函数的最大最小值与导数极值

1、第十节 函数的极值与最大、最小值,一、函数的极值及其求法,二、最大与最小值问题,一、函数的极值及其求法 1.函数极值的定义,设 f(x) 在区间 (a,b) 内有定义 , x0 (a,b) ,若对任意的 xU(x0, ) (a,b) 且 x x0 , 有,(1) f (x) f (x0) , 则称 f (x0) 是 f (x) 的一个极大值 ,称点 x0 为 f (x)的一个极大值点;,(2) f (x) f (x0) , 则称 f (x0) 是 f (x) 的一个极小值 ,称点 x0 为 f (x)的一个极小值点.,函数的极大值与极小值统称为极值,极大值点与极小值点统称为极值点.,例如,x =1 为极大值点 ,f (1)=2是极大值;,x =2 为极小值点 ,f (1)=2是极。

2、解,运用零点定理, 故方程存在一根,又在区间(0,1/a)上，f (x)单调递增；在区间(1/a，+)上，f (x)单调递减，,所以方程lnx=ax有两个根.,三、曲线凹凸的定义,问题:如何研究曲线的弯曲方向?,图形上任意弧段位 于所张弦的上方,图形上任意弧段位 于所张弦的下方,四、曲线凹凸的判定,定理,例6,解,注意到,五、曲线的拐点及其求法,1.定义,2.拐点的求法,方法:,例7,解,凹的,凸的,凹的,拐点,拐点,例8,解,注意:,一、函数极值的定义,二、函数极值的求法,5 函数的极值与最大值最小值,三、最值的求法,四、应用举例,五、小结,一、函数极值的定义,定义,函数的。

3、第五节 函数的极值与最大值最小值,1、函数的极值及其求法,2、最大值、最小值问题,一、函数的极值及其求法,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定义,函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理1(必要条件),定义,注意:,例如,极值存在的必要条件：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理2(第一充分条件),(是极值点情形),机动 目录 上页 下页 返回 结束,.,.,.,求极值的步骤:,(不是极值点情形),机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1,解,列表讨论,极大值,极小值,机动 目录 上页 下页 返回 结束,。

4、,1.3.3 函数的最大（小）值与导数,一、复习引入,设函数f(x)在点x0附近有定义，,如果对X0附近的所有点，都有f(x)f(x0),则f(x0) 是函数f(x)的一个极大值， 记作y极大值= f(x0)；,如果对X0附近的所有点，都有f(x)f(x0),则f(x0) 是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值= f(x0)；,函数的极大值与极小值统称 为极值.,使函数取得极值的点x0称为极值点,思考：函数在极值点处的导数有什么特征？如何判断极值点？,求可导函数f(x)极值的 步骤：,(2)求导数f (x)；,(3)求方程f (x）=0的根；,(4)把定义域划分为部分区间，并列成表格,检查f (x)在方程根左右。

5、(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查f(x)在方程根左右的值的符号，求出极大值和极小值.,复习 求函数f(x)的极值的步骤:,(1)求导数f(x);,(2)求方程f(x)=0的根,(x为极值点.),练习：求函数 的极值,x=-2时，y有极大值-8， 当x=2时，y有极小值8,练习:如果函数 f(x)=ax5-bx3+c(a0)在x=1时有极值,极大值为4,极小值为0 ,试求a,b,c的值 .,练习:如果函数 f(x)=ax5-bx3+c(a0)在x=1时有极值,极大值为4,极小值为0 ,试求a,b,c的值 .,0,+,极大,无极值,练习:如果函数 f(x)=ax5-bx3+c(a0)在x=1时有极值,极大值为。

6、,第十节 函数的极值与最大、最小值,第二章 一元函数微分学,本节要点,本节引入函数极的概念值，并通过函数的一阶及二阶导函数的符号去讨论函数的极值情况.,一、函数的极值及其求法 二、函数的最大值、最小值及其求法 三、应用,定义 设函数 在点 的某个邻域 内有定 义，如果对任意的 有,或,一、函数的极值及其求法,注意：函数的极大（小）值是函数在局部范围内的最大（小）值，或称为相对最大（小）值。,在本章的第五节中，费马定理指出: 如果函数 可导，并且点 是它的极值点，那么点 是它的驻 点，即 ，但是函数的驻点未必是它的极值点. 例。

