1、初中数学竞赛辅导资料（17）奇数 偶数甲内容提要1 奇数和偶数是在整数集合里定义的，能被 2 整除的整数是偶数，如 2，02，不能被 2 整除的整数是奇数，如1，1，3。如果 n 是整数，那么 2n 是偶数，2n1 或 2n+1 是奇数。如果 n 是正整数，那么2n 是正偶数，2n-1 是正奇数。2 奇数、偶数是整数的一种分类。可表示为： 整数 或 整数集合 偶 数奇 数这就是说，在整数集合中是偶数就不是奇数，不是偶数就是奇数，如果既不是偶数又不是奇数，那么它就不是整数。3 奇数偶数的运算性质：奇数奇数偶数，奇数偶数奇数，偶数偶数偶数奇数奇数奇数 奇数偶数偶数，偶数偶数偶数奇数的正整数次幂是奇
2、数，偶数的正整数次幂是偶数，两个連续整数的和是奇数，积是偶数。乙例题例 1 求证：任意奇数的平方减去 1 是 8 的倍数证明：设 k 为整数，那么 2k1 是任意奇数，（2k1） 214k 24k114k(k1)k(k1) 是两个連续整数的积，必是偶数 4k(k1) 是 8 的倍数即任意奇数的平方减去 1 是 8 的倍数例 2 已知：有 n 个整数它们的积等于 n，和等于 0 求证：n 是 4 的倍数证明：设 n 个整数为 x1,x2,x3,xn 根据题意得 0321nnx如果 n 为正奇数，由方程（1）可知 x1,x2,x3,xn 都只能是奇数，而奇数个奇数的和必是奇数，这不适合方程（2）右
3、边的 0，所以 n 一定是偶数；当 n 为正偶数时，方程（1）左边的 x1,x2,x3,xn 中，至少有一个是偶数，而要满足方程（2）右边的 0，左边的奇数必湏是偶数个，偶数至少有 2 个。所以 n 是 4 的倍数。例 3 己知：a,b,c 都是奇数求证：方程 ax2+bx+c=0 没有整数解证明：设方程的有整数解 x，若它是奇数，这时方程左边的 ax2，bx，c 都是奇数，而右边 0 是偶数，故不能成立；若方程的整数解 x 是偶数，那么 ax2,bx,都是偶数，c 是奇数，所以左边仍然是奇数，不可能等于 0。既然方程的解不可能是奇数，也不能是偶数，方程 ax2+bx+c=0 没有整数解 (以
4、上的证明方法是反证法)例 4 求方程 x2y 260 的正整数解解：(x+y)(x y)=60，60 可分解为：160，230，320，415，512，610左边两个因式(x+y)，(xy) 至少有一个是偶数因此 x, y 必湏是同奇数或同偶数，且 xy0,适合条件的只有两组20x610yx解得 146y28方程 x2y 260 的正整数解是 146yx28丙练习 171 选择题设 n 是正整数，那么 n2+n-1 的值是（ ）（A）偶数（B）奇数（C）可能是奇数也可能是偶数求方程 85x324y=101 的整数解，下列哪一个解是错误的？（ ）（A） （B） （C） （D）15yx8639yx
5、17653yx256978yx2 填空：能被 3，5，7 都整除的最小正偶数是能被 9 和 15 整除的最小正奇数是最大的三位数是12320012002 的和是奇数或偶数？答正整数 123420012002 是奇位数或偶位数？答 能被 11 整除，那么 n 是正奇数或正偶数？答位n013 任意三个整数中，必有两个的和是偶数，这是为什么？4 试说明方程 2x+10y=77 没有整数解的理由5 求证：两个連续奇数的平方差能被 8 整除6 试证明：任意两个奇数的平方和的一半是奇数7 求方程（2xy2） 2（x+y+2） 2=5 的整数解8 方程 19x+78y=8637 的解是( )(A) (B) (C) (D)91x8493yx18yx9. 十进制中，六位数 能被 33 整除，求 a,b 的值 7ab
