行(列)满秩矩阵的性质及其应用要点.doc

1、摘 要本文将行（列）满秩矩阵的性质与可逆矩阵（即满秩矩阵）的相关性质进行比较，归纳出行（列）满秩矩阵在解线性方程组、矩阵秩的证明及矩阵分解等方面的若干应用，使其不受方阵的正方性限制，而应用起来又与可逆矩阵相差无几。关键词：可逆矩阵；行(列)满秩矩阵；矩阵的秩；线性方程组AbstractThis article will row (column) the nature of the full rank matrix and invertible matrix (i.e. full rank matrix) properties of comparison, induction travel (c

2、olumn) full rank matrix in solving linear equations, the proof of matrix rank and some applications of matrix decomposition, etc.to make it without being limited by a phalanx of tetragonality, and used up and reversible.Key words: Invertible matrix; Row (column) full rank matrix; Matrix rank; The Sy

3、stem of linear equations.目 录1 引 言12 预备知识23 可逆矩阵的性质及其应用24 行（列）满秩矩阵的性质55 行（列）满秩矩阵的若干应用 .115.1 在矩阵秩的证明中的应用 115.2 在齐次线性方程组中的应用 125.3 在非齐次线性方程组中的应用 145.4 在几类特殊矩阵分解方面的应用 17参 考 文 献200行（列）满秩矩阵的性质及其应用1 引 言矩阵是高等代数研究的一个重要内容，用矩阵来表述问题，并通过矩阵的运算解决相关问题的方法，通常叫做矩阵方法。矩阵理论及其 已然成为现今众多方 法科学领域中不能缺少的 。例如在模糊识别、密码通讯、分子结构的稳定性

4、分工 具析、机器人位移、导航、观测等众多领域的应用。矩阵的现代观点是在十九世纪时慢慢形成的。德国著名数学家高斯（F.Gauss,1777-1855）在 1801 年时，就把一个线性变换中的所有系数当成一个整体。而在 1844 年时，德国的另一位著名数学家爱森斯坦（F.Eissenstenin,1823-1852）根据“变换矩阵”和其乘积进行讨论。不过“ ”这一词的由来却是来矩 阵自英国的数学家西尔维斯特（Sylvester,1814-1897），这是他于 1850 年首先提出并对其进行了研究，以便之后的英国数学家凯莱（A.Gayley,1821-1895）为创立矩阵理论做出重大的贡献。从而，经

5、过西尔维斯特、凯莱等众多数学家们的不懈努力，使得矩阵理论得到很大的发展，并被广泛应用。如 的特征根和特征向量、正矩 阵交矩阵、酉矩阵、可逆矩阵而在矩阵的理论和应用中，可逆矩阵（或者满秩矩阵）却是占据了重要的地位。它的应用是多方面的，如在矩阵秩的证明、解方程组、特殊矩阵分解等问题中可逆矩阵比一般的矩阵更容易处理，这就要归功于逆的作用。但当人们在使用可逆矩阵解决问题时发现，首先，它必须是一个方阵，而且矩阵的秩还必得与矩阵的阶数相同。因此，人们经由数学家的不断探索，把满秩矩阵推广成行（列）满秩矩阵，使它不受方阵的正方性所限制，而应用起来又与可逆矩阵相差无几，能够更广泛地使用矩阵这一工具来解决相关问题

6、。本文是将他人的研究成果进行收集整理，并在此基础上，将行（列）满秩矩阵的性质及其相关的应用与可逆矩阵（即满秩矩阵）的性质及其相关应用进行比较，归纳出行（列）满秩矩阵在解线性方程组、相关矩阵的秩的证明及矩阵的分解等方面的应用。12 预备知识设 是一个 的矩阵，如若将 的每一行都看成 维的一个行 ，则ijAastAt向 量，这里边 是 的第 行，12s12iiiit i1,2.s同理，若将 的每一列都看成一个 维的列向量，则 ，其中As12,tA是 的第 列， .则称，向量组 是 的行向量组。12jjsjaj1,2t 2s定义 2.1 矩阵行向量组的秩，叫做矩阵的行秩；矩阵列 的秩，则叫做向 量

