1、. .eord 完美格式第一篇 一元一次方程的讨论第一部分 基本方法1. 方程的解的定义：能使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解。一元方程的解也叫做根。例如：方程 2 x60， x（ x1）=0, | x|=6, 0 x=0, 0 x=2 的解分别是： x=3, x=0 或 x=1, x=6, 所有的数，无解。2. 关于 x 的一元一次方程的解（根）的情况：化为最简方程 ax=b 后，讨论它的解：当 a0 时，有唯一的解 x= ； ab当 a=0 且 b0 时，无解；当 a=0 且 b0 时，有无数多解。 （不论 x 取什么值，0 x0 都成立）3. 求方程 ax=b(a0)的整数解
2、、正整数解、正数解当 a b 时，方程有整数解；当 a b，且 a、 b 同号时，方程有正整数解；当 a、 b 同号时，方程的解是正数。综上所述，讨论一元一次方程的解，一般应先化为最简方程 ax=b第二部分 典例精析例 1 a 取什么值时，方程 a(a2) x=4(a2) 有唯一的解？无解？有无数多解？是正数解？. .eord 完美格式例 2 k 取什么整数值时，方程 k(x+1)=k2（ x2）的解是整数？（1 x） k=6 的解是负整数？例 3 己知方程 a(x2)= b(x+1)2 a 无解。问 a 和 b 应满足什么关系？例 4 a、 b 取什么值时，方程（3 x2） a+（2 x3）
3、 b=8x7 有无数多解？第三部分 典题精练. .eord 完美格式1. 根据方程的解的定义，写出下列方程的解： (x+1)=0, x2=9, | x|=9， | x|=3, 3 x+1=3x1, x+2=2+x2. 关于 x 的方程 ax=x+2 无解，那么 a_3. 在方程 a(a3) x=a 中，当 a 取值为时，有唯一的解； 当 a时无解；当 a时,有无数多解； 当 a时,解是负数。4. k 取什么整数值时，下列等式中的 x 是整数？ x= x= x= x=416kk3212k5. k 取什么值时，方程 x k=6x 的解是 正数？ 是非负数？6. m 取什么值时，方程 3（ m+x）
4、=2 m1 的解 是零？ 是正数？7. 己知方程 的根是正数，那么 a、 b 应满足什么关系？21463ax. .eord 完美格式8. m 取什么整数值时，方程 的解是整数?mx321)(9. 己知方程 有无数多解，求 a、 b 的值。axxb231)(2第二篇 二元一次方程的整数解. .eord 完美格式第一部分 基本方法1. 二元一次方程整数解存在的条件：在整系数方程 ax+by=c 中，若 a,b 的最大公约数能整除 c,则方程有整数解。即如果（ a,b）| c 则方程 ax+by=c 有整数解显然 a,b 互质时一定有整数解。例如方程 3x+5y=1, 5 x2 y=7, 9 x+3
5、y=6 都有整数解。返过来也成立，方程 9x+3y=10 和 4 x2 y=1 都没有整数解，（9，3）3，而 3 不能整除 10；（4，2）2，而 2 不能整除 1。一般我们在正整数集合里研究公约数， （ a,b）中的 a,b 实为它们的绝对值。2. 二元一次方程整数解的求法：若方程 ax+by=c 有整数解，一般都有无数多个，常引入整数 k 来表示它的通解（即所有的解） 。 k 叫做参变数。方法一，整除法：求方程 5x+11y=1 的整数解解： x= = (1) , 51y210设 是整数） ，则 y=15 k (2) , k(把（2）代入（1）得 x=k2 (15 k)=11k2原方程所
6、有的整数解是 （ k 是整数）y1方法二，公式法：设 ax+by=c 有整数解 则通解是 （ x0,y0可用观察法）0yxakybx01， 求二元一次方程的正整数解： 出整数解的通解，再解 x,y 的不等式组，确定 k 值 用观察法直接写出。第二部分 典例精析例 1 求方程 5x9 y=18 整数解的能通解. .eord 完美格式例 2 求方程 5x+6y=100 的正整数解例 3 甲种书每本 3 元，乙种书每本 5 元，38 元可买两种书各几本？第三部分 典题精练1. 求下列方程的整数解公式法： x+7y=4, 5x11 y=3 整除法：3 x+10y=1, 11x+3y=4. .eord
