大一专科 高数复习

1、高等数学期末复习资料 第 1 页（共 10 页）高等数学第一章 函数与极限第一节 函数函数基础（高中函数部分相关知识） （）邻域（去心邻域） （）,|Uaxa|0第二节 数列的极限数列极限的证明（）題型 已知数列 ，证明nxlimnxa证明 语言N1由 化簡得 ，nxag g2即对 ， ，当 时，始终0Nn有不等式 成立，nx axlim第三节 函数的极限 时函数极限的证明（）0題型 已知函数 ，证明xfAxf0lim证明 语言1由 化簡得 ，fxAg g2即对 ， ，当 时，0g0x始终有不等式 成立，fx Ax0lim 时函数极限的证明（）題型 已知函数 ，证明xfAxflim证明 语言X1由 化簡得 ，。

2、高数大一上期末复习要点第一章：1、极限（夹逼准则）。2、连续（学会用定义证明一个函数连续，判断间断点类型）第二章：1、导数（学会用定义证明一个函数是否可导） 注：连续不一定可导，可导一定连续。2、求导法则（背）3、求导公式 也可以是微分公式。第三章：1、微分中值定理（一定要熟悉并灵活运用-第一节）。2、洛必达法则 。3、泰勒公式 拉格朗日中值定理。4、曲线凹凸性、极值（高中学过，不需要过多复习）。5、曲率公式 曲率半径第四章、第五章：积分，不定积分：1、两类换元法。2、分部积分法 （注意加 C ）定积分：1、定义。2、。

3、高等数学期末复习资料 第 1 页（共 10 页）高等数学（本科少学时类型）第一章 函数与极限第一节 函数函数基础（高中函数部分相关知识） （）邻域（去心邻域） （）,|Uaxa|0第二节 数列的极限数列极限的证明（）【题型示例】已知数列 ，证明nxlimnxa【证明示例】 语言N1由 化简得 ，nxag g2即对 ， 。当 时，始终0Nn有不等式 成立，nx axlim第三节 函数的极限 时函数极限的证明（）0【题型示例】已知函数 ，证明xfAxf0lim【证明示例】 语言1由 化简得 ，fxAg g2即对 ， ，当 时，0g0x始终有不等式 成立，fx Ax0lim 时函数极限的证明（）【。

4、1,两类重要极限,单调有界必有极限,夹逼定理,性质,有限个无穷小的和,积仍是无穷小,无穷小与有界量的积仍是无穷小,(高阶,低阶,同阶,等价,阶),第一章 极限与连续,2,常用等价无穷小,3,(2) 同除最高次幂;,(1) 消去零因子法;,(6) 复合函数求极限法则,(7) 利用左、右极限求分段函数极限;,(5) 利用无穷小运算性质,(3) 通分;,(4) 同乘共轭因式;,(8) 利用夹逼定理;,(11) 利用连续函数的性质(代入法);,(10) 利用等价无穷小代换;,(9) 利用两类重要极限;,(12) 利用洛必达法则.,函数极限的求法,洛必达法则+等价无穷小代换,洛必达法则+变上限积分求导,4,。

5、微积分期末小结,一.函数,1.基本初等函数,2.初等函数,3.非初等函数,*分段函数,*参数方程表示的函数,*变限定积分,*隐函数方程,4.函数的初等性质,二.极限,三.连续函数,1.连续的基本概念,2.闭区间上连续函数的性质,四.导数与微分,五.导数应用,(一)微分学基本定理,(二)函数性态的研究,(三)不等式的证明,(五)泰勒公式,1.皮亚诺型余项的泰勒公式,(四)罗必达法则,2.拉格朗日型余项的泰勒公式,3.常用的麦克劳林公式,4.利用泰勒公式证明不等式,5.利用泰勒公式作近似计算,要求,1.掌握函数在一点的泰勒公式,2.会用直接展开或间接展开的方法求函数的泰。

