1、268初中数学竞赛辅导资料(69)数的整除(三)甲内容提要在第 1 讲数的整除(一)和 44 讲数的整除(二) 中，分别介绍了数的整除特征和运用因式分解法解答数的整除问题，本讲介绍应用“同余”方面的知识.一. 同余的概念 两个整数 a 和 b 被同一个正整数 m 除，所得的余数相同时，称 a, b 关于模 m 同余.记作 ab(mod m).如：8 和 15 除以 7 同余 1，记作 815(mod 7), 读作 8 和 15 关于模 7 同余.2003=7286+1， 20031 (mod 7)；7 和 6 对于模 13 同余 6（余数是非负数） 76（mod 13） ；35 和 0 除以
2、5，余数都是 0（即都能整除） 350（mod 5）.二. 用同余式判定数的整除若 ab(mod m)， 则 m|(ab). 即 ab0(mod m) m|(ab).例如：1125(mod 7) 7|(2511) ； 或 7|(1125).2 5+352+30 (mod 5) ， 5|2 5+35.三. 同余的性质 (注意同余式与等式在变形中的异同点 )1. 传递性： .(mod)od cacba2. 可加可乘性： ).().(b；，推论 可移性：ab+c (mod m) (ab)c(mod m).可倍性：ab(mod m) ka kb(mod m) (k 为正整数).可乘方：ab(mod m
3、) an bn(mod m) (n 为正整数).3. 当 d 是 a, b, m 的正公因数时， ab(mod m) (mod ).dbam如：2 是 20，26，6 的正公因数， 2026(mod 6) (mod 3).130四. 根据抽屉原则：任给 m+1 个整数，其中至少有两个数对于模 m 同余.即至少有两个，其差能被 m 整除.例如：任给 5 个数 a, b, c, d, e. 其中至少有两个，它们的差能被 4 整除.除以 4 的余数只有 0，1，2，3 四种.5 个数除以 4 至少有两个同余.269乙例题 例 1. 已知：69，90，125 除以正整数 n 有相同的余数.求：n 的值
4、解：6990(mod n)， 90125(mod n). n|(9069)， n|(12590).而 21,35 的最大公约数是 7， 记作(21,35)=7 (7 是质数).n=7例 2. 求 388 除以 5 的余数.解：383 (mod 5)，38 83 8(3 2)4( 1) 41 (mod 5).(注意 9 除以 5 余 4，1 除以 5 也是余 4，3 21 (mod 5)例 3. 求 的个位数字.7解： 7 4k+n 与 7n 的个位数字相同， 且 91 ( mod 4)， 9 91 9 1 (mod 4). 与 71 的个位数字相同都是 7.例 4. 求证：7|(2222 55
5、55+55552222).证明：2222 5555+55552222=(22225)1111+(55552)11112222=7317+3 ， 5555=7793+4.22223 ( mod 7)； 55554 (mod 7).2222 53 55(mod 7)； 555524 22 (mod 7).2222 5+555525+2 0 ( mod 7).即 222255555 2 (mod 7).(2222 5)1111( 5555 2)1111(5555 2)1111 (mod 7).2222 5555+555522220 (mod 7).7|(2222 5555+55552222).例 5
6、. 求使 32n1 能被 5 整除的一切自然数 n.解：3 21 (mod 5) ， (3 2)n(1) n (mod 5).3 2n1(1) n1 (mod 5)当且仅当 n 为偶数时，( 1) n1=0.使 32n1 能被 5 整除的一切自然数 n 是非负偶数例 6. 已知：a, b, c 是三个互不相等的正整数.求证：a 3bab 3, b 3cbc 3, c 3aca 3 三个数中，至少有一个数能被 10 整除.（1986 年全国初中数学联赛题）证明：用同余式判定整除法证明当正整数 n 的个位数是 0，1，4，5，6，9 时，n 3 的个位数也是0，1，4，5，6，9.这时 n3 n
7、(mod 10)；当正整数 n 的未位数为 2，3，7，8 时，n 3 的个位数分别是 8，7，3，2.8 与2，7 与3，3 与7，2 与8，除以 10 是同余数，这时 n3n (mod 10)；把三个正整数 a, b, c 按个位数的情况，分为上述两类时，则至少有两270个属于同一类.设 a, b 的末位数是同一类，那么 a3bab 3ab ab0 (mod 10)；或 a3bab 3( a)ba( b)0 (mod 10). 10| (a 3bab 3)丙练习 691. 三个数 33，45，69 除以正整数 N 有相同余数，但余数不是 0，那么 N=_.2. 求 的个位数字.73. 求
8、37 除以 19 的余数； 41989 除以 9 的余数.92454. 求 198919901990 的余数.5. 四个数 2836，4582，5164，6522 都被同一个正整数除，所得的余数都相同且不是 0，求除数和余数.6. 求证：7|(3333 4444+44443333).7. 已知：正整数 n2 . 求证： (mod 4).31个n8. 任给 8 个整数，其中必有两个，它们的差能被 7 整除，试证之.9. 求使 2n+1 能被 3 整除的一切自然数 n.10. 已知 69，90，125 除以 N (N1) 有同余数，那么对于同样的 N，81 同余于( )（A）3. （B）4. （C）5. （D）7. （E）8.（1971 年美国中学数学竞赛试题）
