1、256初中数学竞赛辅导资料（66）辅助圆甲内容提要1. 经过两个点可以画无数个圆；经过三个点作圆，必须是不在同一直线上的三个点，可以作一个圆，并且只能作一个圆.2. 经过四点作圆(即四点共圆 )有如下的判定定理： 到一个定点的距离相等的所有的点在同一个圆上(圆的定义). 一组对角互补的四边形顶点在同一圆上. 一个外角等于它的内对角的四边形顶点共圆. 同底同侧顶角相等的三角形顶点共圆.推论：同斜边的直角三角形顶点共圆(斜边就是圆的直径).3. 画出辅助圆就可以应用圆的有关性质.常用的有： 同弧所对的圆周角相等. 圆内接四边形对角互补，外角等于内对角. 圆心角(圆周角)、弧、弦、弦心距的等量关系.
2、 圆中成比例线段定理：相交弦定理 ，切割线定理.4. 证明 型如 ab+cd=m2 常用切割线定理乙例题例 1.已知：点 O 是ABC 的外心，BE，CD 是高.求证：AODE证明：延长 AO 交ABC 的外接圆于 F，连接 BF.O 是ABC 的外心AF 是ABC 外接圆的直径，ABF=Rt.BE，CD 是高，BDC=CEB=Rt .B，C，E ，D 四点共圆(同斜边的直角三角形顶点共圆)ADE=ECB=F.AGD=ABF=Rt，即 AODE.例 2.正方形 ABCD 的中心为 O，面积为 1989cm2，P 为正方形内的一点，且OPB=45 ，PAPB=514，则 PB=_cm. (198
3、9 年全国初中数学联赛题)解：OPB=OAB=45 ABOP 四点共圆( 同底同侧顶角相等的三角形顶点共圆)APB=AOB=Rt.在 Rt APB 中，设 PA 为 5x，则 PB 是 14x.(5x) 2+(14x)2=1989.解得 x=3, 14x.42.PB=42 (cm).例 3.已知：平行四边形 ABCD 中，CE AB 于 E，AFBC 于 F.求证：ABAE+CBCF=AC 2.证明：作 BGAC 交 AC 于 G.CEAB， AF BC.GOCBADFEBD CAOPBDA ECFG257A，F，B，G 和 B，E，C，G 分别共圆.(对角互补的四边形顶点共圆 )根据切割线定
4、理，得ABAE=AGACCBCF=CGACABAE+CBCF=AC(AG+CG)=AC 2.例 4.已知：AD 是 RtABC 斜边的高，角平分线 BE 交 AD 于 F.求证：AE 2=AB2BEBF.分析：根据同角的余角相等，可证 AE=AF.由射影定理 AB2=BDBC.故只要证 AEAFBDBCBE BF创造应用切割线定理的条件，作ABC 的外接圆并延长 BE 交圆于 G，得F、D、C、G 四点共圆 . BDBC=BF BG.右边= BFBG. BEBF=BF(BGBE)=BF EG从而转为要证 AEAF= BFBG. 即 AFEGB只要证AEG BFA(证明由同学自已完成)例 5 已
5、知：从O 外一点 P 作O 的两条切线 PA，PB 切点 A 和 B，在 AB 上任取一点C，经过点 C 作 OC 的垂线交 PA 于 M，交 PB 于 N. 求证：OM=ON.证明：连结 OA，OB .A，B 是切点 OAPA ， OBPB. 又OCMN.A，M，C ，O 和 B，N，O ，C 分别共圆.(辅助圆可以不画)根据同弧所对的圆周角相等，得OAC=OMC， ONC=OBC.OA=OB， OAC=OBC.OMC=ONC ， OM=ON.丙练习 661.已知：AD 是ABC 的高，DE ，DF 分别是ADB 和ADC 的高求证： B，C ，F ，E 四点共圆2.已知：两条线段 AB 和
6、 CD 相交于点 P，且 PAPB=PCPD.求证：A，B，C，D 四点共圆.3.已知：O 和O ， 相交于 A，B，过点 A 作一直线交 O 于 C，交O ， 于 D，分别过 点 C 和点 D 作O 和 O ， 的切线相交于点 P .求证：P，C，B，D 四点在同一个圆上.4.已知：E 是正方形 ABCD 边 BC 上的一点，过点 E 作 AE 的垂线和C 的外角平分线交于点 F.FAB CDEGlOJPABCMN258求证：AE=AF.5.已知：M 是平行四边形 ABCD 对角线 AC 上的一点，过点 M 画两组对边的垂线段分别交 AB，CD 于 E，F 交 AD，BC 于 G，H.求证：
7、EGFH.6.已知：ABC 的三条高 AD，BE，CF 交于点 H.求证：BHBE+CHCF=BC 2.7.已知：AB 是O 的直径，C 是半圆上的一点，CDAB 于 D，G 是 CD 上的一点，AG 的延长线交半圆于 H.求证：CD 2+AD2=AGAH.8.已知：AD 是ABC 的角平分线 .求证：AD 2=ABAC.DB DC9.已知：凸五边形 ABCDE 中.A=3，BC=CD=DE，C=D=180 .2.求证：AC，AD，AE 三等分A. (1990 年全国初中数学联赛题 )10.求证：圆上一点到圆内接四边形两组对边的距离的积相等11.求证：圆内接四边形两组对边积的和等于两对角线的积(托列密定理)12.如图已知：圆内接四边形 ABCD 中，由 AB 上一点 M 作 MPBC ，MQCD，MRDA，PR 交 MQ 于 N.求证： .MABNRP(1983 年福建省初中数学联赛题)13.如图已知：ACE=CDE=Rt ，点 B 在 CE 上，CA=CB=CD，过 A，C，D的圆交 AB 于 F.求证：点 F 是CDE 的内心（1995 年全国初中数学联赛题）13返 回目录 参考答案C EDABF122 1NBACDMPRQ
