大一高数真题

1、,一、有理函数的积分,有理函数的定义：,两个多项式的商表示的函数称之.,几种特殊类型函数的积分,假定分子与分母之间没有公因式,这有理函数是真分式；,这有理函数是假分式；,利用多项式除法, 假分式可以化成一个多项式和一个真分式之和.,例,难点,将有理函数化为部分分式之和.,分母中若有因式 ，则分解后为,有理函数化为部分分式之和的一般规律：,真分式化为部分分式之和的待定系数法,例1,例,解：,注意：分母拆项是常用的技巧！,解: 原式,(P203 公式 (20) ),机动 目录 上页 下页 返回 结束,例. 求,练习：求积分,例. 求,解: 原式,机动 目录 。

2、一、函数的连续性的概念,二、函数的间断点,四、小结 思考题,第七节 函数的连续性,三、初等函数的连续性,一、函数的连续性,1.函数的增量,注意：,2.连续的定义,即：函数在某点连续等价于函数在该点的极限存在且等于该点的函数值.,例1,证,由定义2知,例2,证,3.单侧连续,定理,例3,解,右连续但不左连续 ,4.连续函数与连续区间,在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上的连续函数,或者说函数在该区间上连续.,连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.,5.基本初等函数的连续性,二、函数的间断点(points of discontinuity),1.可去间断点(a remov。

3、一、连续函数的运算法则,第九节,二、初等函数的连续性,连续函数的运算与,初等函数的连续性,第一章,定理2. 连续单调递增函数的反函数也连续单调递增.,在其定义域内连续,一、连续函数的运算法则,定理1. 在某点连续的有限个函数经有限次和 , 差 , 积 ,( 利用极限的四则运算法则证明),商(分母不为 0) 运算,结果仍是一个在该点连续的函数 .,例如,例如,在,上连续单调递增，,其反函数。

4、,一、向量在轴上的投影与投影定理,证,于是,空间两向量的夹角的概念：,类似地，可定义向量与一轴或空间两轴的夹角.,特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定它们的夹角可在0与 之间任意取值.,空间一点在轴上的投影,空间一向量在轴上的投影,关于向量的投影定理（1）,证,定理1的说明：,投影为正；,投影为负；,投影为零；,(4) 相等向量在同一轴上投影相等；,关于向量的投影定理（2）,（可推广到有限多个）,二、向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标,由例1知,向量在 轴上的投影,向量在 轴上的投影,向量在 轴上的投影,按基本单位向量的坐标分解。

5、,一、函数项级数的一般概念,1.定义:,2.收敛点与收敛域:,函数项级数的部分和,余项,(x在收敛域上),注意,函数项级数在某点x的收敛问题,实质上是数项级数的收敛问题.,3.和函数:,(定义域是?),解,由达朗贝尔判别法,原级数绝对收敛.,原级数发散.,收敛;,发散;,二、幂级数及其收敛性,1.定义:,2.收敛性:,证明,由(1)结论,几何说明,收敛区域,发散区域,发散区域,推论,定义: 正数R称为幂级数的收敛半径.,幂级数的收敛域称为幂级数的收敛区间.,规定,问题,如何求幂级数的收敛半径?,证明,由比值审敛法,定理证毕.,例2 求下列幂级数的收敛区间:,解,该级数收敛。

6、微积分期末小结,一.函数,1.基本初等函数,2.初等函数,3.非初等函数,*分段函数,*参数方程表示的函数,*变限定积分,*隐函数方程,4.函数的初等性质,二.极限,三.连续函数,1.连续的基本概念,2.闭区间上连续函数的性质,四.导数与微分,五.导数应用,(一)微分学基本定理,(二)函数性态的研究,(三)不等式的证明,(五)泰勒公式,1.皮亚诺型余项的泰勒公式,(四)罗必达法则,2.拉格朗日型余项的泰勒公式,3.常用的麦克劳林公式,4.利用泰勒公式证明不等式,5.利用泰勒公式作近似计算,要求,1.掌握函数在一点的泰勒公式,2.会用直接展开或间接展开的方法求函数的泰。

7、1,两类重要极限,单调有界必有极限,夹逼定理,性质,有限个无穷小的和,积仍是无穷小,无穷小与有界量的积仍是无穷小,(高阶,低阶,同阶,等价,阶),第一章 极限与连续,2,常用等价无穷小,3,(2) 同除最高次幂;,(1) 消去零因子法;,(6) 复合函数求极限法则,(7) 利用左、右极限求分段函数极限;,(5) 利用无穷小运算性质,(3) 通分;,(4) 同乘共轭因式;,(8) 利用夹逼定理;,(11) 利用连续函数的性质(代入法);,(10) 利用等价无穷小代换;,(9) 利用两类重要极限;,(12) 利用洛必达法则.,函数极限的求法,洛必达法则+等价无穷小代换,洛必达法则+变上限积分求导,4,。

8、1,两类重要极限,单调有界必有极限,夹逼定理,性质,有限个无穷小的和,积仍是无穷小,无穷小与有界量的积仍是无穷小,(高阶,低阶,同阶,等价,阶),第一章 极限与连续,2,常用等价无穷小,3,(2) 同除最高次幂;,(1) 消去零因子法;,(6) 复合函数求极限法则,(7) 利用左、右极限求分段函数极限;,(5) 利用无穷小运算性质,(3) 通分;,(4) 同乘共轭因式;,(8) 利用夹逼定理;,(11) 利用连续函数的性质(代入法);,(10) 利用等价无穷小代换;,(9) 利用两类重要极限;,(12) 利用洛必达法则.,函数极限的求法,洛必达法则+等价无穷小代换,洛必达法则+变上限积分求导,4,。