7、组矩阵的列秩。例 1 设 ,我们可知 的行秩为 3，而其列秩也为 3.0123AA2.2 如果矩阵 中不等于零的子式的最大 为 ，则 叫做矩阵 的定 义 阶 数 rA秩，可记为 .rankAr例 2 求矩阵 的秩。2431解： 因为位于矩阵 中的第 1，2 行和矩阵中的第 2，3 列的二阶子式里A, 中包含 的三阶子式只有两个，且都为 0，即43201DD，所以 .2,3232RA23 可逆矩阵的性质及其应用定义 3.1 设 是数域 上的 阶矩阵， 是 阶的单位矩阵。如果存在AFnIn上的一个 阶方阵 ,使得 ，则我们就说 是可逆矩阵（或者满秩矩FnBIA阵），成为 的逆矩阵。B引理 1 对任

8、意矩阵 恒有：秩 秩 ，秩 秩 .,mnpBB性质 3.1 对可逆矩阵 以及任意的 ，恒有：秩 秩 =秩 .PQmnAPAQ证明：根据性质 3.1 可知， ,所以，有1RAR.因此，我们也可证得 ,所以有RPA 1QR.证毕。Q性质 3.2 设 是 阶的可逆矩阵， 是 阶的可逆矩阵，如果存在着Pnm，则 .0rsIIPrs证明：将 阶方阵 进行分块，即 ,其中 .也将 阶方阵mQ1234Q1rFn进行分块，即 ,其中 .于是，按上式得1P1234P1sF11230PQ 1如果 ，不妨设 ，则 .但 可逆，所以 可逆。将 再进rsrs21340 1P1行分块，即 ,其中 ，再比较 ，得 .这与1

9、12P112,srstPF120可逆相矛盾，所以 不成立。同理可证 也不成立，所以 .1rsrs定义 3.2 设 是数域 上 阶非零矩阵，若是存在 阶、 阶的可逆矩Amnmn阵 ,使得 ，则我们就称矩阵 的秩为 ，记为 .若是QP0rIArakAr3,规定 .0A0rankA性质 3.3 对于任意的 阶方阵 ,设 ,若 是可逆矩阵，则有 .nAB0A0B证明：由题意可知，因为 是可逆矩阵，所以存在 ,即，令 两端同时左1乘 ,则有 ,所以 得证。1A10B性质 3.4 设 都是不为零的方阵，且 为可逆矩阵，若有 ,则CAC.BC证明：因为 是可逆矩阵，则存在 ,所以令 两边同时左乘 ,有A1A

10、BAC1,所以 .11B性质 3.5 设 都是 阶不为零的 ，且 ,则 .n方 阵 0Rn证明：因为 ,所以 .又因为 是不为零的，所以 ,所0ARAB1B以 .Rn性质 3.6 设 都是数域 上 阶的 ，如果 ,那么 与 可,BKn矩 阵 AI都 是逆矩阵，并且 , .1A1证明：由于 ,则 ,因此 ,所以有 ,即 都为可IIABI0,B逆矩阵。令 的两端同时左乘 ,即 ,由此得出 ,同理有11I1,即 .1BI1B命题 1 是 阶的可逆矩阵，那么， 和如 果 Pm线 性 方 程 组 AXB有相同的解。PAX证明：若令 为 的 ，即 ,则两边 可得 ,所以1AX解 1AXB左 乘 P1也为

