1、 第 三 章 3.5 函数的极值与 最大值最小值 一、函数的极值 定义 设函数 f (x) 在点 0x 的某邻域内有定义， 如果对该邻域内任意一点 0( ) ,x x x 恒有 00( ) ( ) ) ),( ( (f x f xf x f x 则称 0()fx为函数的 极大值 (极小值 )，而 0x 称为函数 f (x) 的 极大值点 (极小值点 ). 极大值与极小值统称为 极值 . 极大值点与极小值点称为 极值点 . 例如， 32( ) 2 9 1 2 3f x x x x yx1122ox = 1 为极大值点， (1) 2f 是极大值 x = 2 为极小值点， (2) 1f 是极小值 说
2、明 极值是函数的 局部性质 . 极值不会在区间端点取到，只在 区间 内部 取到 . 极大值 不一定大于 极小值 . 定理 1（必要条件） 设函数 f (x) 在点 0x 处可导，且在 0x 处取得极值，那么 0( ) 0 .fx 注意 可导函数 f (x) 的极值点必定是它的驻点，但 函数的驻点不一定是极值点 . 定理 2（第一充分条件） 设函数 f (x) 在点 0x 处连续，且 在 0x 的某个空心邻域内可导 0( ()fx 可以不存在 ). 当 x 由小到大经过 0x 时， ()fx “左 正 右 负 ” ，则 f (x) 在 0x 处取极大值； ()fx “左 负 右 正 ” ，则 f
3、 (x) 在 0x 处取极小值； ()fx 符号保持不变 ，则 f (x) 在 0x 处不取极值 . 使 ( ) 0fx 的点称为函数 f (x) 的 驻点 . 求函数极值的一般步骤： 确定函数 f (x) 的定义域，并求其导数 ( ) ;fx 解方程 ( ) 0 ,fx 求出 f (x) 的全部驻点与 不可导点； 讨论 ()fx 在驻点和不可导点左、右两侧邻近 范围内符号变化的情况，确定函数的极值点； 求出各极值点的函数值，就得到函数 f (x) 的 的全部极值 . 例 1 求函数 32( ) 3 9 5f x x x x 的极值 . 2( ) 3 6 9f x x x 解 3 ( 1 )
4、( 3 )xx 令 ( ) 0 ,fx 得 121 , 3xx 列表得： x()fx()fx1 3( , 1) ( 1 , 3) (3, ) 0 010 22所以，极大值为 ( 1 ) 1 0 ,f 极小值为 ( 3 ) 2 2 .f 例 2 求函数 52332() 5f x x x的极值 . 213322() 33f x x x 解 132 ( 1 )3 xx令 ( ) 0 ,fx 得驻点 x = 1， 列表得： x()fx()fx0 1( , 0) (0,1) (1, ) 不 存 在 00 35所以，极大值为 (0 ) 0 ,f 极小值为 3(1 ) .5f 而 x = 0 为不可导点 .
5、 32( 1)3xx定理 3 （第二充分条件） 设函数 f (x) 在点 0x 处具有 二阶导数，且 00( ) 0 , ( ) 0 ,f x f x 若 0( ) 0 ,fx 则 f (x) 在点 0x 取极大值； 若 0( ) 0 ,fx 则 f (x) 在点 0x 取极小值 . 定理 4（高阶充分条件） 若函数 f (x) 在点 0x 处有直到 n 阶导数，且 ( 1 )00 () 00 ( ) ( ) ( ) )00 , ,n nfxf x f x f x 则： 当 n 为偶数 时， 0x 为极值点，且 () 0( ) 0nfx 时， 0x 为极大值点； () 0( ) 0nfx 时，
6、 0x 为极小值点 . 当 n 为奇数 时， 0x 不是极值点 . 例 3 求函数 32( ) 3 9 5f x x x x 的极值 . 2( ) 3 6 9f x x x 解 3 ( 1 ) ( 3 )xx 令 ( ) 0 ,fx 得 121 , 3xx ( ) 6 6 ,f x x 又 因为 ( 1 ) 1 2 0 ,f ( 3 ) 1 2 0 ,f 所以，极大值为 ( 1 ) 1 0 ,f 极小值为 ( 3 ) 2 2 .f 例 4 求函数 23( ) ( 1 ) 1f x x 的极值 . 解 22( ) 6 ( 1 ) ,f x x x 22( ) 6 ( 1 ) ( 5 1 )f x