9、,第四节,一元复合函数,求导法则,本节内容:,一、多元复合函数求导的链式法则,二、多元复合函数的全微分,微分法则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,多元复合函数的求导法则,第八章,一、多元复合函数求导的链式法则,定理. 若函数,处偏导连续,在点 t 可导,则复合函数,证: 设 t 取增量t ,则相应中间变量,且有链式法则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,有增量u ,v ,( 全导数公式 ),(t0 时,根式前加“”号),机动 目录 上页 下页 返回 结束,若定理中,说明:,例如:,易知:,但复合函数,偏导数连续减弱为,偏导数存在,机动 目录 上页 下页 返回 结束,则定。

10、1,两类重要极限,单调有界必有极限,夹逼定理,性质,有限个无穷小的和,积仍是无穷小,无穷小与有界量的积仍是无穷小,(高阶,低阶,同阶,等价,阶),第一章 极限与连续,2,常用等价无穷小,3,(2) 同除最高次幂;,(1) 消去零因子法;,(6) 复合函数求极限法则,(7) 利用左、右极限求分段函数极限;,(5) 利用无穷小运算性质,(3) 通分;,(4) 同乘共轭因式;,(8) 利用夹逼定理;,(11) 利用连续函数的性质(代入法);,(10) 利用等价无穷小代换;,(9) 利用两类重要极限;,(12) 利用洛必达法则.,函数极限的求法,洛必达法则+等价无穷小代换,洛必达法则+变上限积分求导,4,。

11、1,引例,导数的定义,导数的几何意义与物理意义,可导与连续的关系,求导举例,第一节 导数的概念,(derivative),第二章 导数与微分,2,例1,直线运动的瞬时速度问题,一质点作直线运动,已知路程 s 与时间 t 的,试确定t0时的瞬时速度v(t0).,一、引例,关系,这段时间内的平均速度,在每个时刻的速度.,解,若运动是匀速的,平均速度就等于质点,质点走过的路程,3,它越近似的,定义为,并称之为t0时的瞬时速度v(t0).,若运动是非匀速的,平均速度,是这段,时间内运动快慢的平均值,越小,表明 t0 时运动的快慢.,因此, 人们把 t0时的速度,此式既是它的定义式,又指明。

12、第八章 空间解析几何,第一节 空间向量及其线性运算,横轴,纵轴,竖轴,定点,空间直角坐标系,三个坐标轴的正方向符合右手系.,一、空间点的直角坐标,面,面,面,空间直角坐标系共有八个卦限,空间的点,有序数组,特殊点的表示:,坐标轴上的点,坐标面上的点,二、空间两点间的距离,特殊地：若两点分别为,向量：,既有大小又有方向的量.,向量表示：,模长为1的向量.,零向量：,模长为0的向量.,向量的模：,向量的大小.,单位向量：,三、向量的概念,或,或,或,自由向量：,不考虑起点位置的向量.,相等向量：,大小相等且方向相同的向量.,负向量：,大小相等但方向。

13、大一高数之函数,大一高数函数极限例题,大一高数函数极限例题同济版,大一高数函数极限视频,大一高数函数极限难题,大一高数函数与极限,大一高数函数极限,大一高数函数,大一高数函数知识点,大一高数函数与极限总结。

14、,三、微分运算法则,二、微分的几何意义,第七节,一、微分的概念,机动 目录 上页 下页 返回 结束,函数的微分,第二章,一、微分的概念,引例: 一块正方形金属薄片受温度变化的影响,问此薄片面积改变了多少?,设薄片边长为 x , 面积为 A , 则,面积的增量为,关于x 的线性主部,故,当 x 在,取,变到,边长由,其,机动 目录 上页 下页 返回 结束,的微分,定义: 若函数,在点 的增量可表示为,( A 为不依赖于x 的常数),则称函数,而 称为,记作,即,定理: 函数,在点 可微的充要条件是,即,在点,可微,机动 目录 上页 下页 返回 结束,说明:,时 ,所以,时,很小时, 有。

15、当极限存在时，也称广义积分收敛；若极限不存 在，则称广义积分发散，此时无数值意义.,定义 设函数 在区间 上有定义,取,如果极限 存在, 则称此极限为函数,在无穷区间上 的广义积分，,记作,7 广义积分,一、无穷限的广义积分,当极限存在时，称广义积分收敛；若极限不存 在，则称广义积分发散.,类似地，设函数 在区间 上有定义，,当且仅当上式右端两个广义积分均收敛，称广义 积分 收敛；否则，称广义积分发散.,如果对于任意常数c, 广义积分 和,都收敛，,设函数 在区间 上有定义,则称上述两个广义积分之和为,在无穷区间 上的广义积分，,函数,。

16、,习题课,一、 导数和微分的概念及应用,二、 导数和微分的求法,导数与微分,第二章,一、 导数和微分的概念及应用,导数 :,当,时,为右导数,当,时,为左导数,微分 :,关系 :,可导,可微,应用 :,(1) 利用导数定义解决的问题,(3)微分在近似计算与误差估计中的应用,(2)用导数定义求极限,1) 推出三个最基本的导数公式及求导法则,其他求导公式都可由它们及求导法则推出;,2) 求分段函数在分界点处的导数 ,及某些特殊,函数在特殊点处的导数;,3) 由导数定义证明一些命题.,例1.设,存在,求,解:,原式=,例2.,若,且,存在 , 求,解:,原式 =,且,联想到凑导数的定义。