初中数学竞赛辅导资料分式

1、20初中数学竞赛辅导资料(9)一元一次方程解的讨论甲内容提要1， 方程的解的定义：能使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解。一元方程的解也叫做根。例如：方程 2x60， x（x-1）=0, |x|=6, 0x=0, 0x=2 的解分别是： x=3, x=0 或 x=1, x=6, 所有的数，无解。2， 关于 x 的一元一次方程的解（根）的情况：化为最简方程 ax=b 后，讨论它的解：当 a0 时，有唯一的解 x= ； ab当 a=0 且 b0 时，无解；当 a=0 且 b0 时，有无数多解。 （不论 x 取什么值，0x0 都成立）3, 求方程 ax=b(a0)的整数解、正整数解、正数解当 ab 时，方程有整数。

2、1初中数学竞赛辅导资料（2）倍数 约数甲内容提要1 两个整数 A 和 B（B0） ，如果 B 能整除 A（记作 B A） ，那么 A叫做 B 的倍数，B 叫做 A 的约数。例如 315，15 是 3 的倍数，3 是 15 的约数。2 因为 0 除以非 0 的任何数都得 0，所以 0 被非 0 整数整除。0 是任何非 0 整数的倍数，非 0 整数都是 0 的约数。如 0 是 7 的倍数，7 是 0 的约数。3 整数 A（A0）的倍数有无数多个，并且以互为相反数成对出现，0，A，2A，都是 A 的倍数，例如 5 的倍数有5，10，。4 整数 A（A0）的约数是有限个的，并且也是以互为相反数成对出现的，其中必包。

3、1初中数学竞赛辅导资料（5）a n 的个位数甲内容提要.1. 整数 a 的正整数次幂 an,它的个位数字与 a 的末位数的 n 次幂的个位数字相同。例如 20023 与 23 的个位数字都是 8。2. 0，1，5，6，的任何正整数次幂的个位数字都是它们本身。例如 57 的个位数是 5，6 20 的个位数是 6。3. 2，3，7 的正整数次幂的个位数字的规律见下表：指 数1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 2 4 8 6 2 4 8 6 2 4 3 3 9 7 1 3 9 7 1 3 9 底数 7 7 9 3 1 7 9 3 1 7 9 其规律是：2 的正整数次幂的个位数是按 2、4、8、6 四个数字循环出现，即 24k+1 与 21，2 4K2 与 22，2 4K3。

4、1初中数学竞赛辅导资料（8）抽屉原则甲内容提要1， 4 个苹果放进 3 个抽屉，有一种必然的结果：至少有一个抽屉放进的苹果不少于 2 个（即等于或多于 2 个） ；如果 7 个苹果放进 3 个抽屉，那么至少有一个抽屉放进的苹果不少于 3 个（即的等于或多于 3 个） ，这就是抽屉原则的例子。2， 如果用 表示不小于 的最小整数，例如 3， 。nmn26那么抽屉原则可定义为：m 个元素分成 n 个集合（m 、n 为正整数mn）,则至少有一个集合里元素不少于 个。 3， 根据 的定义，己知 m、n 可求 ；己知 ，则可求 的范围，例如己知 3，那么nn2 3；己知 2，则。

5、初中数学竞赛辅导资料（17）奇数 偶数甲内容提要1 奇数和偶数是在整数集合里定义的，能被 2 整除的整数是偶数，如 2，02，不能被 2 整除的整数是奇数，如1，1，3。如果 n 是整数，那么 2n 是偶数，2n1 或 2n+1 是奇数。如果 n 是正整数，那么2n 是正偶数，2n-1 是正奇数。2 奇数、偶数是整数的一种分类。可表示为： 整数 或 整数集合 偶 数奇 数这就是说，在整数集合中是偶数就不是奇数，不是偶数就是奇数，如果既不是偶数又不是奇数，那么它就不是整数。3 奇数偶数的运算性质：奇数奇数偶数，奇数偶数奇数，偶数偶数偶数奇数奇数奇数 奇。

6、25初中数学竞赛辅导资料（11）二元一次方程组解的讨论甲内容提要1 二元一次方程组 的解的情况有以下三种：2211cybxa 当 时，方程组有无数多解。 （两个方程等效）2121 当 时，方程组无解。 （两个方程是矛盾的）2121cba 当 （即 a1b2a 2b10）时，方程组有唯一的解：21（这个解可用加减消元法求得） 12111bacyx2 方程的个数少于未知数的个数时，一般是不定解，即有无数多解，若要求整数解，可按二元一次方程整数解的求法进行。3 求方程组中的待定系数的取值，一般是求出方程组的解（把待定系数当己知数） ，再解含待定系数的不等式或加以讨。