11、的解。1B反之，若 为 的解，即 ，则两边左乘 可得 ，所1P1P11AXB以 也是 的解，所以， 与 同解可证。XAAXB命题 2 设 为 阶可逆矩阵，则 元的齐次线性方程组 仅有唯一 。nn0零 解4证明：因为 为可逆矩阵，所以存在 ，令 等式两端同时乘以 ，则有A1A0X1A，即 ，所以，命题得证。10X命题 3 证明 .rankBrankrB证明：设 ，则1212, n ，若 与 分别是 与,nABA 1,iiA 12,jjnB A的列向量的极大线性无关组， 于则 有 21 1,tiiijjjnkktBll 是 ，即 的列向量组11,ttiinjjnABkAli AB可由 与 线性表示

12、，所以，2,ii 2,jjn.rankrakrB命题 4 若 阶矩阵 的秩分别是 ，则 。n,A,rsankABrsn证明：依题意可知，只需证 . 因为rank，所以 ,做分块矩阵0ArankrakBB 0nIrkrk的初等变换，则 ，又因为0000nnnnnIIIBIBIAAA不改变矩阵的秩，且 ,则初 等 变 换 Crakrakr,所以 .0nnIBIrakraknAAA nBrsn4 行（列）满秩矩阵的性质定义 4.1 如果在 阶的 中， 个 线性无关，则我们就称mn矩 阵 An列 向 量该矩阵 为列满秩矩阵；如果 的 个 ，则称该 为行满A矩 阵 行 向 量 线 性 无 关 矩 阵5秩

13、矩阵。例 3 矩阵 中的三个 ， ， ，120A列 向 量 121302，所以 ， 为列满秩矩阵。而 ,三个123,线 性 无 关 3RA10TA行向量 也线性无关，因此 1,12,102TTT,则 为行满秩矩阵。3RA定理 1 设 是 阶的 ，那么下面诸言 ：mr矩 阵 等 价（1） 是列满秩矩阵；A（2） 内存在着一个 阶的可逆子块；r（3） 的列数与 等价；0rI（4）存在着 ,其中 为 ，使得 是一个 ；矩 阵 B列 满 秩 矩 阵 AB可 逆 矩 阵（5）存在着 ,其中 是行满秩矩阵，则有 .矩 阵 CCI证明：（1） （2）只要根据矩阵秩数的定义就可证得。（2） （3） 利用初等变

14、换，可以把 的 阶可逆子块移至最上方，则存在可逆Ar矩阵 ，令 ,其中 是 阶的可逆矩阵。令 ，所以 是PSATr10mrSQTIQ6可逆的，进而 .0rIQPS（3） （4） 如果 是可逆 ，有 ，则 .假设P矩 阵 0rIPA10rIP，则 就是列满秩 。而且，有10mrBPIB矩 阵，因为 是 阶的方阵，所以0rmrIAIABm是一个可逆矩阵。B（4） （5） 我们把 按照行进行分块，即 ,则有1AB1CABD,从而 ，又有 ，所以一定mCCIABDDrIRCr有 ，所以 是行满秩矩阵。Rr（5） （1） 由 可知， ，所以 ，则 就是rCAIRCArRAr列满秩矩阵。设 是 阶的 ，则

15、下面各命题 ：定 理 rn矩 阵 等 价（1） 是行满秩矩阵；A（2） 内存在着一个 阶的可逆子块；r（3） 的行数与 等价；0rI7（4）存在着 ，其中 为 ，使得 是一个可逆 ；矩 阵 B列 满 秩 矩 阵 AB矩 阵（5）存在着 ，其中 为列满秩 ，使得 .矩 阵 C矩 阵 CI证明：与定理 1 类似。2 若 均为列满秩 ，则对 的 ， ，就有秩定 理 ,AB矩 阵 任 意 矩 阵 P只 要 可 乘=秩 =秩 =秩 .PP证明：令 ,则秩 秩 ，再由定理 1 可知，存在 ，使得Q行 满 秩 矩 阵 C.于是 ,故又有 ，所以CAICAIrankPrQ.由此结果又知，秩 =秩 =秩 =秩

