特殊分块矩阵的逆与秩.doc

1、1特殊分块矩阵的逆与秩朱利文，数学计算机科学学院摘要：矩阵的逆和秩是矩阵的一个重要不变量,在矩阵中起着基本的作用。不论在理论上还是在实践中，矩阵的逆和秩都是一种强有力的工具。深入掌握矩阵的逆和秩可以更好地将其应用到实践中。本文利用分块矩阵的特性，研究了几个特殊分块矩阵的逆和秩。关键词：矩阵的逆和秩是矩阵的一个重要不变量,在矩阵中起着基本的作用。不论在理论上还是在实践中，矩阵的逆和秩都是一种强有力的工具。深入掌握矩阵的逆和秩可以更好地将其应用到实践中。本文利用分块矩阵的特性，研究了几个特殊分块矩阵的逆和秩。Special Inverse and Rank of Block MatrixZhu L

2、iwen, School of Mathematics and Computer ScienceAbstract: The inverse matrix and rank is an important invariant matrix. The inverse matrix and rank is an important invariant matrix Whether in theory or in practice, The inverse matrix and rank is a powerful tool. Deep knowledge of the inverse matrix

3、and rank can be better applied to practice . In this paper, the characteristics of block matrix.On the research of some special block matrix inverse and rank.Key words: Partitioned matrix; Inverse matrix; Rank correlation引言分块矩阵是线性代数中一个很重要的工具，研究许多问题都要用到它。分块之后使矩阵之间或矩阵内部之间的关系变的更清楚。本文就分块矩阵在证明相关矩阵秩及求矩阵的逆

4、两个方面做了一些研究。每个部分给了一些定理和例题，通过这些可以看出分块矩阵在处理问题上的简便性和灵活性。21.分块矩阵的概念定义 1.1 矩阵分块是在处理级数较高的的矩阵时常用的方法。有时候，我们把一个大矩阵看成是由一些小矩阵组成的，就如矩阵是由数组成的一样。特别在运算中，把这些小矩阵当作数一样处理。就是所谓矩阵的分块。2.常用的分块方法2.1 按行按列分块设 是 矩阵， 是 矩阵。将 按列分块写成AmnBnlB123(,.),lB则 12312(,.)(,.,)l lAAB。还可以把 按列分块写成 ，再把 按行分块写成,.n12()TB, 则 AB121212(,.)(,.).Tnn nAA

5、BAB2.2 找零块例如 可分块为 可表示为 型0210|10|00D2.3 找相同块例如 可分块为 可表示为 型.11|11|AD2.4 找单位块例如 可分块为 可表示为 型（这里的1201|2|01|13ABCI表示阶单位阵,本文中的 I 都表示单位阵）.3I化为分块上（下）三角阵3例如 可分块为 201342|01|340|2可表示为 型.12130A2.5 化为分块对角阵例如 可分块为 可表201342|0|13|40|2示为 型.1230A在具体的运算中，我们要根据运算灵活地分块，上述方法只是比较常用，我们可以灵活地运用，宗旨是使运算变得更加简便此外，我们在矩阵加法和乘法的运算中，分

6、块矩阵的维数必须加以限制，以使所定义的运算能够进行我们称任何满足上面这种限制的矩阵分块关于所讨论的运算是相容的对于加法，相容要求两个矩阵按同样的方式分块；而对于乘法，在矩阵与矩阵相乘时，对的一个分块方式，可以有几种分块方式与之相容，这时便要考虑哪种分块方式使运算更加简便例如： ？.10210解：我们可以把分块为 而这时若只考虑乘法|01|0的相容性，可以分块为 ，或|01|2|1|024但是我们可以看到第一种分法中有单位块，对于乘法运算显然更简便. 20IA21IB221IAB102例 10203214, =210E1A1B在计算 时，把 , 都看122123041,0BAB成是由这些小矩阵组

