1、第十节 函数的极值与最大、最小值,一、函数的极值及其求法,二、最大与最小值问题,一、函数的极值及其求法 1.函数极值的定义,设 f(x) 在区间 (a,b) 内有定义 , x0 (a,b) ,若对任意的 xU(x0, ) (a,b) 且 x x0 , 有,(1) f (x) f (x0) , 则称 f (x0) 是 f (x) 的一个极大值 ,称点 x0 为 f (x)的一个极大值点;,(2) f (x) f (x0) , 则称 f (x0) 是 f (x) 的一个极小值 ,称点 x0 为 f (x)的一个极小值点.,函数的极大值与极小值统称为极值,极大值点与极小值点统称为极值点.,例如,x
2、=1 为极大值点 ,f (1)=2是极大值;,x =2 为极小值点 ,f (1)=2是极小值.,例如,x =0为极小值点 ,f (0)=0是极小值.,注意:,2) 对常见函数 , 极值可能出现在导数为 0 或不存在的点.,1) 函数的极值是函数的局部性质.,例,x1 , x4 , x6 为极小值点,x2 , x5 为极大值点,x3 不是极值点.,2.函数极值的求法,注意:,例如,函数的驻点及不可导点称为可疑极值点.,函数的不可导点,也可能是函数的极值点.,定理 1 (极值第一充分条件),设函数 f (x) 在点 x0 处连续,在点 x0 的某去心 邻域内可导 ,(是极值点情形),(不是极值点情
3、形),求极值的步骤:,(1) 求驻点及不可导点,(3) 求极值,(2) 检查 在这些点左右的符号,判断是否为极值点,例1,解,极大值,极小值,不存在,是极大值点，,其极大值为,是极小值点，,其极小值为,定理 2 (极值第二充分条件),证,例2,解,是极大值点，,其极大值为,是极小值点，,其极小值为,注意:,例如,x = 0 不为极值点 .,x = 0 为极小值点 .,例,解,例3,二、最大值、最小值问题 1.最值的求法,求最值步骤:,1.求驻点和不可导点;,2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比较大小,哪个大那个就是最大值,哪个小那个就是最小值;,则其最值只能在极值点或端点处达到 .,1.
4、求 ;,2.求 的点和 不存在的点:,3.计算,4.比较上述值的大小,有:,2. 应用举例,例1,解,计算,比较得,例,例,说明:,由于 g (x) 与 f (x) 最值点相同 , 因此也可通过求 g (x) 的最值点来求 f (x) 的最值点 .,最大值, 最小值的特殊情形:,1)如果区间内只有一个极值,则这个极值就是最值.(最大值或最小值),3)对应用问题 , 有时可根据实际意义判别求出 的可疑点是否为最大值点或最小值点 .,例3 三角形 ABC 的底为 a , 高为 h ,求内接的最大矩形面积.,实际问题求最值应注意:,(1)建立目标函数;,(2)求最值;,例4,解,如图,解得,利用最值
5、证明不等式,不等式证明方法小结：,(1) 利用中值定理 ,(2) 利用单调性 ,(3) 利用函数凸性 ,(4) 利用最值 .,三、小结,极值是函数的局部性概念:极大值可能小于极小值,极小值可能大于极大值.,驻点和不可导点统称为可疑极值点,函数的极值必在可疑极值点取得.,极值判别法,第一充分条件;,第二充分条件;,(注意使用条件),注意最值与极值的区别.,最值是整体概念而极值是局部概念.,实际问题求最值的步骤.,利用最大、小值证明不等式,定理 (判别法的推广),则:,且,1) 当 n 为偶数时,x = x0 为极值点 , 且,x = x0 为极小值点 ;,x = x0 为极大值点 .,2) 当 n 为奇数时,x = x0 不是极值点 .,但点 (x0 , f (x0 ) ) 是曲线 y=f(x)的拐点 .,点 (x0 , f (x0 ) ) 不是曲线 y=f(x)的拐点 .,思考题,下命题正确吗？,思考题解答,不正确,例,在1和1之间振荡,故命题不成立,练 习 题,练习题答案,思考题,思考题解答,结论不成立.,因为最值点不一定是内点.,例,在 有最小值，但,练 习 题,练习题答案,