16、.最后，自然就RPRPBP有秩 =秩 =秩 .证毕。B命题 5 设 为 阶 ， 为 ，证明：如果 ,那么n矩 阵 Cnm行 满 秩 矩 阵 0BC.0证明：因为 为 行满秩矩阵，因此秩 = 。又因为 ，所以有Cnmn0，从而 ，由此推出 。rankBr0rankB0B定理 3 设 ,则存在 阶 (其中 不为零)，mnAMFnp矩 阵 B当且仅当秩 .使 得 0AB性质 4.1 阶的 是 存在 阶的 ,使st矩 阵 行 满 秩 矩 阵 ts列 满 秩 矩 阵得 .sI证明：由于 是行满秩 ， ，则有 .（因为 中的所有A矩 阵 RAs,sRAIA8列向量都可以由 中的 个 出来），因此 有解。若

17、解为sI列 向 量 线 性 表 示 sAXI，则有 .将左右两边取其转置，有 ， 的，tsBATsBI显 然。由引理 2 可知 .（由于 中所有的 均TXI有 解 ,TsRTB列 向 量可用 中的 个 线性表示出来）。所以 ，从而说 为列满s列 向 量 R秩矩阵。反之，如果存在 阶的 ,使得 则 有解。所以st行 满 秩 矩 阵 B,sAIsXI对于 也是有类似的结论。,RAI列 满 秩 矩 阵定理 4 设 是 阶矩阵，则mn（1） 是 的 为存在 阶 ，使得 .列 满 秩 矩 阵 充 要 条 件 m可 逆 矩 阵 P0rIA（2） 是行 的 为存在 阶 ，使得 .A满 秩 矩 阵 充 要 条

18、 件 n可 逆 矩 阵 QrIQ证明：（1） 是显然的，下证 性。充 分 性 必 要由于 ，则存在 ，使得mnr可 逆 矩 阵 ,mnHL，令 ,则000rn nnILIAH 0nmnLPHI为所求。P（2）的证明是类似的。由（1）得 ，记 ，则 .100nnnIIPA10nIPBnAI推论 4.1 （1） 阶矩阵 是 存在 ，使得m列 满 秩 矩 阵 行 满 秩 矩 阵 nm.nmnBAI（2） 阶矩阵 是 存在 ,使得 .列 满 秩 矩 阵 行 满 秩 矩 阵 nmCnmAI9由推论 4.1 可知：若矩阵 既是 ，也是 ，则 是可逆 。A列 满 秩 矩 阵 行 满 秩 矩 阵 A矩 阵推论

19、 4.2 （1）矩阵 是 左可消，即列 满 秩 矩 阵 A若 ,则 .12AC12C（2） 是 右可消，即矩 阵 行 满 秩 矩 阵若 ，则 .1212证明：（1）必要性。由于 为 ，则存在 ，使得mnA列 满 秩 矩 阵 行 满 秩 矩 阵 nmB，将 两边同时乘以 ，立即得 .nmnBAI12CB12C充分性。若 ，则 有非零解，设为 ，于是mnr齐 次 线 性 方 程 组 0AX0X,又因为 左可消，可知 ，与上述矛盾，所以 为 矩阵。0XA0A列 满 秩（2）的证明与（1）类似。定理 5 设 阶 的秩为 ，则有 阶 和 阶mn矩 阵 Armr列 满 秩 矩 阵 Hrn,使得 .行 满

20、秩 矩 阵 LH证明：因为 阶矩阵 的秩为 ，则存在可逆矩阵 ，使得r,mnPQ，令00r rmnmrnmIIAPQP则 , 为所求。,L0rrnIHI LH定理 5 中分解式 称为 的一个 ，我们指出 不是唯一的，AH满 秩 分 解 满 秩 分 解事实上，对于任意的 阶可逆矩阵 ， 也是 的一个 。rP1ALA满 秩 分 解10但是我们有定理 6 设 阶矩阵 的秩为 ，若mnAr12HL 2是 的两个满秩分解，则 阶的 ,使得 , .A存 在 r可 逆 矩 阵 P12HP12L证明：由 是 阶 ，存在 ，使得 ，于是1Lrn行 满 秩 矩 阵 列 满 秩 矩 阵 nrN1rI1122rHIL