7、完美格式2. 求方程的正整数解：5 x+7y=87, 5 x+3y=1103. 一根长 10000 毫米的钢材，要截成两种不同规格的毛坯，甲种毛坯长 300 毫米，乙种毛坯长 250 毫米，有几种截法可百分之百地利用钢材？4. 兄弟三人，老大 20 岁，老二年龄的 2 倍与老三年龄的 5 倍的和是 97，求兄弟三人的岁数。5. 下列方程中没有整数解的是哪几个？答： （填编号） 4x2 y=11, 10 x5 y=70, 9 x+3y=111,18 x9 y=98, 91 x13 y=169, 120 x+121y=324. .eord 完美格式6. 一张试巻有 20 道选择题，选对每题得 5
8、分，选错每题反扣 2 分，不答得 0 分，小这军同学得 48 分，他最多得几分？7. 用观察法写出方程 3x+7y=1 几组整数解：y= 1 4 2x= 37第三篇 二元一次方程组解的讨论第一部分 基本方法. .eord 完美格式1. 二元一次方程组 的解的情况有以下三种：2211cybxa 当 时，方程组有无数多解。 （两个方程等效）2121 当 时，方程组无解。 （两个方程是矛盾的）2121cba 当 （即 a1b2 a2b10）时，方程组有唯一的解：21（这个解可用加减消元法求得） 12111bacyx2 方程的个数少于未知数的个数时，一般是不定解，即有无数多解，若要求整数解，可按二元一
9、次方程整数解的求法进行。3 求方程组中的待定系数的取值，一般是求出方程组的解（把待定系数当己知数） ，再解含待定系数的不等式或加以讨论。 （见例 2、3）第二部分 典例精析例 1. 选择一组 a,c 值使方程组 cyax275例 2. a 取什么值时，方程组 的解是正数？315yxa. .eord 完美格式例 3. m 取何整数值时，方程组 的解 x 和 y 都是整数？142yxm例 4. （古代问题）用 100 枚铜板买桃，李，榄橄共 100 粒，己知桃，李每粒分别是 3，4枚铜板，而榄橄 7 粒 1 枚铜板。问桃，李，榄橄各买几粒？第三部分 典题精练1. 不解方程组，判定下列方程组解的情况
10、： 9632yx324yx15yx. .eord 完美格式1 a 取什么值时方程组 的解是正数？296132ayx2 a 取哪些正整数值，方程组 的解 x 和 y 都是正整数？ayx24353 要使方程组 的解都是整数， k 应取哪些整数值？12yxk. .eord 完美格式4 （古代问题）今有鸡翁一，值钱五，鸡母一，值钱三，鸡雏三，值钱一，百钱买百鸡，鸡翁，鸡母，鸡雏都买，可各买多少？第四篇 用交集解题第一部分 基本方法1. 某种对象的全体组成一个集合。组成集合的各个对象叫这个集合的元素。例如 6 的正约数集合记作6 的正约数1，2，3，6 ，它有 4 个元素 1，2，3，6；除以 3 余
11、1 的正整数集合是个无限集，记作除以 3 余 1 的正整数1，4，7，10 ，它的个元素. .eord 完美格式有无数多个。1 由两个集合的所有公共元素组成的一个集合，叫做这两个集合的交集例如 6 的正约数集合 A1，2，3，6 ，10 的正约数集合 B1，2，5，10 ，6 与 10 的公约数集合 C1，2 ，集合 C 是集合 A 和集合 B 的交集。2 几个集合的交集可用图形形象地表示，右图中左边的椭圆表示正数集合，右边的椭圆表示整数集合，中间两个椭圆的公共部分，是它们的交集正整数集。不等式组的解集是不等式组中各个不等式解集的交集。例如不等式组 解的集合就是)2(16x不等式（1）的解集