7、初中数学竞赛辅导资料 1第 1 页 共 2 页初中数学竞赛辅导资料 1第一课有理数运算 1例 1 计算 1/99+2/99+3/99+296/99.解：1/99+2/99+3/99+296/99=（1/99+296/99）+（2/99+295/99）+（148/99+149/99）=3296/2=444.想一想 如果是求 n 项和 1/99+2/99+3/99+n/99，能算出来吗? 该怎样算？1/m+2/m+n/m 呢？例 2 观察发现这个算式中的任何相邻两项之和为 1 或-1，如果分别将式中的 2、3 两项，4、5 两项，结合（加括号）求和，就可以得到若干个其和为 1 的组，关键是最末一项（-1） n+1n 是否编在了组里？容易看出，如果这个算式有奇数项，那么（。

8、初中数学竞赛辅导资料中位线甲内容提要1. 三角形中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。梯形中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。2. 中位线性质定理的结论，兼有位置和大小关系，可以用它判定平行，计算线段的长度，确定线段的和、差、倍关系。3. 运用中位线性质的关键是从出现的线段中点，找到三角形或梯形，包括作出辅助线。4. 中位线性质定理，常与它的逆定理结合起来用。它的逆定理就是平行线截比例线段定理及推论，一组平行线在一直线上截得相等线段，在其他直线上截得的线段也相等经过三角形一边中点而平行于另一边的直线。

9、初中数学竞赛辅导资料 24第 1 页 共 2 页初中数学竞赛辅导资料 24第二十四课图形分割与拼接的研究例 1 如图 9-3，把正方形的边长分别二等分和四等分后，过分点作边的平行线对正方形进行分割，数一数图中大大小小的正方形共有多少个，如果把大正方形的边长 n 等分后，也如此分割，怎样推算正方形个数？解：面积是一个小方格的正方形是 22=4 个；面积是 4 个小方格的正方形是 1 个，共有12+2。

10、初中数学竞赛辅导资料配方法甲内容提要 1. 配方：这里指的是在代数式恒等变形中，把二次三项式 a22ab+b2 写成完全平方式（ab） 2. 有时需要在代数式中添项、折项、分组才能写成完全平方式.常用的有以下三种：由 a2+b2 配上 2ab， 由 2 ab 配上 a2+b2， 由 a22ab 配上 b2.2. 运用配方法解题，初中阶段主要有： 用完全平方式来因式分解例如：把 x4+4 因式分解.原式x 4+44x 24x 2=(x2+2)24x 2这是由 a2+b2 配上 2ab. 二次根式化简常用公式： ，这就需要把被开方数写成完全平方式.a2例如：化简 .65我们把 52 写成 22 3 2 )(2)(（ ） 2.这是由 。

11、初中数学竞赛辅导资料辅助圆甲内容提要1. 经过两个点可以画无数个圆；经过三个点作圆，必须是不在同一直线上的三个点，可以作一个圆，并且只能作一个圆.2. 经过四点作圆(即四点共圆 )有如下的判定定理： 到一个定点的距离相等的所有的点在同一个圆上(圆的定义). 一组对角互补的四边形顶点在同一圆上. 一个外角等于它的内对角的四边形顶点共圆. 同底同侧顶角相等的三角形顶点共圆.推论：同斜边的直角三角形顶点共圆(斜边就是圆的直径).3. 画出辅助圆就可以应用圆的有关性质.常用的有： 同弧所对的圆周角相等. 圆内接四边形对角互补，外角等。

12、268初中数学竞赛辅导资料(69)数的整除(三)甲内容提要在第 1 讲数的整除(一)和 44 讲数的整除(二) 中，分别介绍了数的整除特征和运用因式分解法解答数的整除问题，本讲介绍应用“同余”方面的知识.一. 同余的概念 两个整数 a 和 b 被同一个正整数 m 除，所得的余数相同时，称 a, b 关于模 m 同余.记作 ab(mod m).如：8 和 15 除以 7 同余 1，记作 8。

13、初中数学竞赛辅导资料(3)三角形的边角性质内容提要三角形边角性质主要的有：1. 边与边的关系是：任意两边和大于第三边，任意两边差小于第三边，反过来要使三条线段能组成一个三角形，必须任意两条线段的和都大于第三条线段，即最长边必须小于其他两边和用式子表示如下：a，b，c 是ABC 的边长 bacbac推广到任意多边形：任意一边都小于其他各边的和2. 角与角的关系是：三角形三个内角和等于 180 ；任意一个外角等于和它不相邻的两个内角和推广到任意多边形：四边形内角和=2180 ， 五边形内角和=3180 六边形内角和=4180 n 边形内角和=(n2) 18。