21、P3这里 .下证 阶的矩阵 可逆。2LNPrP由于 是 阶 ，存在 阶 ，使得 ，于是1Hm列 满 秩 矩 阵 rm行 满 秩 矩 阵 M1rHI,又因为 都是 阶矩阵，所以 可逆。将22IMH2,rP代人 中，得 ,由 列满秩左可消知： ,即 .31PL12L12L定理 7 令 为 阶的 ，则 只有零解。Amn列 满 秩 矩 阵 0AX证明：设 ，且有 ，所以线性方程组12,na 12,iimian为 ，即 ，所以 为列满秩矩阵，0AX1212,0nxa 120naxax A因而 线性无关，所以 ，即 只有零解，命题得证。12,n 12n X115 行（列）满秩矩阵的相关应用5.1 在矩阵秩

22、的证明中的应用定理 8 .rankABrankrB证明：设 ，由第 4 节中的定理 5 可知，有,s,其中 均为 为 的 ， 均为 为 的1,AGHGH秩 数 r列 满 秩 矩 阵 1,GH秩 数 s，所以有 ，从而知列 满 秩 矩 阵 1AB.1,rankBrankrsankArkB由此定理及 可得，AB定理 .8rankrankArB定理 9（Sylvester 定律） 的行数，其中rankArB并不一定是方阵。,AB证明：如果 是 阶矩阵，那么 就是 的行数。由 4.3 中的定理 2 可知，存在sttB着两个高矩阵 ,令 , 的行数 .再由 4.3 中的定理PQArankQrkA1 可知

23、，对于 ，令 是可逆的，从而得到 也是可逆的。并且，因为, 1， 的列数为 ，所以 的行数为 的行数。所以At1t0QBrankBrkPQrankrank121110QrankBrankBrQ（ 的行数）1rrr( 的行数 ）ankBankA的行数rAr5.2 在齐次线性方程组中的应用定理 10 如果 的系数 的秩是 ，那么该 一线 性 方 程 组 0A矩 阵 stAXr方 程 组定有 个解为 ，并且：tr12,tr（1） 线性无关；12,tr（2） 由 线性组合可表示 的任一解 .12,tr 方 程 组 b证明：（I）当 时， 为 ，则该 有唯一的零解，即tA列 满 秩 矩 阵 方 程 组线

24、性相关。则（1），（2）不成立。12,tr（II） 当 时， 中存在一个 阶子块，设此 在 的 ，则有tr子 块 A左 上 角120A 4由 乘以 得120rsrIBA41311200AXA 5由于 的系数矩阵的秩为 ，且 是 阶可逆子块，所以 .因此5 r1r 1220A与12,0AX6同解，而12trI 7有 ，令 中的 列为 ，则此为 ，即1212,0trAI7t12,tr 6的 解为原 。则（1 ）可证。方 程 组 的 解下证（2），由于 的系数 的转置是 阶的 ，则由定理及等式6矩 阵 tr列 满 秩 矩 阵，由于 的列数为 ，所11, 0trAb 1trb 1trt以该 不是 。则

25、 线性无关，所以（2）可证。矩 阵 列 满 秩 矩 阵 2,tr由此定理，我们就可知 是线性方程组的基础解系，此时它是作为一个12,tr整体被求出来的，这与可逆矩阵中需要一个个求有所区别。例 4 求下面 的 解系：方 程 组 基 础14.12340568xx解：因为系数矩阵 ,则 经过初等变换，即1234568AA1212102345368所以系数矩阵 的秩为 2。左上角的 2 阶子式 。由矩阵的秩进行分块，则令A103,所以 ,则由 可得 .且有 ,则 .12131AI1321245A123121450A所以列满秩矩阵 的两个列就形成原方程组的一个基础解系。12401AI5.3 在非齐次线性

