1、欢迎同学们返校,欢迎同学们返校,课程安排：每周4学时,平时：作业（10%）、出勤（10%）,答疑时间：每周三晚上7:30-9:30,考 试：期中（20%）、期末（60%）,20072008学年第二学期,地 点: 各班教室轮换,课程安排：每周4学时,平时：作业（10%）、出勤（10%）,答疑时间：每周三晚上7:30-9:30,20072008学年第二学期,地 点: 各班教室轮换,考 试：期中（20%）、期末（60%）,1. 求极限,2. 求极限,3. 求极限,上学期考试总结, 通分, 等价无穷小代换,洛必达,4. 设 , 求二阶导数,导数的几何意义, 隐函数求导法,1. 求极限,2. 求极限,3
2、. 求极限,上学期考试总结, 通分, 等价无穷小代换,洛必达,4. 设 , 求二阶导数,导数的几何意义, 隐函数求导法,7. 求 的增减区间和极值.,微分,9. 已知 时, 和 为等价无穷小, 求常数,10. 证明方程 有且只有一个正实根.,证明单调, 并在区间0, 1上利用零点定理,11. 设,(1) 问 为何值时, 在 连续.,12. 在区间 上函数 的最大值记为,( 为正整数), 求,先求最大值, 再求极值,13. 设 在 上连续, 在 内可导, 且 单调减少,证明不等式,在 和 上利用中值定理,第 五 章,不 定 积 分,第 五 章,不 定 积 分,5.1 不定积分的概念,(一) 原函
3、数,?,这是一个与微分学中求导数相反的问题., 则该产品产量的变化率是产量对时间 的导数 . 反过来，如果已知某产量的变化率是时间 的函数 ，求该产品的产量函数 ，也是一个与微分学中求导数相反的问题.,例2 如果已知某产品的产量 是时间 的函数,例3,例4,例3, 例4 也都是与微分学中求导数相反的问题.,例如，在区间 (-, +)内，因为 (sin x)cos x，所以 sin x是 cos x的一个原函数。,提问： cos x还有其它的原函数吗？提示： cos x的原函数还有sin x+C。,下页,定义5.1 如果在区间 上, 可导函数 的导数为 ，即对任一 ，都有 或 ，则称函数 是函数
4、 在区间 上的原函数。,两点说明：,2. f(x) 的任意两个原函数之间只差一个常数, 即 如果 (x) 和 F(x) 都是 f(x) 的原函数，则 (x) F (x) C (C为某个常数)。,1. 如果F(x)是 f(x)的原函数 ，那么F(x)C 都是 f(x) 的原函数，其中 C 是任意常数。,首页,定义5.1 如果在区间 上, 可导函数 的导数为 ，即对任一 ，都有 或 ，则称函数 是函数 在区间 上的原函数。,二、不定积分,不定积分的相关名称： 叫做积分号， f(x) 叫做被积函数， f(x)dx 叫做被积表达式， x 叫做积分变量。,定义5.2 函数 f(x) 的所有原函数称为 f
5、(x) 的不定积分，记作,下页,根据定义，如果 F(x) 是 f(x) 的一个原函数，则,其中 C 是任意常数，称为积分常数。,下页,二、不定积分,定义5.2 函数f(x)的所有原函数称为f(x)的不定积分，,例3,例1,例2,解：,首页,函数f(x)的原函数的图形称为f(x)的积分曲线。,函数f(x)的积分曲线也有无限多条。函数f(x)的不定积分表示f(x)的一簇积分曲线，而f(x)正是积分曲线的斜率。,三、不定积分的几何意义,下页,例4求过点(1, 3)，且其切线斜率为2x的曲线方程。 解：设所求的曲线方程为 yf(x)，则 y f (x) 2x，即f(x)是2x 的一个原函数。,因为所求
6、曲线通过点(1, 3)，故 31C，C2。于是所求曲线方程为yx22。,(1, 3) ,所以y=f(x)x2C。,结束,5. 2 不定积分的性质,上页,下页,结束,返回,首页,性质1,性质2,设F(x)是f(x)的一个原函数，则有F (x)f(x)，且,因此不定积分有如下性质：,铃,(一) 求不定积分与求导或微分互为逆运算,性质3,(二) 不定积分的线性运算性质,因为,所以,性质4,(二) 不定积分的线性运算性质,注：这两个公式可以推广到有限多个函数线性运算的情况中去。,因为,性质4,性质3,(二) 不定积分的线性运算性质,注：这两个公式可以推广到有限多个函数线性运算的情况中去。,作业: P223 1. (1), (3), (5) 2. (1), (3), (5), (7), (9), (12), (14),下 课,