7、 x x 令 ( ) 0 ,fx 得驻点 1 2 30 , 1 , 1x x x 因为 (0 ) 6 0 ,f 所以 (0) 0f 为极小值； 但 ( 1 ) ( 1 ) 0 ,ff 故需用第一判别法判别 . 由于 ()fx 在 x 1左右邻域内不变号， 所以 f (x) 在 x 1处没有 极值 . 1 1 xy在上例中， 2( ) 2 4 ( 5 3 ) ,f x x x ( 1) 0f f (x) 在 x = 1处没有极值 . 说明 极值的判别法 (定理 2 定理 4) 都是充分的 . 当这些充分条件不满足时，不能说明极值不存在 . 无极值的判断 无可疑极值点的函数必无极值； 单调函数无极
8、值； 无定义的点一定不是极值点 . 例 5 求函数 222()(1 )xfxx 的极值 . 解 定义域为 ( , 1 ) , (1 , ) , 故 x = 1不是极值点 34()(1 )xfxx 又 令 ( ) 0 ,fx 得 x = 0 列表得： x()fx()fx0( ,0) (0,1) 00二、函数的最大值与最小值 若函数 f (x) 在闭区间 a , b上连续，则其最值只 在 极值点 或 区间端点 处达到 . 说明 极值是局部性质，最值是整体性质 . 极值点未必是最值点，最值点也未必是极 值点；只有当函数的最值在 (a , b) 内达到，那么 最值点也是极值点 . 当函数 f (x)
9、在闭区间在 a , b 上单调时， 最值必在端点处达到 . 求函数 f (x) 在闭区间 a , b 上最值的一般步骤： 求出 f (x) 在 (a , b) 内的驻点 12, , , mx x x及不可导点 12, , , ;m m nx x x 计算 ( ) ( 1 , 2 , , )if x i n及 ( ) , ( ) ;f a f b 比较大小 . 最大值： 12( ) , ( ) , , ( ) , ( ) , ( )m a x nM f x f x f x f a f b最小值： 12( ) , ( ) , , ( ) , ( ) , ( )m i n nm f x f x f
10、x f a f b例 6 求函数 32( ) 2 3 1 2 1 4f x x x x 在 3,4上的最大值与最小值 . 解 因为 2( ) 6 6 1 2f x x x 6 ( 2 ) ( 1 )xx 令 ( ) 0 ,fx 得 121 , 2xx计算得： ( 3 ) 2 3 , ( 2 ) 3 4 , ( 1 ) 7 , ( 4 ) 1 4 2f f f f 所以最大值为 ( 4 ) 1 4 2 ,f 最小值为 (1) 7 .f 三、经济学中的最值问题 最大利润 问题：假设生产 x 件产品的成本为 C(x)， 销售 x 件产品的收入为 R(x)，则销售 x 件产品产生的 利润为 ,( )
11、( ) ( )L x R x C x那么生产多少件产品时，利润函数 L(x) 最大？ 解题思路 根据题意建立数学模型，即写出利润函数； 对利润函数求最值 . 例 7 已知某厂生产 x 件产品的成本为 21( ) 2 5 0 0 0 2 0 040C x x x 解 利润函数为 令 ( ) 0 ,Lx 得唯一驻点 x = 6000 (元 ). 若产品以每件 500 元售出，要使利润最大，应生产 多少件产品？ 21( ) 2 5 0 0 0 3 0 040L x x x 则 1( ) 3 0 0 20L x x 根据问题的实际意义可知， x = 6000 是最大值点， 即生产 6000 件产品时利润最大，最大利润为 875000 元 . 练习 2( ) ( )l im 1 ,()xaf x f axa 则在点 a 处（ ） 1、 设 （ A） f (x) 的导数存在，且 ( ) 0fa （ B） f (x) 取得极大值 （ C） f (x) 取得极小值 （ D） f (x) 的导数不存在 提示 利用极限的保号性 B2、 设 f (x) 在 x = 0 的某邻域内连续，且 (0 ) 0 ,f 0()l im 2 ,1 c o sxfxx 则在点 x = 0 处 f (x)（ ） （ A）不可导 （ B）可导，且 (0 ) 0f （ C）取得极大值 （ D）取得极小值 D