6、当极限存在时，也称广义积分收敛；若极限不存 在，则称广义积分发散，此时无数值意义.,定义 设函数 在区间 上有定义,取,如果极限 存在, 则称此极限为函数,在无穷区间上 的广义积分，,记作,7 广义积分,一、无穷限的广义积分,当极限存在时，称广义积分收敛；若极限不存 在，则称广义积分发散.,类似地，设函数 在区间 上有定义，,当且仅当上式右端两个广义积分均收敛，称广义 积分 收敛；否则，称广义积分发散.,如果对于任意常数c, 广义积分 和,都收敛，,设函数 在区间 上有定义,则称上述两个广义积分之和为,在无穷区间 上的广义积分，,函数,。

7、,三、微分运算法则,二、微分的几何意义,第七节,一、微分的概念,机动 目录 上页 下页 返回 结束,函数的微分,第二章,一、微分的概念,引例: 一块正方形金属薄片受温度变化的影响,问此薄片面积改变了多少?,设薄片边长为 x , 面积为 A , 则,面积的增量为,关于x 的线性主部,故,当 x 在,取,变到,边长由,其,机动 目录 上页 下页 返回 结束,的微分,定义: 若函数,在点 的增量可表示为,( A 为不依赖于x 的常数),则称函数,而 称为,记作,即,定理: 函数,在点 可微的充要条件是,即,在点,可微,机动 目录 上页 下页 返回 结束,说明:,时 ,所以,时,很小时, 有。

8、高等数学期末复习资料 第 1 页（共 9 页） 高等数学 第一章 函数与极限 第一节 函数 函数基础（高中函数部分相关知识） （ ） 邻域 （去心邻域） （ ） ,|U a x x a , | 0U a x x a 第二节 数列的极限 数列极限的证明 （ ） 【 题型 示例 】已知数列 nx ， 证明 limnx xa 【证明 示例 】 N 语言 1 由 nxa化简得 gn ， Ng 2 即对 0 ， Ng，当 Nn 时，始终有不等式 nxa成立， axnx lim第三节 函数的极限 0xx 时 函数极 限的证明 （ ） 【题型 示例 】已知函数 xf ， 证明 Axfxx 0lim【证明 示例 】 语言 1 由 f x A 化简得 00 x x g ， g 2 。

9、11两类重要极限单调有界必有极限夹逼定理无穷小无穷大与性质有限个无穷小的和,积仍是无穷小无穷小与有界量的积仍是无穷小(高阶, 低阶,同阶,等价, 阶)第一章 极限与连续2常用等价无穷小3(2) 同除最高次幂;(1) 消去零因子法;(6) 复合函数求极限法则(7)利用左、右极限求分段函数极限;(5) 利用无穷小运算性质(3) 通分;(4) 同乘共轭因式;(8)利用夹逼定理;(11) 利用连续函数的性质(代入法);(10) 利用等价无穷小代换;(9) 利用两类重要极限;(12) 利用洛必达法则. 函数极限的求法洛必达法则+等价无穷小代换洛必达法则+变上限积分求导4例故25两对重。

10、 上海海事大学 学生联合会激情活力 精彩学联 版权所有 违者必究1第一章复习x.1 函数的极限及其连续性概念：省略注意事项1 无界变量与无穷大的区别：无穷大量一定是无界变量，但无界变量不一定是无穷大量，例如， 是无界变量，但不是无穷大量。因为取xfysin)(时， ，当 充分大时， 可以大于一预2nx2n)(nxf先给定的正数 ；取 时，Mxn0)(xf2 记住常用的等价形式当 时，0x ,arctn,tan,arcsi,sin xxexx 1)(,21os1)1l( 例 1 当 时，下列函数哪一个是其他三个的高阶无穷小（1） 。 （2） 。 （3） （4） 。 （）xcostansi )ln(2x解：因为 ，所以。

11、1,两类重要极限,单调有界必有极限,夹逼定理,性质,有限个无穷小的和,积仍是无穷小,无穷小与有界量的积仍是无穷小,(高阶,低阶,同阶,等价,阶),第一章 极限与连续,2,常用等价无穷小,3,(2) 同除最高次幂;,(1) 消去零因子法;,(6) 复合函数求极限法则,(7) 利用左、右极限求分段函数极限;,(5) 利用无穷小运算性质,(3) 通分;,(4) 同乘共轭因式;,(8) 利用夹逼定理;,(11) 利用连续函数的性质(代入法);,(10) 利用等价无穷小代换;,(9) 利用两类重要极限;,(12) 利用洛必达法则.,函数极限的求法,洛必达法则+等价无穷小代换,洛必达法则+变上限积分求导,4,。

