1、矩阵的秩的相关不等式的归纳小结林 松（莆田学院数学系，福建，莆田）摘要：利用分块矩阵，证明一些矩阵的秩的相关不等式，观察矩阵在运算后秩的变化，归纳出常见的有关矩阵的秩的不等式，由此引出等式成立的条件。关键词：矩阵的秩，矩阵的初等变换引言：矩阵的秩是指矩阵中行（或列）向量组的秩，与之等价的说法通常是指矩阵中不为零的子式的最高阶数，是矩阵最重要的数字特征之一。利用分块矩阵，把子式看成元素，可将高阶矩阵的运算化为较低阶矩阵的运算，也为矩阵的秩的一些常见不等式的证明带来了方便。本文将讨论矩阵的秩的一些常见不等式，并由此引出一些秩的不等式等号成立的等价条件。一 基本的定理1 设 A 是数域 P 上 矩阵
2、，B 是数域上 矩阵，于是nmms秩（AB） min 秩（A） ，秩（B），即乘积的秩不超过个因子的秩2 设 A 与 B 是 矩阵，秩（A B） 秩（A）+秩（B）二 常见的秩的不等式1 设 A 与 B 为 n 阶方阵，证明若 AB = 0，则 r(A) + r(B) n证：设 r(A) = r,r(B )= s,则由 AB = 0，知，B 的每一列向量都是以 A 为系数方阵的齐次线性方程组的解向量。当 r = n 时，由于该齐次方程组只要零解，故此时 B = 0，即此时r(A) = n，r(B) = 0,结论成立。当 r n 时，该齐次线性方程组的基础解系中含 n-r 个向量，从而 B 的列
3、向量组的秩 n-r,即 r（B） n-r所以 r(A) + r(B) n2 设 A 为 矩阵，B 为 矩阵，证明不等式 r(AB) r(A)+r(B)-nms证：设 E 为 n 阶单位矩阵， 为 S 阶单位方阵，则由于E00SBA而 可逆，故0SEBr(A)+r(B) 秩 =秩 =秩 A0ABE0=r(AB)+r(E)=r(AB)+n从而 r(AB) r(A) + r(B) - n 3 设 A，B 都是 n 阶方阵，E 是 n 阶单位方阵，证明秩（AB-E） 秩（A-E）+秩（B-E）证：因为 00B0AE故秩（AB-E） 秩 秩0AEB=秩（A-E）+秩（B-E）因此 秩（AB-E） 秩（A
4、-E）+秩（B-E）4 设 A，B，C 依次为 的矩阵，证明,mnstr(ABC) r(AB) + r(BC) - r(B)证：设 分别为，s,t 阶单位矩阵，则由于,stE0ABCstE0ABC且 是可逆矩阵，故str(AB) + r(BC) 秩 =秩 =秩0ABC0AB0C= r(ABC) + r(B) 从而 r(ABC) r(AB) + r(BC) - r(B)5 设 A，B 都是 n 阶矩阵，证明；r( A B + A + B ) r( A ) + r ( B )证明：r( AB + A + B)=r( A (B+E) + B) 利用基本定理二r( A (B + E) + r(B) 利
5、用基本定理一 r( A ) + r( B )6 设 A，C 均为 矩阵，B，D 均为 矩阵，证明mnnsr（ A B C D） r（ A-C） + r（ B - D）证明：根据分块矩阵的乘法可知=00mnEnsE0ACBD由此易知 r（A-C）+r（B-D）=r r(AB-CD)从而得 r（AB-CD） r（A-C） + r（B-D）三 不等式等号成立的探讨1 设 A，B 分别为 和 矩阵，则 的充mnrAB=+r-n分条件为： 0r=EB证明：由得：-A-AE-B0-A=00-r=EB00-AA+nr=+rBE又 ， r=-2 设 A，B 分别为 和 矩阵，则 的充分必要条mnrBr-n件为
6、存在矩阵 X、Y，使得 nA+BY=E证明：根据题三 1，只需要证明 nXA+BY=E0rE、mnnnmmE0AE0E0A=-XB-Y-Y-XB-、当 时，n+=E0r=BrAB-1200,r SEEQP设 P112200AQB则 1122P120AQB（1）0rSE112200PQAEB11220122PAQB（2）12340rSEC对式（2）右端的方阵作行初等变换，可消去 ， ， ，由于式（1） ，式（2）1C23右端方阵秩相等，故在消去 ， ， 时也消去了 ，对式（2）右端分块记为1C234其中 = ， = ， C=120FC10rE2F0SE134于是上述消去 的行变换相当于 1100
7、r1234C2340消去其余 有类似的结果，这样初等变换就相当于存在矩阵 S，T，使234,= + = ，即S1FTC01221SPAQBTP从而有令得 nXABYE3 设 A，B，分别为 矩阵，而 B 的一个满秩分解是 B=HL，即 H 是列,ml满秩矩阵，L 是行满秩矩阵，则 r(ABC)=r(AB)+r(BC)-r(B)的充要条件是存在矩阵 X，Y使得 rXHLCYE证明：设 r（B）=r，因为 B=HL 是满秩分解所以 有 r(AB) = r(AHL) = r(AH)r(BC) = r(HLC) = r(LC)则 r(ABC) = r(AB) + r(BC) - r(B)r(AHLC)
8、 = r(AH) + r(LC) - r又由上题 得 r(AHLC) = r(AH) + r(LC) - r矩阵 X,Y 使得 rXAHLCYE所以 3 得证4 设 A 为 n 阶矩阵，证明如果 = E，那么 r（ A + E ） + r（ A E ）= n2证明： ( A + E )( A E ) = + A A E = E E = 02r（ A + E ）+ r（ A E ） nr( A + E ) + r( A E ) r( A + E + A - E) = r(2A) = r(A)= E2= E，即 0r（A）= nr( A + E) + r( A - E) n故 r（ A + E ）
9、+ r( A - E) = n 5 设 A 为 n 阶矩阵，且 = A，证明 r（A）+ r（A-E）= n2证明：由 = A，可得 A（ A E ）= 0由题一 1 知，r（ A ） + r（ A - E） n又因为 E-A 和 A-E 有相同的秩n = r( E ) = r( A + E A ) r ( A ) + r ( E A )从而 r( A ) + r( A E ) = n6 设 A 是阶矩阵，则 = A 的充分必要条件是 r（A）= r（A- ）+ r（A+ ）3 22证明： 必要性 一方面，由 = A （E-A）A（E+A）=0 由题二 4 知30 r（E-A）A + r A
10、(E+A) - r(A) 即 r（A） r（A- ）+r（A+ ） 22另一方面，由 r（A- ）+r（A+ ） r（A- ）+（A+ ）2A2= r（2A）= r（A） 所以 r（A）= r（A- ）+ r（A+ ） 2A2充分性 若 r（A）= r（A- ）+r（A+ ）设 r(A) = r,A 的满秩分解是 A = HL，则存在 X，Y使（2X）H = ，L（2Y）= 成立rEr则 X（E-A）H +L（E-A）Y=（XH + LY）-（XHLH - LHLY）= -0 = rEr由题三 3 得 r（E-A）A(E+A)=r(E-A) A + rA (E+A)- r(A) = 0即得（E-A）A（E+A）=0从而得 = A3参考文献：1 张禾瑞 .高等代数（第二版）M.高等教育出版社2 杨子胥.高等代数习题解M.山东科技出版社3 李师正.高等代数解题方法与技巧M.高等教育出版社