26、方程组中的应用线性 ,如果 可逆，那么它有唯一解： .如果 不可逆，但方 程 组 AX 1XA是 有解， 它的解是否也 表达？这需要先分析 的那 么 有 类 似 的 简 洁 公 式 1A性质。如果 可逆，那么 ,两边同时右乘 ,得A1AIA1815式表明：当 可逆时， 是 的一个解。因此受到启发，当8A1矩 阵 方 程 AX不可逆时，为了找到 的替代物，我们应该去找矩阵方程 的解。A AX11 设 是数域 上的 阶非零 ，则定 理 Ksn矩 阵 矩 阵 方 程AX9一定有解，如果 ，并且 ,其中 分别是 上的 阶、rankAr0rIPQ,PKs阶 ，那么 的通解为 .其中 分别n可 逆 矩 阵

27、 矩 阵 方 程 911rIBXCD,C是数域 上任意的 阶的 。K,rsnrrs矩 阵定义 5.3.1 设 是数域 上的 阶矩阵， 的每一个解AK矩 阵 方 程 AX都称为 的一个 ，简称为 的广义逆，记作 表示 的任一广义逆。A广 义 逆 矩 阵 A从定义 5.3.1 得出， .A从定理 11 得出，当 时，设 ，且 ,则0rankAr0rIPQ.11rIBAQPCD从 5.3.1 得出，任一 阶矩阵均为 的广义逆。定 义 ns0sn定理 12（ 的相容性定理） 有解非 齐 次 线 性 方 程 组 非 齐 次 线 性 方 程 组 AX的 是 .充 分 必 要 条 件 A16证明：必要性。设

28、 有解 ，则 .AXAA充分性。令 ,那么 就是 的解。X13 （ 的解的结构定理） 有定 理 非 齐 次 线 性 方 程 组 非 齐 次 线 性 方 程 组 AX解时，它的通解为 .XA从定理 13 看出，所有的 有解，则它的通解都有简洁漂非 齐 次 线 性 方 程 组 AX亮的形式： .例 5 设矩阵 ,证明： ，其中 是列满秩矩阵。stAMKtI证明：因 ，则存在 阶、 阶的 , ,从而ranktts可 逆 矩 阵 PQ使 得 0tIAQ,于是 .11,CtAQIP111,0tt ttIAQICI例 6 设矩阵 .证明：若 为 ，则，对于任意的stMKA行 满 秩 矩 阵，矩阵方程 都有

29、解，即 .smBMKXBXB证明：由于 是 ，因此有 ，即 ，所以A行 满 秩 矩 阵 Rs,RABs.又因为 是 有解的 ，,R,A矩 阵 方 程 充 分 必 要 条 件所以， 有解。再由例 5 的结论得 ,所矩 阵 方 程 XB sI以， 是 的解。A例 7 设矩阵 .证明：若 是 ，则对于任意的stMK矩 阵 A列 满 秩 矩 阵, 方程 都有 的解。mtBMK矩 阵 XAB17证明：由于 是 ，那么，就有 为 。由 ,对于A列 满 秩 矩 阵 A行 满 秩 矩 阵 XAB,根据例 6 及对 的非零矩阵，有 这一结论，可得XBstMK.5.4 在几类特殊矩阵分解方面的应用我们都知道，行满

30、秩矩阵与列满秩矩阵在矩阵分解的应用中是经常被使用的工具，现在我们来认识一些它在矩阵满秩分解和 分解上的应用。QR定理 14 有分解式 是 阶的实对称矩阵 是正定的充分必要条件，ATRsA其中 为 阶行满秩矩阵。Rst证明：（充分性）因为 ，则，可知 只有唯一 。从s线 性 方 程 组 0XR零 解而对 的 维非零的 ，就有 ,则有任 意 s实 向 量 0R,即 。0TTTARRA正 定（必要性）因为 ，所以存在 阶 ，使得 .令正 定 s可 逆 矩 阵 PTA，则 是 阶的行满秩 ，且 .0stCPCst实 矩 阵 0TTPCA定理 15 设 是 的 阶 ，则 有分解式 是 是幂等矩阵的A秩