12、高数（上册）期末复习要点第一章：1、极限（夹逼准则）2、连续（学会用定义证明一个函数连续，判断间断点类型）第二章：1、导数（学会用定义证明一个函数是否可导） 注：连续不一定可导，可导一定连续2、求导法则（背）3、求导公式 也可以是微分公式第三章：1、微分中值定理（一定要熟悉并灵活运用-第一节）2、洛必达法则3、泰勒公式 拉格朗日中值定理4、曲线凹凸性、极值（高中学过，不需要过多复习）5、曲率公式 曲率半径第四章、第五章：积分不定积分：1、两类换元法 2、分部积分法 （注意加 C ）定积分： 1、定义 2、反常积分第六章：。

13、总复习,函数与极限,（一）函数的定义,（二）极限的概念,（三）连续的概念,主要内容,函 数 的定义,反函数,隐函数,反函数与直接 函数之间关系,基本初等函数,复合函数,初等函数,函 数 的性质单值与多值 奇偶性 单调性 有界性 周期性,1、求定义域的常用方法：,1.分式的分母不能为零。(分母0) 2.在偶次根式中，被开方式 0 3.对数函数的真数0 4.若干项组成的函数式，它的定义域是各项定义域的交集部分。,自变量的取值要使,左右极限,两个重要 极限,求极限的常用方法,无穷小 的性质,极限存在的 充要条件,数列极限,函 数 极 限,等价无穷小 及其性质。

14、1,两类重要极限,单调有界必有极限,夹逼定理,性质,有限个无穷小的和,积仍是无穷小,无穷小与有界量的积仍是无穷小,(高阶,低阶,同阶,等价,阶),第一章 极限与连续,2,常用等价无穷小,3,(2) 同除最高次幂;,(1) 消去零因子法;,(6) 复合函数求极限法则,(7) 利用左、右极限求分段函数极限;,(5) 利用无穷小运算性质,(3) 通分;,(4) 同乘共轭因式;,(8) 利用夹逼定理;,(11) 利用连续函数的性质(代入法);,(10) 利用等价无穷小代换;,(9) 利用两类重要极限;,(12) 利用洛必达法则.,函数极限的求法,洛必达法则+等价无穷小代换,洛必达法则+变上限积分求导,4,。

15、高等数学期末复习资料 第 1 页（共 10 页）高等数学（本科少学时类型）第一章 函数与极限第一节 函数函数基础（高中函数部分相关知识） （）邻域（去心邻域） （）,|Uaxa|0第二节 数列的极限数列极限的证明（）【题型示例】已知数列 ，证明nxlimnxa【证明示例】 语言N1由 化简得 ，nxag g2即对 ， ，当 时，始终0Nn有不等式 成立，nx axlim第三节 函数的极限 时函数极限的证明（）0【题型示例】已知函数 ，证明xfAxf0lim【证明示例】 语言1由 化简得 ，fxAg g2即对 ， ，当 时，0g0x始终有不等式 成立，fx Ax0lim 时函数极限的证明（）【。

16、复 习 课,一、相关概念,数列极限,函数极限,左极限,右极限,1、极限的定义,(1)函数 在 点的某一邻域内有定义;,(3)其极限值等于 点的函数值,即,(2)函数 的极限存在,即 存在;,定义 称函数 在点 处是连续的，如果满足:,2、连续与间断,(间断点的分类),3、导数的定义,函数(x)在点 x0处的可导的充要条件是,无穷小量,无穷大量,极限为零的变量,定义：,主要性质：,有界量与无穷小量的乘积还是无穷小量.,无穷小量的阶,等价无穷小量,绝对值可以无限增大的变量,定义：,主要性质：,有界量与无穷大量的和还是无穷大量.,倒数关系,极限的计算类型,极限的计算。