14、初中数学竞赛辅导资料（9） 一元一次方程解的讨论 甲内容提要 1， 方程的解的定义：能使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解一元方程的解也叫做根 例如：方程 2x60， x（x-1）=0， |x|=6， 0 x=0， 0 x=2的解 分别是：x=3， x=0或x=1， x=6，所有的数，无解 2， 关于x 的一元一次方程的解（根）的情况：化为最简方程ax=b后， 讨论它。

15、271初中数学竞赛辅导资料(70)正整数简单性质的复习甲. 连续正整数一. n 位数的个数：一位正整数从 1 到 9，共 9 个，两位数从 10 到 99，共 90 个，三位数从 100 到 999 共 9102 个，那么 n 位数的个数共_.(n 是正整数)练习：1. 一本书共 1989 页，用 0 到 9 的数码，给每一页编号，总共要用数码个. 2. 由连续正整数写成的数 12349991000 是一个_位数；10011002100319881989 是_位数.3. 除以 3 余 1 的两位数有_个，三位数有_个，n 位数有_个.4. 从 1 到 100 的正整数中，共有偶数_个，含 3 的倍数_个；从 50 到 1000 的正整数中，共有偶。

16、. .eord 完美格式第一篇 一元一次方程的讨论第一部分 基本方法1. 方程的解的定义：能使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解。一元方程的解也叫做根。例如：方程 2 x60， x（ x1）=0, | x|=6, 0 x=0, 0 x=2 的解分别是： x=3, x=0 或 x=1, x=6, 所有的数，无解。2. 关于 x 的一元一次方程的解（根）的情况：化为最简方程 ax=b 后，讨论它的解：当 a0 时，有唯一的解 x= ； ab当 a=0 且 b0 时，无解；当 a=0 且 b0 时，有无数多解。 （不论 x 取什么值，0 x0 都成立）3. 求方程 ax=b(a0)的整数解、正整数解、正数解当 a b 时，方。

17、初中数学竞赛辅导资料 66 辅助圆 甲内容提要 1 经过两个点可以画无数个圆 经过三个点作圆 必须是不在同一直线上的三个点 可以作一个圆 并且只能作一个圆 2 经过四点作圆 即四点共圆 有如下的判定定理 到一个定点的距离相等的所有的点在同一个圆上 圆的定义 一组对角互补的四边形顶点在同一圆上 一个外角等于它的内对角的四边形顶点共圆 同底同侧顶角相等的三角形顶点共圆 推论 同斜边的直角三角形顶点共圆。

18、256初中数学竞赛辅导资料（66）辅助圆甲内容提要1. 经过两个点可以画无数个圆；经过三个点作圆，必须是不在同一直线上的三个点，可以作一个圆，并且只能作一个圆.2. 经过四点作圆(即四点共圆 )有如下的判定定理： 到一个定点的距离相等的所有的点在同一个圆上(圆的定义). 一组对角互补的四边形顶点在同一圆上. 一个外角等于它的内对角的四边形顶点共圆. 同底同侧顶角相等的三角形顶点共圆.推论：同斜边的直角三角形顶点共圆(斜边就是圆的直径).3. 画出辅助圆就可以应用圆的有关性质.常用的有： 同弧所对的圆周角相等. 圆内接四边形对角互。

19、0初中数学竞赛专题选讲识图一、内容提要1.几何学是研究物体形状、大小、位置的学科。2.几何图形就是点，线，面，体的集合。点是组成几何图形的基本元素。平面几何学只研究在同一平面内的图形的形状、大小和相互位置。3.几何里的点、线、面、体实际上是不能脱离物体而单独存在的。因此单独研究点、线、面、体，要靠正确的想像点：只表示位置，没有大小，不可再分。线：只有长短，没有粗细。线是由无数多点组成的，即“点动成线” 。面：只有长、宽，没有厚薄。面是由无数多线组成的， “线动成面” 。4.因为任何复杂的图形，都是由若干基本。

20、57初中数学竞赛辅导 分式例题 例 1x 取什么值时，分式 的值是零？是正数？是负数？x23解： x23)(1x（以零点2，1，0，3 把全体实数分为五个区间，标在数轴上（如上图）当 x=1,x=3 时分子是 0，分母不等于 0，这时分式的值是零；当 x3 时，分式的值是正数（负因数的个数是偶数）当2x 1, 0x3 时，分式的值是负数（负因数的个数是奇数）例 2m 取什么值时，分式 的值是正整数？172m解： 21792 且 m1 是 9 的约数时，分式的值是正整数9即 m11，3，9，9 解得 m=2,4,10,8。 答：（略）当例 3计算 4x321x34解：用带余除法得，原式1 1 1 1x3 )(x)(3 。