1、7.3定积分与不定积分的关系,一、引例,在变速直线运动中, 已知位置函数,与速度函数,之间有关系:,由定积分的定义知，物体在时间间隔,内经过的路程,这种积分与原函数的关系在一定条件下具有普遍性 .,另一方面，,从而，,二、积分上限函数及其导数,x,设函数 f (t) 在区间a, b上可积，,由积分区间的可加性，,对任意,定积分,存在.,x,是定义在a, b,记作,上的函数,即,称为积分上限函数.,同理,可以定义区间a, b上的函数,称为积分下限函数.,积分变限函数,积分上限函数的性质,证,由积分中值定理得,定理1（原函数存在定理）,定理的重要意义：,（1）肯定了连续函数的原函数是存在的.,（2
2、）初步揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系.,解：,(1)对,有,当函数 f (x)在区间a, b上,连续时,解：,(2)推论1：,设函数 f (t) 在区间c, d上连续,函数,区间a, b上可导,且,则函数,在区间a, b上可导,且,解：,(3)推论2：,设函数 f (t) 在区间c, d上连续,函数,区间a, b上可导,且,则函数,在区间a, b上可导,且,解：,例5,解,例6,例7,确定常数 a , b , c 的值,解:,原式 =,c 0 , 故,又由, 得,证,令,在0,1上至多有一点使 F(x) = 0,又,在0,1上至少有一点使 F(x) = 0,例8,定理 3（微积分基本
3、公式）,证,二、牛顿莱布尼茨公式,令,令,牛顿莱布尼茨公式,微积分基本公式表明：,注意,求定积分问题转化为求原函数的问题.,例9 求,原式,解,解 原式,解,例11. 计算,解,例13 求,解,解 面积,例15 求,解,:,例16,解,例17.求,解:,例18. 求极限:,解:,3.微积分基本公式,1.积分上限函数,2.积分上限函数的导数,三、小结,牛顿莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学之间的关系,备用题,解,1.,设,求,定积分为常数 ,设, 则,故应用积分法定此常数 .,2.,求,解,的递推公式(n为正整数) .,由于,因此,所以,其中,3 求,解,由图形可知,观察下列演示过程，注意当分割加
4、细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,
