1、1差分方程模型一. 引言数学模型按照离散的方法和连续的方法， 可以分为离散模型和连续模型。1. 确定性连续模型1) 微分法建模( 静态优化模型)， 如森林救火模型、血管分支模型、最优价格模型。2) 微分方程建模(动态模型)，如传染病模型、人口控制与预测模型、经济增长模型。3) 稳定性方法建模(平衡与稳定状态模型)，如军备竞赛模型、种群的互相竞争模型、种群的互相依存模型、种群弱肉强食模型。4) 变分法建模（动态优化模型） ，如生产计划的制定模型、国民收入的增长模型、渔业资源的开发模型。2. 确定性离散模型1) 逻辑方法建模，如效益的合理分配模型、价格的指数模型。2) 层次分析法建模，如旅游景点的
2、选择模型、科研成果的综合评价模型。3）图的方法建模，如循环比赛的名次模型、红绿灯的调节模型、化学制品的存放模型。4）差分方程建模，如市场经济中的蛛网模型、交通网络控制模型、借贷模型、养老基金设置模型、人口的预测与控制模型、生物种群的数量模型。随着科学技术的发展，人们将愈来愈多的遇到离散动态系统的问题，差分方程就是建立离散动态系统数学模型的有效方法。在一般情况下，动态连续模型用微分方程方法建立，与此相适应，当时间变量离散化以后，可以用差分方程建立动态离散模型。有些实际问题既可以建立连续模型，又可建立离散模型，究竟采用那种模型应视建模的目的而定。例如，人口模型既可建立连续模型(其中有马尔萨斯模型
3、Malthus、洛杰斯蒂克Logistic 模型 )，又可建立人口差分方程模型。这里讲讲差分方程在建立离散动态系统数学模型的的具体应用。2二. 差分方程简介在实际中，许多问题所研究的变量都是离散的形式，所建立的数学模型也是离散的，譬如，像政治、经济和社会等领域中的实际问题。有些时候，即使所建立的数学模型是连续形式，例如像常见的微分方程模型、积分方程模型等。但是，往往都需要用计算机求数值解。这就需要将连续变量在一定的条件下进行离散化，从而将连续型模型转化为离散型模型。因此，最后都归结为求解离散形式的差分方程解的问题。关于差分方程理论和求解方法在数学建模和解决实际问题的过程中起着重要作用。1. 差
4、分方程的定义给定一个数列 , 把数列中的前 项 关联起来得到的nx1nix),20(n方程，则称这个方程为差分方程。2. 常系数线性齐次差分方程常系数线性齐次差分方程的一般形式为， (1)021 knnnxaxax或者表示为(1),(1knnF其中 为差分方程的阶数，其中 为差分方程的系数，且 。k a,2 0ka)(n对应的代数方程(2)021kkkk aa称为差分方程(1)的对应的特征方程。(2) 式中的 个根 称为(1)式的特k,21征根。2.1 差分方程的解常系数线性齐次差分方程的解主要是由相应的特征根的不同情况有不同的形式。下面分别就特征根为单根、重根和复根的情况给出方程解的形式。2
5、.1.1 特征根为单根(互不相同的根)3设差分方程(1)有 个单特征根(互不相同的根) ，则k k,21nknnccx21为该差分方程(1)的通解。其中 为任意常数，且当给定初始条件k,， (3)0(iix),时，可以确定一个特解。例 1 在信道上传输三个字母 且长度为 的词， 规定有两个 连续出cba,na现的词不能传输，试确定这个信道允许传输的词的个数。解: 令 表示允许传输且长度为为 的词的个数， ，通过简单nx ,321计算可得 ，(a,b,c), (即 ab,ac, bc, bb,cc,ba,ca,cb)。3182x当 时，若词的第一个字母是 或 ，则词可按 种方式完成; 若词的bc
6、1nx第一个字母是 ，则第二个字母是 或 ，该词剩下的部分可按 种方式完成。a 2n于是得差分方程 ( )21nnxx,43其特征方程为 ，02特征根为 ， 31312则通解为 ， ( )nnnccx)()(21 ,4利用条件 ， 求参数 ， ，即由31821，8)3()3(221cc解得 ， 21c2c4故得到原差分方程的通解为 ， ( )nnnx )31(2)31(2 ,43212.1.2 特征根为重根设 是 阶差分方程 的l,21k 021knnnxaxax l个根，重数分别为 ，且 ，则该差分方程的通解)(kllm,21 lii1为 nlimilniminimin cccx 12111
