1、- 1 -矩阵的秩及其应用摘要：本文主要介绍了矩阵的秩的概念及其应用。首先是在解线性方程组中的应用，当矩阵的秩为 1 时求特征值；其次是在多项式中的应用，最后是关于矩阵的秩在解析几何中的应用。对于每一点应用，本文都给出了相应的具体的实例，通过例题来加深对这部分知识的理解。关键词：矩阵的秩； 线性方程组； 特征值； 多项式引言：阵矩的秩是线性代数中的一个概念，它描述了矩阵的一个数值特征。它是矩阵的一个重要性质。在判定向量组的线性相关性，线性方程组是否有解，求矩阵的特征值，在多项式、空间几何中等多个方面都有广泛的应用。由于矩阵的秩的重要作用和地位，需要我们认真学习。1矩阵的秩及其求法1.1 矩阵的
2、秩的定义定义 1.1.1 矩阵 的行（列）向量组的秩称为矩阵 的行（列）秩。1AA定义 1.1.2 矩阵的列向量组（或行向量组）的任一极大线性无关组所含向量的个2数称为矩阵的秩。定义 1.1.3 设在矩阵 中有一个不等于零的 阶子式，且所有的 子式（如果1 r1r存在的话）全等于零，则称矩阵 的秩为 ，记为 或秩 。零矩阵的AA秩规定为零。注：由定义可以看出(1)若 为 矩阵，则 ，也 ，即Anm()rAm()rnmin,rA(2) , , 为非零数Trkk1.2 矩阵的秩的求法定义法和初等变换法是我们常用的求矩阵的秩的两种方法，下面就来比较一下这两种方法。方法 1 按定义- 2 -例 1.2
3、.1 求矩阵 = 的秩A413228解 按定义 3 解答，容易算出二阶子式 ，而矩阵的所有三阶子式130=0， =0， =0， =0 所以1328431243284128rA方法 2 初等变换法引理 1.2.1 初等变换不改变矩阵的秩。1例 1.2.1 求矩阵 的秩238214A解 用“ ”表示对 A 作初等变换，则有A134228=B，在矩阵 B 中易知 ,所有三阶子式全为零，13406913406且有一个二阶子式 0. 所以 , 可得 。即矩阵的秩为 22r2rA2 矩阵的秩的应用21 矩阵的秩在解线性方程组中的应用解线性方程组常用的方法是消元法和利用矩阵的秩。消元法多用于方程组比较简单时
4、。当方程组的计算量较大时运用矩阵的秩来求解时就显现出其明显的优势。- 3 -引理 2.1.1 如果齐次线性方程组 的系数矩阵1121212.0nsssnbxbx的行秩 ，那么它有非零解。121212nssnbbB rn例 2.1.1 求齐次线性方程组的一个基础解系并用它表示出全部解123451234507xx解 对上面方程组的系数矩阵做初等变换可以得，由于121121203053175966903254，可知 .方程组的基础解系含有一个线性无00914()4rankB关的解向量，题目所给方程组的同解方程组为 ，1234523405 69xx可以令 可推出2 x， 是原方程组的一个基础解系，因此
5、齐次线性方程组的全13,4（ ， ） 部解可以表示为 （ 为任意常数）xk引理 2.1.2 判别线性方程组 （1）有解的条件是2121212.nsssnsbxbxc- 4 -与增广矩阵 有相同的秩。这121212 nssnbbB 121212 nssnbbcB说明当系数矩阵与增广矩阵的秩相等时，方程组有解，当增广矩阵的秩等于系数矩阵的秩加 1 方程组无解。例 2.1.1.1 解方程组123123574x解 用上述引理，将增广矩阵化为阶梯形。215715710135096096272424138 所以很显然可得 23x例 2.1.1.2 解方程组123415xx解 对 进行初等行变换。 =BB1
6、212112120145030所以可知 所以方程组有解。得出同解方程组 ，2ArB 1243x取 =0，则 。方程组的一个解是 ，原式对应的齐次方24x13,x 201- 5 -程组 的通解为 。所以由以上可以求得方程组的12434x120k通解为 12120,xkk为 任 意 实 数2.2：矩阵的秩在求特征值中的应用。矩阵的秩与特征值之间也有非常密切的联系，下面就讨论一下当矩阵为 1 时特殊情形时，特征值的取值情况。引理 2.2.1 设 是 3 阶矩阵，则 的特征多项式ijAaA,其中 ，特32123)Es（ 132312aas别地，若秩 ，知道特征多项式 ()rA，则矩阵 A 的特征值是
7、。322()i iaa3123,0ia例 2.2.1 求行列式的值 xzzzxz 解 用上述引理的相关理论知识来解答， =zzxzz - 6 -+ （=B）.zzzz A（ ） 00000xzxzzx ,因此在 A 中， ，在 中， 。()1r12,nnz B1nz所以矩阵的特征值为 ，由以上可以求得行列,xxz式 = =xzzzxz 112()(nnzxz 1()()nzx2.3：矩阵的秩在多项式中的一点应用。在高等代数中矩阵理论的学习在多项式理论之后，为了使同学们能够把前后知识连贯起来，融会贯通，下面给出矩阵的秩在多项式中的一点运用。引理 2.3.1 设 ,且它们的次数都 ，令7(),fx
8、gpX1和 ，且 n m,则110()nngxcc 10()mhxdxdx 的充要条件是线性方程组 有唯一解，其中|h ()TxCA= .令 ,10() 10(1)(0mmhx mnddC 10,)Tncc HThxCA（ ）.即101010mmmnnddJ dccc 1rHJnm例 2.3.1 已知 ， ，当 ， 为何值时，432uxbx（ ） 2vx（ ） bd能整除 。vx（ ） （ ）- 7 -解 能被 整除的充要条件是矩阵ux（ ） v（ ）的秩，1200121vxCBbdbd（ ）。而3rnm（ ）。要使1201200 12378Bbdbd ,需要使 ，所以当 时， 能r（ ） =
9、370428545vx（ ）整除 。ux（ ）2.4：矩阵的秩在解析几何中的应用在解析几何中合理运用矩阵方面的理论知识，可以使几何问题转换为代数问题，从而使运算更加简便。引理 2.4.1 已知两条直线 ， ，矩9 11220mxnypzq33440mxnypzq阵与 的秩分别是 和 ，则11223344mnp11223344npqrR（1）两直线相交的充分必要条件是 .rR(2)两直线平行并且互异的充分必要条件是 .2,3(3)两直线不平行也不相交的充分必要条件是 .4r（4）两直线重合的充分必要条件是 .rR例 2.4.1 证明直线 和直线 平行： ： 和 ：1l2l1p27abc2p- 8
10、 -36820abcxyz证明 由以上结论来证明：令 , U1236U,所以12120505,V .2.rUV12736801275034127053所以 ,由引理 4 可以得出直线 和直线 平行。()rR1l2l结束语：当今这个快速发展的社会，数学与生活的关系日益密切。本文所举的具体例子只是矩阵的秩在数学和生活中的一部分应用。矩阵的秩作为代数的重要部分，它的引入为解决某些数学问题提供了新的探索途径和方法。在一些实际的运算中大大地简便了运算过程和步骤，为我们的学习和应用带来了极大的便利。关于矩阵的秩的其他方面的知识还需要大家继续学习。参考文献1北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组 .高等代
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