7、成的，即按 2 级矩阵来运算.于是21112122EBA其中，1210411B12AB2340253因此AB124533.分块矩阵与逆定义 3.1 n 阶方阵可逆，如果有 n 阶方阵，使，这里的是 n 阶单位阵 而我们将要研究的分块矩阵的求逆，只不过是先将矩阵分块，然后再求逆例如分块矩阵的可逆性存在条件和求逆公式及其应用首先我们从最简单的 22 分块矩阵开始研究,如何求 22 分块矩阵的逆,用初等变换的方法,这是一个很好解决的问题.而我们重点研究一下这种类型的分块矩阵可逆性的存在条件及其普遍适用的求逆公式.设 ,A 为 n 阶矩阵,B 与 C 分别为 nm 和 mn 矩阵,D 为 m 阶矩阵.

8、ABMCD5定理 1.若 A 矩阵是可逆的,则 M 矩阵可逆当且仅当 可逆.这时1DCAB111()()BDCABM 证明: 由 1 10DCAB = 故 存在. A10DCB1()由 1 11100()()n nm mI IDCABDCAB 1 1110()()n nm mABI IC 111 100()()nmIAABDCBDCAB 1111()()0nmI A 即 1111()()ABCBCMDD由 可逆,可知 存在.11A = , 故 存在. A10B1M定理 2.若 D 可逆,则 M 可逆 可逆,这时1C1 11111()()ADBCAB 证明方法同定理 1,在此略去证明过程.在此,

9、我们还可以得出推论:推论 1:若 B 可逆,则 M 可逆 可逆.1A推论 2:若 C 可逆,则 M 可逆 可逆.BCD6通过以上的讨论,我们只要知道某一块可逆,运用定理及其推论就可以判断出 M 是否可逆,如果可逆,我们就可以运用相应的求逆公式求出.我们在实际应用时,如果一个阶数较大的矩阵,找不到特殊的块(如零块,单位块,相同块等),或者不能化为特殊型(如分块对角阵,分块上(下)三角阵等),那么求它的逆运用分块的方法优势也就不明显了.而以上所研究的求逆条件和求逆公式的实用价值也就大打折扣.而我们在实际计算当中,最常遇到的便是矩阵中含有零块的情况,下面我们来研究一下 22 分块矩阵中含有零块时,它

10、的可逆性存在条件及其可逆公式是什么形式的.1.分块矩阵中含有 3 个零块,即 、 、 、0AB0C0D这种情况下,分块矩阵是不可逆的.以第一种情况为例若 A 可逆,而 =0,是不可逆的,1DM= 不可逆(若 A 不可逆,那么 M 就更不可逆了).02. 分块矩阵中有两个零块. 分块矩阵的两个零块在同一行或同一列,即 和 ,则这种分块矩阵不可逆.0ABM0BD 由定理 1 可知,在中若 存在, =0 不可逆.M 不可逆.1A1CAB 由推论 1 可知,在中若 存在, =0 不可逆.M 不可逆.B.分块矩阵的两个零块不在同一行或同一列,即 和0MD,0BMC 由定理 1 可知,在中若 存在, =D

11、,只有当 D 可逆时,M 才1A1DCAB可逆.代入求逆公式得 ,反过来,若 D 可逆,也只有 A 可逆时,110MM 才可逆. 同前面的一样.1由推论 1 可知,在中若 存在, =C,只有当 C 可逆时,M1B1CBA才可逆, 此时 .107可以用下面的方法求出上面的 ,设 = ,1M112D则 = = = =1M0BC12D212BC0I .1103. 分块矩阵中只有一个零块.分块矩阵的零块在主对角线上,即 和0ABMC0BCD.由定理 1 可知,在中若 存在,只有 可逆,M 才可逆而1A 1= 只有当 、 同时存在时,M 才可逆.1()CABCB1.若 A 不可逆,则令 = ,1M2D=

