经典不定积分课件

1、,5.2 不定积分的性质,求不定积分与求导数或微分互为逆运算,不为零的常数因子可以移到积分号前,两个函数的代数和的积分等于函数积分的代数和,求不定积分与求导数或微分互为逆运算,说明,不定积分的导数(或微分)等于被积分函数(或被积表达式) 一个函数的导数(或微分)的不定积分与这个函数相差一个任意常数 微分运算与求不定积分的运算是互逆的,不为零的常数因子可以移到积分号前,这是因为 上式右端的导数,恰好是左端的被积函数,求不定积分与求导数或微分互为逆运算,两个函数的代数和的积分等于函数积分的代数和,这是因为,不为零的常数因子可。

2、,$1不定积分的概念,2,前言,在第二章中讨论了求已知函数导数的问题,在科学技术领域 中,还常常遇到相反的问题.即已知一个函数的导数,如何求这个函数?如:一质点作非匀速直线运动的规律为s=s(t),则在时刻t的速度,反之,若已知质点运动的速度为v(t),如何求质点的运动规律s=s(t)?,这在数学上归结为求导运算的逆运算,称之为不定积分法.,$1不定积分的概念,3,例 S(t)是v(t)的原函数,定义Definition ：,一、原函数与不定积分的概念 Concept of antiderivative and indefinite integral,$1不定积分的概念,4,原函数存在定理 theorem,简言之：连续函数一。

3、第四节 原函数与不定积分,一、主要定理和定义,二、典型例题,三、小结与思考,2,一、主要定理和定义,定理一,由定理一可知:,解析函数在单连通域内的积分只与起点和终点有关, (如下页图),1. 两个主要定理:,3,4,定理二,证,利用导数的定义来证.,5,由于积分与路线无关,6,7,由积分的估值性质,8,此定理与微积分学中的对变上限积分的求导定理完全类似.,证毕,9,2. 原函数的定义:,原函数之间的关系:,证,10,那末它就有无穷多个原函数,根据以上讨论可知:,证毕,11,3. 不定积分的定义:,定理三,(类似于牛顿-莱布尼兹公式),12,证,根据柯西-古萨基本定理,证毕。

4、第一章 微积分 1.5 不定积分,主要教学内容： 原函数与不定积分的概念 基本积分公式表 不定积分的线性运算 换元法 分部积分法 积分表的使用,2.5 不定积分,2.5.1 原函数与不定积分1. 基本概念2. 不定积分的几何意义3. 积分与微分的关系,2.5 不定积分,1.基本概念在小学和中学我们学过逆运算，例如：加法的逆运算是减法;乘法的逆运算是除法;指数的逆运算是对数等。,2.5 不定积分,微分是否有逆运算？若有, 是什么？,微分法：互逆运算 积分法:,2.5 不定积分,微分有逆运算，不定积分是微分的逆运算！,定义1 设 在区间 内有定义,若存在函数 使得则。

5、2019/4/24,1,作业 P150 习题5.61(5)(7)(15). 2(3). 3(1). 4(5). 5(1)(3). P155 综合题23. 24. 30. 48. 63.,复习：P124155 预习：P158166,2019/4/24,2,第十五讲 不定积分（三）,一、有理函数的积分,二、简单无理式的积分,2019/4/24,3,一、有理函数的积分,（一）代数有理函数的积分,2019/4/24,4,四类最简分式的积分,2019/4/24,5,2019/4/24,6,2019/4/24,7,如何将真分式分解为最简分式之和 ？,定理1：,2019/4/24,8,定理2：,2019/4/24,9,2019/4/24,10,解,2019/4/24,11,2019/4/24,12,解,2019/4/24,13,2019/4/24,14,2019/4/24,15,注意 计算最后一。

6、2019/1/3,1,P129 习题5.21(1). 6. 9. P133 习题5.3 1(3)(6)(9). 2(3)(5)(11).3(3)(7)(9)(10). 4(3)(8).,作 业,预习：P135141,2019/1/3,2,第十三讲 不定积分（一）,一、原函数与不定积分概念,二、基本积分表,三、凑微分法,2019/1/3,3,一、原函数与不定积分概念,（1） 从运算与逆运算看,初等数学中加法与减法、乘法与除法、 乘方与开方等，都是互逆的运算。,微分运算是对一个可导函数求导数。 微分运算的逆运算是什麽？,问题：,这就是求原函数和不定积分的运算。,2019/1/3,4,（2） 从物理问题看,2019/1/3,5,（一）原函数的定义,2019/1/3,6,。