7、2 同样的，有给定的初始条件(3)可以唯一确定一个特解。例 2 设初始值为 ，解差分方程,0,3210xx， ( )0534nnnx ,54解: 该差分方程的特征方程为，2234解得其根为 ，故通解为2,1nnnn cccx)1()()( 42321 代入初始条件 ，得,0,30x， ， ，5241c915273c04故该差分方程的满足初始条件的解为 nnnnnx 1)()()(22.1.3 特征根为复根设 阶差分方程 的一对共轭复根k 021 knnnxaxa和相异的 个单根 ，则该差分方程的通解为i21, k,43 nknnn ccccx 4321sios5其中 ， 。2arctn同样由给
8、定的初始条件(3)可以唯一确定一个特解。另外，对于有多个共轭复根和相异实根，或共轭复根和重根的情况，都可类似的给出差分方程解的形式。3. 常系数线性非齐次差分方程常系数线性非齐次差分方程的一般形式为(4)(21 nfxaxaxknnn 其中 为差分方程的阶数，其中 为差分方程的系数，且 ，k ,1 0ka)(n为已知函数。)(nf在差分方程(4)中，令 ，所得方程0)(nf(5)021knnxaxax称为非齐次差分方程(4)对应的齐次差分方程，即与差分方程(1)的形式相同。求解非齐次差分方程通解的一般方法：首先求对应的齐次差分方程(5)的通解 ，然后求非齐次差分方程 (4)的一个*nx特解 ，
9、则)0(nx )0(*nnx为非齐次差分方程(4)的通解。关于求 的方法同求差分方程(1)的方法相同。对于求非齐次方程 (4)的特解*nx的方法，可以用观察法确定，也可以根据 的特性用待定系数法确定，)0(nx )(nf具体方法可参照常系数线性非齐次微分方程求特解的方法。4. 差分方程的平衡点及其稳定性在应用差分方程研究问题时，一般不需要求出方程的通解，在给定初值后，通常可用计算机迭代求解，但常常需要讨论解的稳定性。对于差分方程 ，若有常数 是其解，即有0),(1knnxF a,(a6则称 是差分方程 的平衡点，又对该差分方程的任意由a0),(1knnxF初始条件确定的解 ，均有 )xnaxn
10、lim则称这个平衡点 是稳定的；否则是不稳定的。a下面给出一些特殊差分方程的平衡点和稳定性。4.1 一阶常系数线性差分方程一阶常系数线性差分方程的一般形式为， (6) baxn1其中 为常数，且 。它的通解为ba, 0,a(7)1)(aCxnn易知 是方程(6)的平衡点，由(7) 式知，当且仅当1a时， 是方程(6)的稳定的平衡点。b4.2 二阶常系数线性差分方程二阶常系数线性差分方程的一般形式为， (8) rbxaxnn12其中 rba,为常数，当 0r时，它有一特解，0*x当 ，且 时，它有一特解0r1，1*bar不管是哪种情形， 是方程(8)的平衡点。设方程(8)的特征方程为*x02的两
11、个根分别为 ， ，则12 当 是两个不同的实根时，方程(8)的通解为21,7；nnnCx)()(21* 当 是两个相同实根时，方程(8)的通解为21 nnx)(21* 当 是一对共轭复根时，方程(8)的通解为)si(co2,1)sinco(21* Cxnn易知，当且仅当特征方程的任一特征根 时，平衡点 是稳定的。i*x4.3 一阶非线性差分方程一阶非线性差分方程的一般形式为(9)(1nnxf其平衡点 由代数方程 解出。*x)(xf为了分析平衡点 的稳定性，将方程(9)的右端 在 点作泰勒展开，* )(nxf*只取一次项，得到 (10)()(*1fxfxnn(10)是(9)的近似线性方程， 是(
12、10) 的平衡点， 根据一阶常系数线性差分方程*(6) 的稳定性判定的相关结论，得：baxn1 当 时，方程(9)的平衡点是稳定的；1)(*f 当 时，方程(9)的平衡点是不稳定的。x三 差分方程建模实例1 贷款买房问题某居民买房向银行贷款 6 万元，利息为月利率 1%，贷款期为 25 年，要求建立数学模型解决如下问题：1) 问该居民每月应定额偿还多少钱？2) 假设此居民每月可节余 700 元，是否可以去买房?81.1 确定参变量：用 表示月份， 表示第 n 个月欠银行的钱， 表示月nAn r利率， 表示每月还钱数， 表示贷款额。x01.2 模型的建立与求解1) 模型的建立时间 欠银行款初始
