1、初中数学竞赛辅导资料 24第 1 页 共 2 页初中数学竞赛辅导资料 24第二十四课图形分割与拼接的研究例 1 如图 9-3，把正方形的边长分别二等分和四等分后，过分点作边的平行线对正方形进行分割，数一数图中大大小小的正方形共有多少个，如果把大正方形的边长 n 等分后，也如此分割，怎样推算正方形个数？解：面积是一个小方格的正方形是 22=4 个；面积是 4 个小方格的正方形是 1 个，共有12+22=5（个） ，面积是 1 个小方格的正形是 42=16 个；面积是 4 个小方格的正方形是 32=9个；面积是 9 个小方格的正方形是 22=4 个；面积是 16 个小方格的正方表是 12=1 个，
2、共有12+22+32+42=30 个，当在正方形的边长 n 等分后，共有 12+22+32+n2= n（n+1）6（2n+1）个。例 2 用平行于边的直线把边长为 1 的正方形分成 9 个相等的正方形，取出正中的一个，将余下的 8 个又各自分为 9 个相等的正方形，取出正中的一个，循此三次，问留下边长为 的正方形有多少个，循此 n 次，留下边长为 的正方形有多少个。71 n31解：通过画图，发现分割第一次，取出正中的一个（即正方形 ABCD） ，余 8 个相等的正方形，其边长为 ；分割第二次，取出正中的一个正方形（有 8 个象 A1B1C1D1 那样31的正方形） ，余 82 个相等的正方形，
3、其边长为 ；分割第三次，取出正中的一个正方形，231余 83 个相等的正方形，其边长为 ；分割第 n 次，取出正中的一个正方形，余 8n 个正3方形，其边长为 。n1例 3 把下图中的木板切成两块，然后拼成一个正方形。解：解由图 9-5 知，木板的面积为 16 个平方单位，所以要拼的正方形边长应为 4 个单位长，据此要求进行试切（这时应考虑到切开后的图形，是象阶梯形状，然后由两个阶梯互相咬合而成一个正方形） ，发现一种切法如图 9-6，其中高度分别是 2、3、1、2，宽度是正方形边长，与另一个阶梯咬合，即得所求正方形，现将切法和拼法如图 9-7（在切法图中，沿虚线切开，在拼法图中，沿虚线拼接）
4、 。例 4 请你将图中的长方形切成两块，拼成一个正方形。提示：先算出所求正方形的边长，再考虑切法。例 5 如图 9-9 中图 1 是由 64 个大小相同的小正方形组成，要把它剪成形状、大小都相同的 4 块，然后拼成一个大正方形，该怎样剪法？解：经计算，拼成的大正方形边长是 8，而原图中小的正方形总是两格并排出现，故可考虑 2+6=8， 24=8，沿图 1 中 AB、CD、EF 剪开成 4 块形如图 2 的图形，然后再按图3 拼即可。练习1、如图，这个矩形中有多少个正方形，找出计算这个图形中的正方形个数和的规律？2、两条相交直线把平面人成几块？5 条直线，其中任意两条不平行，任意三条不交于一点，
5、试问它们能把平面分成互不重迭的几块？10 条这样的直线呢？3、把图中的木板切成两块，拼成一个正方形。初中数学竞赛辅导资料 24第 2 页 共 2 页4、数一数图中有多少个个等边三角形。5、 （第十届缙云杯初中数学邀请赛试题）如图是一个由 25 个小正方形所组成，请将此图剪一刀（可折迭后再剪）后拼成一个正方形，并使面积保持不变。6、把图中所示图形分成两部分，并由它们拼成一个正方形。答案与提示1、略解。2、通过画图试验，用归纳法得：2 条直线分平面 4 块；5 条符合规定的直线分平面成16 块；10 条这样的直线分平面成 56 块，n 条这样的直线分平面成 +1块2)1(n3、切、拼如图所示：4、
6、用分类拓排序的思想考虑：（1）顶点向上的等边三角形，边长是 1/4 的有1+2+3+4=10 个；边长是 2/4 的有+2+3=6 个；边长是 3/4 的有 1+2=3 个；边长是 1 的有 1个，总共有 10+6+3+1=20 个。 （2）顶点向下的等边三角形：边长是 1/4 的有 1+2+3=6 个；边长是 2/4 的有 1 个，共有 6+1=7 个，所以，总数为 27 个等边三角形。5、如图，先将图形翻折，使 CE 与 CA 重合，然后将翻折后的图形沿 A（E）C 线剪下，把 ABC 拼在 A 1B1C1 的位置，把 CDE 拼在 C 1D1E1的位置，正方形 ACEC1即为所求。6、切、拼如图所示：