12、 = = , = ,如1M1212DC 0I1M110CBA果要使 存在,那么 , 一定存在.11B 可用同样的方法讨论.总结: 这种类型的分块矩阵,无论 A(D)是否可逆,只有 B、C 同时可逆时,M才可逆. 分块矩阵的零块不在主对角线上,即 和0AMD0AD对于,可以直接应用定理 1 判断是否可逆,然后直接代入求逆公式即只有当 A 、D 同时可逆时,M 可逆.此时 = 110B对于,同样应用定理 2 可得只有当 AD 同时可逆时,M 可逆.此时, = .1M110C通过以上的讨论,我们不难发现,如果分块矩阵中含有零块,那么判断其可逆性存在条件以及求逆公式都会相应地简单很多.因此,我们在对阶

13、数较大的矩阵分块时应注意零块.下面我们来看一些典型的应用分块矩阵法来求逆的例子,看看是如何分块,如何应用公式及推论的.8例 1：设 ，其中 与 均可逆则1 1nnABiAiB.1 11,nABA 上述结果可以利用公式直接求得.例 2：设 A,B 均为 阶可逆方阵.则 级方阵 可逆，求 .2nD0ACB1D证明:由 A.B 可逆,则 A 的行列式 B 的行列式不为 0，故 D 可逆.设则有12XD1210XDC1122nEAB依据矩阵相等的定义有1nX120A1210CXB12nCXBE故 .111DBC用同样的方法，可得如下结论：设 A.B 均可逆，则1、设 , ;0A110ACB2、设 ,C

14、DB11例 8 设 是一个四分块方阵,其中 为 r 阶方阵, 为 阶方阵,当APBCK与( - )都是可逆矩阵时,则 是可逆矩阵,且1 P,特别地，当 = ，1 1111( ()CDBCDAA A0= ，B 与 C 都可逆时，有 ；当 A=0，D0 时，B 与 C 都可010PB逆时，有 .1110DP9例 9:设 是一个四分块方阵,其中 A 为 r 阶方阵,D 为 k 阶方阵,ABQCD当 与( - )都是可逆矩阵时,则 Q 是可逆矩阵,且1，特别地，(1)当11111( ()BDCAB B=0,C=0,A 与 D 都可逆，有 ；(2)当 C=0,B0,A 与 D 都可逆时，10A有 ;当

15、B=0,C0,A 与 D 都可逆时有110Q.111ADC4.分块矩阵与秩定义 4.1 在 mn 矩阵 A 中，任意决定 k 行和 k 列 (1kminm,n) 交叉点上的元素构成 A 的一个 k 阶子矩阵，此子矩阵的行列式，称为 A 的一个 k 阶子式. 例如，在阶梯形矩阵 中，选定 1，3 行和 3，4 列，它们交123405叉点上的元素所组成的 2 阶子矩阵的行列式 ,就是矩阵 A 的det204一个 2 阶子式. 定义 4.2. 的不为零的子式的最大阶数称为矩阵 A 的秩，记作()ijmnAa，或 . ()rrk特别规定零矩阵的秩为零.显然 min(m,n) 易得： ()rA若 A 中

16、至少有一个 r 阶子式不等于零,且在 rmin(m,n)时,A 中所有的 r+1阶子式全为零,则 A 的秩为 r. 10由定义直接可得 n 阶可逆矩阵的秩为 n,通常又将可逆矩阵称为满秩矩阵, det(A) 0;不满秩矩阵就是奇异矩阵,det(A)=0. 由行列式的性质 1(1.54)知,矩阵 A 的转置 AT 的秩与 A 的秩是一样的。T例 1. 计算下面矩阵的秩， 12346800而的所有的三阶子式，或有一行为零；或有两行成比例，因而所 有的三阶子式全为零，所以 r(A)。定义 2. 的不为零的子式的最大阶数称为矩阵 A 的秩,记作()ijmnAar(A),或 rank(A). 特别规定零