13、A0一个月后 rx1()二个月后 2三个月后 Arx3() n 个月后 rn1()由上表可得相邻两个月的递推关系式 xrAn)(11.3 模型的求解：(1) 差分方程求解方法先求其特解。令 ，则 ，得特解为 。yAn1 xr)1( rxy再求对应齐次方程 的通解。 对应的特征方程为)(r，0得 。齐次方程的通解为：)1(rnrc)1(因此原方程的通解为： rxAnn)(又因为 时 ，得0n0nc0故 rxrAnnn 1109(2) 递推法： rxrArrxrA nnnnn 1111)( 00 令 =60000， ， =300， =0.01A030nr得 元xrn0 3016162因此，该居民每
14、月应偿还 632 元。又 632700，所以该居民可以去买房。2借贷问题中国建设银行北京市分行个人住房贷款一至二十年“月均还款金额表” （自1998 年 3 月 25 日起执行）的一部分如下：(借款额为一万元) 单位：元贷款期限(年)年利率(%)还款总额(元)利息负担总和(元)月均还款额(元)15 10.206 19569.60 9569.60 108.7220 10.206 23488.80 13488.80 97.87试问他们是怎样算出来的？借贷问题的数学模型一. 符号说明以贷款期限 20 年为例:10借贷额- ;0,1A贷款期限- 为 N 年 ; 月利率- ;850.2/6.r“月均还款
15、额 ”-表示每月还款额是相同的，记为 ;x还款总额-记为 .S二. 建立模型一开始借款 ，一个月后欠银行本利为 ，但为了减0,1A )1(0rA少欠款，还了 元，因而 ，第 个月情况也是这样的，即xxr)(0kNk ,21,1注意到了第 N 个月已经不欠银行的钱了，即 ，因此，我们得到以下的数0A学模型: 0,21)(0NkAthasucoFindKwxAxr三. 数学模型的求解首先求出用已知量表出的表达式。由 )1()1()1()()1( 2002 rxrAxrrAxrA 可以猜想，并用数学归纳法证明: )()()( 120 kkk rrr由等比数列前 项的求和公式知:1 NkrxrAkkk
16、 ,1)()(0 再由 ，得到:0NA1)(0Nrx把已知量带入，就得到表中的 。113生物种群数量问题一问题的提出种群的数量问题是当前世界上引起普遍关注的一个问题。要预测未来种群的数量，最重要的影响因素是当前的种群数量，今后一段时间内种群的增长状况和环境因素。由于随着种群数量增加到一定的程度后，种群在有限的生存空间进行竞争，种群的增长状况会随着种群数量的增加而减少，而且在有限的生存空间，种群数量也不可能无限增长，假设只能达到某一固定的数量值记为 ，mx称为最大种群容量。又假设单位时间内种群数量的增长量与当时种群数量 的比记为： ， 其中 相当于 时的增长率，称为固有增0,)(srxr、 r0
17、x长率，记当前 (即 时) 种群数量为 ，时刻 种群数量为 。若利用统计t0t)(tx数据可知 ， ， ，则mxr01）设 为连续、可微函数，请给出未来时间里种群数量满足的数学模型。)(t2）由于某些种群是在固定的一段时间内进行繁殖，所以可用种群繁殖周期作为时间段来研究其增长状况。请给出未来时间里这类种群数量应满足的离散数学模型。二. 问题分析与模型建立1. 由于 为单位时间内种群数量的增长量与当时种群数量的比，所以)(xr到 时间内种群数量的增量为tt(1)txrtt )()(又由于 而当 时增长率应为零，即 ，所以,)(sxrmx0)(mxr，则mxrs12，xrrm)(把它代入方程(1)