7、2019/4/25,1,作 业 P137 习题5.41(2)(6)(10). 2(4)(13). 3. P142 习题5.51(3)(12). 2(3). 3(2). 7(4). (10).复习: P135141预习: P143155,2019/4/25,2,第十四讲 不定积分（二）,一、变量代换法,二、分部积分法,2019/4/25,3,常常遇到相反的情况,一、变量代换法,凑微分法,难求 ！,容易求 ！,难求 ！,容易求 ！,2019/4/25,4,解,2019/4/25,5,定理2：（变量代换法）,证,2019/4/25,6,解,2019/4/25,7,解,2019/4/25,8,2019/4/25,9,解,2019/4/25,10,2019/4/25,11,“双曲代换” 和 “倒数代换”,2019/4/25,12,2019/4/25,13,二、分部积分法,难求 ！,容。

8、7.3定积分与不定积分的关系,一、引例,在变速直线运动中, 已知位置函数,与速度函数,之间有关系:,由定积分的定义知，物体在时间间隔,内经过的路程,这种积分与原函数的关系在一定条件下具有普遍性 .,另一方面，,从而，,二、积分上限函数及其导数,x,设函数 f (t) 在区间a, b上可积，,由积分区间的可加性，,对任意,定积分,存在.,x,是定义在a, b,记作,上的函数,即,称为积分上限函数.,同理,可以定义区间a, b上的函数,称为积分下限函数.,积分变限函数,积分上限函数的性质,证,由积分中值定理得,定理1（原函数存在定理）,定理的重要意义：,（1）肯定。

9、第一节 不定积分的概念及其线性法则,一、原函数与不定积分的概念,二、基本积分表,三、不定积分的线性运算法则,四、小结,定义：,一、原函数与不定积分的概念,1.原函数,设 f (x) 在区间 I 内有定义，若存在可导函数 F(x)使对每一个 xI 有 F(x)= f(x) 或 dF(x) = f (x)dx ，则称 F(x) 为 f(x) 在区间 I 内的一个原函数.,关于原函数有以下三个问题：,1) f(x) 满足什么条件 , 其原函数一定存在？,2) 若 f(x) 有原函数 ,原函数是否唯一？,3) f (x) 的全体原函数如何表示?,原函数存在定理：,若 f(x) 在区间 I 内连续 , 则在区间 I 内一定存在 f(x。

10、积分换元法,不定积分换元法 定积分换元法 联系与区别 实例分析,定理:（不定积分换元法）,如果,则有,定理2:（定积分的换元积分法）,并且满足下列条件：,则有,定积分元法与不定积分换元法的比较,详细分析不定积分换元法和定积分换元法的异同.,计算两种积分都需要作换元,(1)两者的第一个区别是：,对于不定积分得换元法则没有这个必要,不定积分重视形式运算,可以取,于是,第二个问题是：,但是对于定积分的换元法，,第三个问题是：,求出不定积分,以后，,进一步得到,才能得到最终结果.,另一方面，,直接计算着个积分就可以了.,这个结论显然是错误。

11、第六章 不定積分,第一節 基本公式直接積分法,第二節變數變換積分法,第三節分部積分法（Integration By Parts, I.B.P.）,第二節 部分分式積分法,第五節 三角代換積分法,第六節 無理根式積分法,。

12、1,第四章 不 定 积 分,求原来那个函数的问题.,已知某曲线的切线斜率为2x,本章研究微分运算的逆运算,已会求已知函数的导数和微分的运算.,解决相反的问题,就是已知函数的导数或微分,例如,某质点作直线运动,已知运动速度函数,求路程函数.,常要,求此曲线的方程.,1.,2.,不定积分.,indefinite integral,2,第一节 不定积分的概念与性质,原函数与不定积分的概念,基本积分公式,不定积分的性质,小结 思考题 作业,indefinite integral,第四章 不定积分,3,一、原函数与不定积分的概念,解,例,设曲线方程上任一点的切线斜率都等于切点,处横坐标的两倍,求。

13、,2,积分法,原 函 数,选 择 u 有 效 方 法,基 本 积 分 表,第一换元法 第二换元法,直接 积分法,分部 积分法,不 定 积 分,几种特殊类型 函数的积分,一、主要内容,3,1、原函数,定义,原函数存在定理,即：连续函数一定有原函数,4,2、不定积分,(1) 定义,5,(2) 微分运算与求不定积分的运算是互逆的.,(3) 不定积分的性质,6,3、基本积分表,是常数),7,8,5、第一类换元法,4、直接积分法,第一类换元公式（凑微分法）,由定义直接利用基本积分表与积分的性质求不定积分的方法.,9,常见类型:,10,6、第二类换元法,第二类换元公式,11,常用代换:,12,7、分部积。

