且 ；因此存在着有限个 阶初等矩阵之积，GrakGm记作 ，有 ，或者 ，将矩阵 分块为 ，其中 为P。