12、x3 和不等式（2）的解集 x2 的交集， x3. 如数轴所示： 0 2 34一类问题，它的答案要同时符合几个条件，一般可用交集来解答。把符合每个条件的所有的解（即解的集合）分别求出来，它们的公共部分（即交集）就是所求的答案。有时可以先求出其中的一个（一般是元素最多）的解集，再按其他条件逐一筛选、剔除，求得答案。 （如例 2）第二部分 典例精析例 1. 一个自然数除以 3 余 2，除以 5 余 3，除以 7 余 2，求这个自然数的最小值。. .eord 完美格式例 2. 有两个二位的质数，它们的差等于 6，并且平方数的个位数字相同，求这两个数。例 3. 数学兴趣小组中订阅 A 种刊物的有 28
13、 人，订阅 B 种刊物的有 21 人，其中 6 人两种都订，只有一人两种都没有订，问只订 A 种、只订 B 种的各几人？数学兴趣小组共有几人？公式一N + N（A）+N（B）N（AB） 。例 4. 在 40 名同学中调查，会玩乒乓球的有 24 人，篮球有 18 人，排球有 10 人，同时会玩乒乓球和篮球的有 6 人，同时会玩乒乓球和排球的有 4 人，三种球都会的只有 1 人，问：有多少人只会打乒乓球 同时会打篮球和排球 只会打排球？ABC 1AB 6AC 4A24 B18C 10ABB21A28B15A22 6. .eord 完美格式例 5. 十进制中，六位数 能被 33 整除，求 x 和 y
14、 的值8719xy第三部分 典题精练1. 负数集合与分数集合的交集是 . 等腰直角三角形集合是 三角形集合与 三角形集合的交集。2. 12 的正约数集合 A ，30 的正约数集合 B 12 和 30 的公约数集合 C ，集合 C 是集合 A 和集合 B 的3. 某数除以 3 余 1，除以 5 余 1，除以 7 余 2，求某数的最小值。4. 九张纸各写着 1 到 9 中的一个自然数（不重复） ，甲拿的两张数字和是 10，乙拿的两张数字差是 1，丙拿的两张数字积是 24，丁拿的两张数字商是 3，问剩下的一张是多少？. .eord 完美格式5. 求符合如下三条件的两位数：能被 3 整除它的平方、立方
15、的个位数都不变两个数位上的数字积的个位数与原两位数的个位数字相同。6. 据 30 名学生统计，会打篮球的有 22 人，其中 5 人还会打排球；有 2 人两种球都不会打。那么会打排球有几人？只会打排球是几人？7. 100 名学生代表选举学生会正付主席，对侯选人 A 和 B 进行表决，赞成 A 的有 52 票，赞成 B 的有 60 票，其中 A、 B 都赞成的有 36 人，问对 A、 B 都不赞成的有几人？8. 数、理、化三科竞赛，参加人数按单科统计，数学 24 人，物理 18 人，化学 10 人；按两科统计，参加数理、数化、理化分别是 13、4、5 人，没有三科都参加的人。求参赛的总人数，只参加
16、数学科的人数。 （本题如果改为有 2 人三科都参加呢？）9. 053yx10. 十进制中，六位数 能被 21 整除，求 x,y 的值（仿例 5）281第五篇 用枚举法解题第一部分 基本方法有一类问题的解答，可依题意一一列举，并从中找出规律。列举解答要注意： 按一定的顺序，有系统地进行； 分类列举时，要做到既不重复又不违漏；. .eord 完美格式 遇到较大数字或抽象的字母，可从较小数字入手，由列举中找到规律。第二部分 典例精析 例 1. 如图由西向东走，从 A 处到 B 处有几种走法？例 2. 写出由字母 X， Y， Z 中的一个或几个组成的非同类项（系数为 1）的所有四次单项式。例 3. 讨
17、论不等式 axb 的解集。例 4. 如图把等边三角形各边 4 等分，分别连结对应点，试计算图中所有的三角形个数第三部分 典题精练1. 己知 x， y 都是整数，且 xy=6，那么适合等式解共 个，它们是 . 2. a+b=37,适合等式的非负整数解共 组，它们是 . 3. xyz=6,写出所有的正整数解有： . 4. 如图线段 AF 上有 B， C， D， E 四点,试分别写出以 A， B， C， D， E 为一端且不重复的所. .eord 完美格式有线段，并统计总条数. A B C D E F 5. 写出以 a,b,c 中的一个或几个字母组成的非同类项（系数为 1）的 所有三次单项式 。6.