7、1,第五节 函数的极值与最大最小值,一、函数极值的定义 二、函数极值的求法 三、最大值最小值问题 四、小结 作业,2,一、函数极值的定义,3,函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.,定义 设函数 f (x0) 在点 x0 的某邻域 U(x0) 内有定义, 如果对于去心邻域 U (x0)内的任一x, 有 f (x) f(x0), 那么就称 f (x0) 是函数 f (x) 的一个极大值(或极小值).,o,4,函数的极大值、极小值,是局部性的.,在一个区间内,函数可能存在许多个极值,最大值与最小值,有的极小值可能大,于某个极大值.,只是一点附近的,5,二、函数极值的求法,。

8、1,函数的极值及其求法,小结 思考题 作业,最大值最小值问题,第五节 函数的极值与最大值最小值,第三章 微分中值定理与导数的应用,(extreme value),2,定义,极大值,(或极小值),函数的极大值与极小值统称为,极值.,极值点.,极小值(minimal value),极大值(maximal value),一、函数的极值及其求法,1. 函数极值的定义,使函数取得极值的点x0(自变量)称为,3,函数的极大值、极小值,是局部性的.,在一个区间内,函数可能存在许多个极值,最大值与最小值,有的极小值可能大,于某个极大值.,只是一点附近的,4,定理1(必要条件),如,(1),可导函数的极值点,驻点却。

9、1,函数的极值及其求法,最大值最小值问题,第五节 函数的极值与最值,第三章 微分中值定理与导数的应用,(extreme value),2,定义,极大值,(或极小值),函数的极大值与极小值统称为,极值.,极值点.,一、函数的极值及其求法,1. 函数极值的定义,使函数取得极值的点x0(自变量)称为,3,函数极值,-局部性.,在一个区间内,函数可能存在许多个极值.,4,定理1(必要条件),如,(1),可导函数的极值点,驻点却不一定是极值点.,但函数的,2. 极值的必要条件,必是驻点,费马引理,回忆,极值,5,极值点也可能是导数不存在的点.,如,但,怎样从驻点中与导数不存在的点判断一点。

10、,函数的最大值与最小值,一、复习引入,如果在x0附近的左侧 f/（x）0 ,右侧f/(x)0 ,那么,f(x0) 是极小值.,2.导数为零的点是该点为极值点的必要不充分条件.极值只能在函数的导数为零且在其附近左右两侧的导数异号时取到.,3.在某些问题中,往往关心的是函数在一个定义区间上,哪个值最大,哪个值最小,而不是极值.,1.当函数f(x)在x0处可导时,判别f(x0)是极大(小)值的方法是:,求可导函数f(x)极值的 步骤：,(2)求导数f (x)；,(3)求方程f (x）=0的根；,(4)把定义域划分为部分区间，并列成表格,检查f (x)在方程根左右的符号 如果左正右负（+ -），那么。

11、函数的最大值 与最小值,陈灼星,一、复习与引入,1.当函数f(x)在x0处连续时,判别f(x0)是极大(小)值的方法是:如果在x0附近的左侧 右侧 ,那么,f(x0)是极大值;如果在x0附近的左侧 右侧 ,那么,f(x0) 是极小值.,2.导数为零的点是该点为极值点的必要条件,而不是充分条件.极值只能在函数不可导的点或导数为零的点取到.,3.在某些问题中,往往关心的是函数在一个定义区间上,哪个值最大,哪个值最小,而不是极值.,二、新课函数的最值,观察右边一个定义在区间a,b上的函数y=f(x)的图象.,发现图中_是极小值，_是极大值，在区间上的函数的最大值是_，最小值是。

12、第五节 函数的极值与最大最小值,一、函数极值及其求法 二、最大最小值问题 三、小结,一、单调性的判别法,定理,证,应用拉氏定理,得,例1,解,注意:函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性,二、函数的极值及其求法,1、函数极值的定义,定义,函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.,定理1(必要条件),定义,注意:函数的极值点必是函数的驻点或导数不存在的点，但是，驻点或导数不存在的点不一定就是函数的极值点。,例如,2、函数极值的求法,。

13、,二、最大值与最小值问题,一、函数的极值及其求法,第五节,函数的极值与,最大值最小值,第三章,定义:,在其中当,时,(1),则称 为 的极大值点 ,称 为函数的极大值 ;,(2),则称 为 的极小值点 ,称 为函数的极小值 .,极大值点与极小值点统称为极值点 .,一、函数的极值及其求法,注意:,为极大值点,为极小值点,不是极值点,2) 对常见函数, 极值可能出现在导数为 0 或不存在的点.,1) 函数的极值是函数的局部性质.,例如 ,为极大值点,是极大值,是极小值,为极小值点,函数,定理 1 (极值第一判别法),且在空心邻域,内有导数,(自证),点击图中任意处动画播放暂。