14、2019/9/30,1,作 业 P137 习题5.41(2)(6)(10). 2(4)(13). 3. P142 习题5.51(3)(12). 2(3). 3(2). 7(4). (10).复习: P135141预习: P143155,2019/9/30,2,第十四讲 不定积分（二）,一、变量代换法,二、分部积分法,2019/9/30,3,常常遇到相反的情况,一、变量代换法,凑微分法,难求 ！,容易求 ！,难求 ！,容易求 ！,2019/9/30,4,解,2019/9/30,定理2：（变量代换法）,证,2019/9/30,6,解,2019/9/30,7,解,2019/9/30,8,2019/9/30,9,解,2019/9/30,10,2019/9/30,11,“双曲代换” 和 “倒数代换”,2019/9/30,12,2019/9/30,13,二、分部积分法,难求 ！,容易。

15、第四章 微分法 积分法 互逆运算 不定积分 二 基本积分表 三 不定积分的性质 一 原函数与不定积分的概念 第一节 机动目录上页下页返回结束 不定积分的概念与性质 第四章 一 原函数与不定积分的概念 引例 一个质量为m的质点 下沿直线运动 。

16、欢迎同学们返校,欢迎同学们返校,课程安排：每周4学时,平时：作业（10%）、出勤（10%）,答疑时间：每周三晚上7:30-9:30,考 试：期中（20%）、期末（60%）,20072008学年第二学期,地 点: 各班教室轮换,课程安排：每周4学时,平时：作业（10%）、出勤（10%）,答疑时间：每周三晚上7:30-9:30,20072008学年第二学期,地 点: 各班教室轮换,考 试：期中（20%）、期末（60%）,1. 求极限,2. 求极限,3. 求极限,上学期考试总结, 通分, 等价无穷小代换,洛必达,4. 设 , 求二阶导数,导数的几何意义, 隐函数求导法,1. 求极限,2. 求极限,3. 求极限,上学期考试。

17、第四节 不定积分的概念与性质,一 不定积分的概念二 不定积分的性质三 基本积分表,一、不定积分的概念,定义 在区间 内，函数 的带有任意常 数项的原函数，称为 在区间 内 的不定积分，记为,例1 求,解:,解:,例2 求,例3 求,解:,例4 设曲线通过点(2，5)，且其上任一点处 的切线斜率等于该点横坐标的两倍，求 此曲线方程。,解：,设曲线方程为,根据题意知,由曲线通过点(2，5)代入上式，得,所求曲线方程为,显然，求不定积分得到一积分曲线族。,函数 的原函数的图形称为 的积分曲线。,必 某个常数 使,二、不定积分的性质,1.,2.,3.,设 为非零常数,。

18、1不定积分2.1 不定积分的直接积分法直接积分法通常也可以称之为凑微分法。直接积分法是建立在不定积分基本积分公式和不定积分线性运算法则（ ）之上的，求解不定niinii dxxfkf11)()(积分的一般思路是：先将被积函数转化为若干简单函数的和，然后应用不定积分的线性运算法则和不定积分基本积分公式来求解，这样做就是为了把复杂的不定积分化为简单的不定积分，把未知的不定积分化为已知的不定积分。例题 1 求下列不定积分：； .)(dx2sinco)2(dxx)1解 分析：对于例题1中的 ，只要对要求的不定积分进行变形，直到可以)(1简单地利用基本积分公。

19、第四章不定积分 微分学 积分学 互逆问题 设曲线通过点 1 2 且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍 求此曲线方程 二 基本积分表 第一节不定积分的概念和性质 一 原函数与不定积分的概念 三 不定积分的性质 一 原函数与不定积分的概。

20、,第四章 不 定 积 分,求原来那个函数的问题.,已知某曲线的切线斜率为2x,研究微分运算的逆运算,已会求已知函数的导数和微分的运算.,解决相反的问题,就是已知函数的导数或微分,例如,某质点作直线运动,已知运动速度函数,求路程函数.,常要,求此曲线的方程.,1.,2.,不定积分.,indefinite integral,积分变量,积分常数,被积函数,定义,被积表达式,不定积分,不定积分.,定义,全部原函数的一般表达式,称为函数f (x)的,总和(summa),记为,积分号,1. 被积函数是原函数的导数,被积表达式是,原函数的微分.,2. 不定积分表示那些导数等于被积函数的所,或说其。