1、第四章不定积分 微分学 积分学 互逆问题 设曲线通过点 1 2 且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍 求此曲线方程 二 基本积分表 第一节不定积分的概念和性质 一 原函数与不定积分的概念 三 不定积分的性质 一 原函数与不定积分的概念 定义1 原函数 即 都有 或 那么函数 就称为 或 是在区间内 的一个原函数 原函数存在定理 即连续函数一定有原函数 问题 1 原函数是否唯一 例 C为任意常数 2 若不唯一它们之间有什么联系 都有 关于原函数的说明 1 若 则对于任意常数C 2 若和都是的原函数 则 C为任意常数 证 2 C为任意常数 被积函数 定义2 不定积分 在区间I内 函数的带有
2、任意常数项的原函数 称为在区间I内的不定积分 记为 原函数 例1求 解 解 例2求 例3设曲线通过点 1 2 且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍 求此曲线方程 解 设曲线方程为 根据题意知 由曲线通过点 1 2 所求曲线方程为 不定积分的几何意义 的图形 的所有积分曲线组成 的平行曲线族 由不定积分的定义 可知 结论 微分运算与求不定积分的运算 互逆 微分运算与求不定积分的运算的关系 启示 能否根据求导公式得出积分公式 结论 既然积分运算和微分运算是互逆的 因此可以根据求导公式得出积分公式 二 基本积分表 基本积分表 k是常数 说明 例4求积分 解 根据积分公式 证 等式成立 可推广
3、到有限多个函数之和的情况 三 不定积分的性质 线性性质 为常数 例5求积分 解 例6求积分 解 例7求积分 解 例8求积分 解 说明 以上几例中的被积函数都需要进行恒等变形 才能使用基本积分表 例9 解 所求曲线方程为 例10已知一曲线 在点 处的切线斜率为 且此曲线与 y轴的交点为 求此曲线的方程 5 基本积分表 1 4 不定积分的性质 线性性 1 原函数的概念 2 不定积分的概念 3 求微分与求积分的互逆关系 小结 6 利用积分公式求积分 思考题 思考题解答 作业 习题4 11 6 13 26 2 3 4 习题4 21 练习题 三 一曲线通过点 斜率等于该点横坐标的倒数 求该曲线的方程 且在任一点处的切线的 练习题答案