14、 第 三 章 3.5 函数的极值与 最大值最小值 一、函数的极值 定义 设函数 f (x) 在点 0x 的某邻域内有定义， 如果对该邻域内任意一点 0( ) ,x x x 恒有 00( ) ( ) ) ),( ( (f x f xf x f x 则称 0()fx为函数的 极大值 (极小值 )，而 0x 称为函数 f (x) 的 极大值点 (极小值点 ). 极大值与极小值统称为 极值 . 极大值点与极小值点称为 极值点 . 例如， 32( ) 2 9 1 2 3f x x x x yx1122ox = 1 为极大值点， (1) 2f 是极大值 x = 2 为极小值点， (2) 1f 是极小值 说明 极值是函数的 局部性质 . 极值不会在区间端点取到，只在 区间 内部 取到 .。

15、函数的最大最小值与导数,最大和最小方向导数,导数极值最大最小,函数在曲线上的最大方向导数,函数最大方向导数,函数的最大值与导数,最大似然函数导数不为0,梯度,最大似然函数导数大于零,多元函数沿什么方向的方向导数最大。

16、第四节 函数的极值和最大、最小值,一、函数的极值及其求法,二、最大值最小值问题,一、函数的极值,定义 设函数f(x)在x0的某邻域内有定义, 如果对于该邻域内任何异于x0的x都有,极大值、极小值统称为极值. 极大值点、极小值点统称为极值点.,(1) 成立, 则称 为 f(x)的,极大值, 称 为f(x)的极大值点；,(2) 成立, 则称 为f(x)的,极小值, 称 为f(x)的极小值点；,1. 极值的定义,注意:,为极大点,为极小点,不是极值点,2) 对常见函数, 极值可能出现在导数为 0 或不存在的点上.,1) 函数的极值是函数的局部性质.,2. 极值存在的必要条件,定理1 设函数f(x。

17、3.5 函数的极值与最大值最小值,一、函数的极值及其求法,二、最大值最小值问题,提问：f(a)和 f(b)是极值吗？,函数的极值,一、函数的极值及其求法,x1,x2,x3,x4,x5,函数的极大值与极小值统称为函数的极值, 使函数取得极值的点称为极值点.,观察与思考：观察极值与切线的关系.,设函数f(x)在点x0处可导, 且在x0处取得极值, 那么f (x0)0.,驻点使导数f (x)为零的点(方程f (x)0的实根)称为函数f(x)的驻点.,定理1(必要条件),讨论：极值点是否一定是驻点？驻点是否一定是极值点？考察x=0是否是函数y=x3的驻点, 是否是函数的极值点.,设函数f(x)在点x0。

18、1,主要内容：,第三章 微分中值定理与导数的应用第五节 函数的极值与最大最小值,一、函数的极值及其求法; 二、最大值最小值问题.,2,问题： f(a)和 f(b)是极值吗？,函数的极值,一、函数的极值及其求法,x1,x2,x3,x4,x5,函数的极大值与极小值统称为函数的极值, 使函数取得极值的点称为极值点.,观察与思考：观察极值与切线的关系.,3,驻点: 导数的零点.,定理1(必要条件)如果x0为f(x)的极值点, 那么f (x0)0或f (x0)不存在.,讨论：驻点是否一定是极值点？考察x=0是否是函数y=x3的驻点, 是否是函数的极值点.,费马(Fermat)引理设 f(x0)为函数 f(x)在。

19、,函数的最大值与最小值,枪槛纶煎埃够室失遮厢缓悉期嫁杆淫轮悔取课豺夺媒糯瞳宵意本禄抉嫁闹函数的最大最小值与导数极值函数的最大最小值与导数极值,一、复习引入,如果在x0附近的左侧 f/（x）0 ,右侧f/(x)0 ,那么,f(x0) 是极小值.,2.导数为零的点是该点为极值点的必要不充分条件.极值只能在函数的导数为零且在其附近左右两侧的导数异号时取到.,3.在某些问题中,往往关心的是函数在一个定义区间上,哪个值最大,哪个值最小,而不是极值.,1.当函数f(x)在x0处可导时,判别f(x0)是极大(小)值的方法是:,譬镭赌愚原香笺茧吞媳刻稿侮抉疆驴心证棠吮氮。