1、解,运用零点定理, 故方程存在一根,又在区间(0,1/a)上，f (x)单调递增；在区间(1/a，+)上，f (x)单调递减，,所以方程lnx=ax有两个根.,三、曲线凹凸的定义,问题:如何研究曲线的弯曲方向?,图形上任意弧段位 于所张弦的上方,图形上任意弧段位 于所张弦的下方,四、曲线凹凸的判定,定理,例6,解,注意到,五、曲线的拐点及其求法,1.定义,2.拐点的求法,方法:,例7,解,凹的,凸的,凹的,拐点,拐点,例8,解,注意:,一、函数极值的定义,二、函数极值的求法,5 函数的极值与最大值最小值,三、最值的求法,四、应用举例,五、小结,一、函数极值的定义,定义,函数的极大值与极小值统称
2、为极值,使函数取得极值的点称为极值点.,二、函数极值的求法,定理1(必要条件),定义,注意:,例如,定理2(第一充分条件),(是极值点情形),求极值的步骤:,(不是极值点情形),例1,解,列表讨论,极大值,极小值,定理3(第二充分条件),注意：,第二充分条件只适合于在x0处一阶导数为零而二阶导数不为零的情形；,例2,解,注意:函数的不可导点,也可能是函数的极值点.,例3,解,三、最值的求法,注：最值点不一定是内点.,步骤:,1.求驻点和不可导点;,2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比较大小,哪个大哪个就是最大值,哪个小哪个就是最小值;,注意:1、如果区间内只有一个极值,则这个极值就是最值
3、.(最大值或最小值),四、应用举例,例4,解,计算,比较得,例5,要建造一个体积V为50m3的有盖圆柱形水池，问水池的高和底的半径比例为多少时，用料最省？,解,(1)建立圆柱形水池表面积函数关系式,则圆柱形水池表面积函数,设水池底半径为r，高为h，,则表面积,由已知：,得唯一驻点,由问题的实际意义，唯一驻点即为最小值点,实际问题求最值一般步骤:,(1)建立目标函数实际问题中变量间的关系;,(2)求最值将实际问题转化为求目标函数在相应区间上的最值问题;,根据已知条件，将目标函数表示成关于一个变量的函数。,曲线的渐近线,铅直渐近线,水平渐近线,斜渐近线,二、图形描绘,利用函数特性描绘其图形.,基本
4、步骤,2、求驻点、拐点、间断点及导数不存在的点把函数的定义域划分成几个子区间.,4、确定函数图形的水平、铅直渐近线、斜渐近线以及其他变化趋势;,3、确定函数的增减性及凹凸性（列表讨论）,解,非奇非偶函数,且无对称性.,不存在,拐点,极值点,间断点,列表,三、弧微分,规定：,单调增函数,如图，,弧微分公式,记：,则有：,四、曲率及曲率半径,曲率是描述曲线局部性质（弯曲程度）的量。,),),弧段弯曲程度 越大转角越大,转角相同弧段越 短弯曲程度越大,1.曲率的定义,),（,设曲线C是光滑的，,（,定义,曲线C在点M 处的曲率,2.曲率的计算公式,注意:,(1) 直线的曲率处处为零;,(2)圆上各点
5、处的曲率等于半径的倒数,且半径越小曲率越大.,解,显然,定义,3.曲率半径,1.曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处的曲率互为倒数.,注意:,2.曲线上一点处的曲率半径越大,曲线在该点处的曲率越小(曲线越平坦);曲率半径越小,曲率越大(曲线越弯曲).,3.曲线上一点处的曲率圆弧可近似代替该点附近曲线弧(称为曲线在该点附近的二次近似).,五、小结,3.注意最值与极值的区别.,最值是整体概念而极值是局部概念.,5、实际问题求最值的一般步骤.,4、求a,b上函数的最值；步骤；只有一个极值点的情况.,1.极值是函数的局部性概念:极大值可能小于极小值,极小值可能大于极大值.,2.函数的极值必在驻点和不可导点取得.,判别法,第一充分条件;,第二充分条件;,(注意使用条件),思考题,思考题解答,结论不成立.,因为最值点不一定是内点.,例,在 有最小值，但,P152 5(1.3.). 8(1.3.). 9(1.2.).P169 1,