31、为 rm方 阵 Q充分 ，其中 是 阶 ， 是 阶行 ，而且必 要 条 件 P列 满 秩 矩 阵 rm满 秩 矩 阵.rQPE证明：充分性是显然可证的。下面只证必要性。由 可知，存在 阶的 ,使得 ，所2Am可 逆 矩 阵 B100rrEA以 ,令 ， ,，那么，就有 ,10rEB0rEP1rQAPQ是 阶的 ， 是 阶 ，且 .P列 满 秩 矩 阵 行 满 秩 矩 阵 rE18定理 16 设 是秩为 的 阶方阵，则 有 是 是对A0rmA分 解 式 TRHA称矩阵的充分 ，其中 是 阶的 ， 是 阶的必 要 条 件 Rr列 满 秩 矩 阵 r矩阵。对 称 且 可 逆证明： 显然得证，下面只要

32、证明 。充 分 性 必 要 性依题意，存在 阶的可逆矩阵 ，使得 ,其中 是 的行满秩矩阵，mB0TPArm由于 ,所以 ,设 ，其中 是 阶方阵，TATAHT所以 ,因此，有 ,且 ，进而，00H,0TRAr,所以 ,令TBA111 10rTTrHEABBHB ,所以 ,其中 是 阶列满秩矩阵， 是 阶的对称且10rREPRm可逆矩阵。本文将行（列）满秩矩阵的性质与可逆矩阵（即满秩矩阵）进行比较，总结出其不变的性质、定理，如左乘右乘秩不变性质、消去律、线性方程组的解的相关定理等，再由这些性质、定理归纳出行（列）满秩矩阵在解线性方程组、矩阵秩的证明及矩阵分解等方面的若干应用，使其不受方阵的正方

33、性限制，而应用起来又与可逆矩阵相差无几。从而，我们将在此基础上加以研究探索，把行（列）满秩矩阵应用到更多更广泛的领域，为我们进行科学研究时提供更简洁、更巧妙的方法。19参 考 文 献1 李新，何传江 . 矩阵理论及其应用M. 重庆：重庆大学出版社，2005：142-145.2 苏育才，姜翠波，张跃辉. 矩阵理论M. 北京：科学出版社，2006：142-174.3 邵逸民. 行（列）满秩矩阵的一些性质及其应用J. 长春师范学院报：自然科学版，2008（6）：8-9.4 徐秋丽. 行（列）满秩阵的几点性质J. 长春师范学院报；自然科学版，2005（3）：12-15.5 晋慧峰、杨晋 . 行（列）满

34、秩阵的几个性质J. 太原重型机械学院学报，1996（2）：36-38.6 李先崇.矩阵的满秩分解和强满秩矩阵的三角分解的初等变换法J.贵州师范 大学学报；自然科学版. 2004(7)：45-46.7 黄宝贞、贾利新 . 关于 Sylvester 方程的满秩解 J. 河南科学，2005(4)：38-40.8 黄宝贞、贾利新 . 几类特殊矩阵的满秩性J. 河南科学，2005（5）：40-42.9 房月华、陈萍 .矩阵的满秩分解及其方法J.衡水学院学报，2011(4)：38-39.10 于增海. 高等代数考研选讲M. 北京：国防工业出版社，2012；117-122.11 谢邦杰、牛凤文、董乃昌. 线性代数M. 吉林大学出版社，1988；116-130.12 丘维声. 高等代数学习指导书（上）M. 清华大学出版社，2005：300-308.作者：胡鸿敏20