18、 除以 4 余 1 两位数共有几个？7. 从 1 到 10 这十个自然数中每次取两个，其和要大于 10，共有几种不同取法？8. 把 边长等于 4 的正方形各边 4 等分，連结各对应点成 16 个小正方形，试用枚举法，计算共有几个正方形？如果改为 5 等分呢？10 等分呢？9. 右图是街道的一部分，纵横各有 5 条路，如果从 A 到 B(只能从北向南，从西向东)，有几种走法？ 10. 一个正整数加上 3 是 5 的倍数，减去 3 是 6 的倍数，则这个正整数的最小值是 . 第六篇 经验归纳法第一部分 基本方法1通常我们把“从特殊到一般”的推理方法、研究问题的方法叫做归纳法。通过有限的几个特例，观
19、察其一般规律，得出结论，它是一种不完全的归纳法，也叫做AB. .eord 完美格式经验归纳法。例如由 ( 1) 2 1 ， （ 1 ） 3 1 ， （ 1 ） 4 1 ，归纳出 1 的奇次幂是 1，而 1 的偶次幂 是 1 。由两位数从 10 到 99 共 90 个（ 9 10 ） ，三位数从 100 到 999 共 900 个（910 2） ，四位数有 91039000 个（910 3） ，归纳出 n 位数共有 910n1 (个) 由 1+3=22, 1+3+5=3 2, 1+3+5+7=4 2推断出从 1 开始的 n 个連续奇数的和等于 n2等。可以看出经验归纳法是获取新知识的重要手段，是
20、知识攀缘前进的阶梯。2. 经验归纳法是通过少数特例的试验，发现规律，猜想结论，要使规律明朗化，必须进行足夠次数的试验。由于观察产生的片面性，所猜想的结论，有可能是错误的，所以肯定或否定猜想的结论，都必须进行严格地证明。 （到高中，大都是用数学归纳法证明）第二部分 典例精析例 1 平面内 n 条直线，每两条直线都相交，问最多有几个交点？例 2符号 n！表示正整数从 1 到 n 的連乘积，读作 n 的阶乘。例如5！12345。试比较 3n与（ n+1）！的大小（ n 是正整数）. .eord 完美格式例 3求适合等式 x1+x2+x3+ x2003=x1x2x3x2003的正整数解。丙练习 141
21、 除以 3 余 1 的正整数中，一位数有个，二位数有个，三位数有个， n 位数有个。2 十进制的两位数 可记作 10a1 a2,三位数 记作 100a1+10a2+a3,四位数21a321记作， n 位数 记作431a3 由 132 3（12） 2，1 32 33 3（123） 2，1 32 33 34 3（） 2 ,1315 2，1 32 3 n3=( )2。4 用经验归纳法猜想下列各数的结论（是什么正整数的平方） （） 2； ； （ ） 2。个 10 25 1n个 2n （） 2； （） 2996 565 把自然数 1 到 100 一个个地排下去：1239101199100 这是一个几位数
22、？这个数的各位上的各个数字和是多少6计算 12314209（提示把每个分数写成两个分数的差）. .eord 完美格式7 a 是正整数，试比较 aa+1和( a+1)a的大 小.8. 如图把长方形的四条边涂上红色，然后把宽 3 等分，把长 8 等分，分成 24 个小长方形，那么这 24 个长方形中，两边涂色的有个，一边涂色的有个，四边都不着色的有个。本题如果改为把宽 m 等分,长 n 等分( m,n 都是大于 1 的自然数)那么这 mn 个长方形中，两边涂色的有个，一边涂色的有个，四边都不着色的有个9把表面涂有红色的正方体的各棱都 4 等分，切成 64 个小正方体，那么这 64 个中，三面涂色的
23、有个，两面涂色的有个，一面涂色的有个，四面都不涂色的有个。本题如果改为把长 m 等分,宽 n 等分,高 p 等分， （ m,n,p 都是大于 2 的自然数）那么这 mnp个正方体中，三面涂色的有个，两面涂色的有个，一面涂色的有个，四面都不涂色的有个。10一个西瓜按横，纵，垂直三个方向各切三刀，共分成块，其中不带皮的有块。11已知两个正整数的积等于 11112222，它们分别是，。欢迎您的光临，Word 文档下载后可修改编辑.双击可删除页眉页脚.谢谢！希望您提出您宝贵的意见，你的意见是我进步的动力。赠语； 1、如果我们做与不做都会有人笑，如果做不好与做得好还会有人笑，那么我们索性就做得更好，来给人笑吧！ 2、现在你不玩命的学，以后命玩你。3、我不知道年少轻狂，我只知道胜者为王。4、不要做金钱、权利的奴隶；应学会做“金钱、权利”的主人。5、什么时候离光明最近？那就是你觉得黑暗太黑的时候。6、最值得欣赏的风景，是自己奋斗的足迹。 7、压力不是有人比你努力，而是那些比你牛几倍的人依然比你努力。