17、矩阵的秩为零. 显然 min(m,n) 易得： ()r若 A 中至少有一个 r 阶子式不等于零，且在 rmin(m,n)时，A 中所有的 r+1阶子式全为零，则 A 的秩为 r. 由定义直接可得 n 阶可逆矩阵的秩为 n,通常又将可逆矩阵称为满秩矩阵, det(A) 0；不满秩矩阵就是奇异矩阵,det(A)=0. 由行列式的性质知,矩阵 A 的转置 的秩与 A 的秩是一样的. T例 1. 计算下面矩阵的秩，1234680011而的所有的三阶子式,或有一行为零；或有两行成比例,因而所 有的三阶子式全为零,所以 r(A). 引理 1 矩阵乘积的秩不大于每一个因子的秩;两个矩阵中又一个是可逆矩阵时，

18、它们乘积的秩等于另一个因子的秩.引理 2 .0+ABC秩 秩 秩引理 3 特别有=0秩 秩 ； 0=ACE秩 秩 .事实上，我们有 ,再利用引理 1.0IABC引理 4 在一个分块矩阵中，若把每个块看成一个元素,则进行通常的初等变换扔不改变矩阵的秩.例如,对 的第二行乘 -1 加到第一行便得 ,从0B 0AB而有= 0A秩 秩 +AB秩 秩定理 1 设 矩阵，则,Bmn都 是 ()秩 秩 秩 。证明：因为 ,于是引理 2.1 及 4，得00AEABO() =+0BAB秩 秩 秩 秩 秩从而有12()+AB秩 秩 秩推论 1. 设 矩阵，则 .,Bmn都 是 -()AB秩 秩 秩证明：根据定理

19、1，由 =A秩 （ -） +秩 +（ -） 秩 秩 得 .定理 2 设 ， ，且 ,则 .是 n矩 阵 B是 s矩 阵 AB=0n秩 秩证明：由于 ,故有 ,于是由引理 2.1 及 4 得0A0E+=n0ABE秩 秩 秩 秩 秩推论 2 设 是 n 阶方阵，且 ,则 .2AE()+=n秩 （ A-E） 秩证明：由 ,则 ,故有定理 2，另一方面由定理 1 得2AE()=0（ -）()n秩 =+（ ） （ -） 秩 （ ） 秩 （ -） 秩从而有 =n.（ AE） （ -） 秩例 2 设 且 证明 .(),(),mnnlMpB0AB()rBn证明：法 1 设 ,则由 可知 为方程 的解,设12.

20、li 0Ax为方程 的基础解系,由齐次线性方程解的性质可知,向量组12(),.nrA0x可由向量组 线性表示,固有上面结果 ,即lB12().nrA ()()rBnr.()r法 2 设 A 为 mn 矩阵，B 为 nl 矩阵，若 AB=0,则 r(A)+r(B)n.证明 因为r(A) + r(B) = 13 = = = =n,所以 r(A)+r(B)0ArB0rEABr0rE0rn.参考文献：1 王萼芳,石生明.高等代数M.北京:高等教育出版社,1987.2 樊恽,刘宏伟.线性代数与解析几何教程M.武汉:科学出版社,2008.3 丘森.高等代数M.武汉:武汉大学出版社,2012.4 宋光艾.高

21、等代数J.北京:清华大学出版社,2012.5 陈光大.高等代数M. 武汉:华中科技大学出版社, 2006.6 陈建龙.线性代数J.北京：科学出版社，2007.7 田原,沈亦一.线性代数J.上海：华东理工大学出版社 2007.14致谢语：首先感谢我的指导老师梁峰悉心、认真的指导.在我毕业论文的选题、写作、修改、完善过程中，指导教师梁峰给予了耐心指导、认真帮助，特别是梁老师一丝不苟，认真负责的工作态度和作风值得我终身学习，在此我向梁老师表示诚挚的谢意和良好的祝愿，祝梁老师工作顺利，万事如意！其次是感谢我所属的单位：安徽师范大学数学系与应用数学系。以及为本文提供大量理论基础的参考文献的工作者们。再次向所有在我毕业论文设计过程中，直接或间接关心帮助过我的老师、同学表示由衷的谢意！没有你们无私的帮助，我也不可能完成这篇毕业论文，真心谢谢你们！ 衷心地感谢在百忙之中评阅论文和参加答辩的各位老师、教授！