18、得:(2)txrtxtm)()(此方程两边同除 ，并令 ，加上初始条件 可得未来任意时刻t0t 0t种群数量所满足的数学模型为：(3)0)(1xrdtm2. 由于是利用种群繁殖周期作为时段来研究种群增长状况，则令 ，1t视为整数及 代入方程(1)得：t xrrm)(4)()1(txrttm加上初始条件 得任意时刻 种群数量所满足的离散型数学模型为0)(xt0)()(1xtxrtm通过这个差分方程就可以很容易得到任意时刻 种群的数量。t三模型求解1利用 求解方程(1)，可得任意时刻 种群数量为aMthemictrtmext1)(0源程序为：atheic ,0*)/(*) txttrtxDSolv
19、e2根据方程(2)，只要给出初值 就可以很容易进行递推而得到任意时刻013种群的数量。t四结果分析1上面方程(3)有时称为阻滞增长模型或 模型，它有着广泛的应用。Logistc例如传染病在封闭地区的传播，耐用消费品在有限的市场上的销售等现象，都可以合理的、简化的用这个模型来进行描述。但它存在不足，因为随着环境的变迁，最大种群容量可能会发生变化，而且最大种群容量也不容易准确得到。2一方面，用离散化的时间来研究问题有时是很方便的，尤其出现了计算机以后，人们可以很方便的对问题进行求解；另一方面，对这个种群数量问题，由于许多种群实际上是由单一世代构成的，在相继的世代之间几乎没有重叠，所以种群的增长是分
20、步进行的。这种情况下，为了准确的描述种群的数量动态就不能用微分方程，而应利用离散的模型来描述。4. 人口的控制与预测模型一问题的提出常见的两个常微分方程模型(马尔萨斯(Malthus)模型和洛杰斯蒂克(Logistic)模型)没有考虑到社会成员之间的个体差异，即不同年龄、不同体质的人在死亡、生育方面存在的差异。完全忽略了这些差异显然是不合理的。但我们不可能对每一个人的情况逐个加以考虑，故仅考虑年龄的差异对人口的变动的影响，即假设同一年龄的人具有相同的死亡率和生育能力，这样建立的模型不但使我们能够更细致的预测人口总数，而且能够预测老年人口、劳动力人口、学龄人口等不同年龄组的人口信息.下面来建立离
21、散的差分数学模型来表现人口数量的变化规律。二模型的建立与求解设 为第 年年龄为 的人口数量， ，即忽略百岁以上的)(txktk10,2k14人口。如果知道了第 年各年龄组的人口数，各年龄组人口的生育及死亡状态，t就可以根据人口发展变化规律推得第 年各年龄组的人口数。1t首先引入 岁人口的死亡率和 岁育龄妇女的年生育率这两个概念，他们kk的含义和记号如下：岁人口的年死亡率： 岁 的 人 口 数这 年 内 岁 的 死 亡 人 数一 年 内 kdk岁妇女的年生育率：k 岁 妇 女 人 数这 年 内岁 妇 女 生 育 的 婴 儿 数一 年 内 kbk第 年 岁的人口数就是第 年 岁人口数扣除它在该年的
22、死亡人数，1t t即，)(1()1txdtxkk令 称为 岁人口的存活率，故各年龄组人口随时间的变化规律可用递kkdp1推公式 )9,10(,)1( ktxptxkk来表示。再考虑到零岁的人数，100 )()(kktxubtx其中 为第 年 岁的妇女人数， 为第 年 岁人口的女性比(占全)(txuktktt部 岁人口数)， 就是第 年 岁妇女所生育的婴儿数 .由此得到的人)(xubkktk口模型是：(1)9,10,)()1(100 ktxptxubkk根据人的生理特征和人口学中的习惯，妇女的育龄区间一般取为 15 岁至 49 岁之间，即当 和 时， ， 令1549kbTktxttxtx )(,
23、)(,)(,)( 101015 000 00)()()()()( 910 192pp btutbtutbtuL 则人口模型（1）的矩阵形式为 (2)(1(tLxt其中 称为莱斯利（Lwslie）矩阵.当第 年的人口状况已知时，从式(2)就可以L0推得第 年的人口为t.)()1(0txLtxt5. 市场经济中的蛛网模型在自由竞争的市场经济中，商品的价格是由市场上该商品的供应量决定的，供应量越大，价格就越低。另一方面，生产者提供的商品数量又是由该商品的价格决定的，价格上升将刺激生产者的生产积极性，导致商品生产量的增加。反之，价格降低会影响生产者的积极性，导致商品生产量的下降。在没有外界干扰的情况下
24、，这种现象将如此反复下去。这样的需求和供应关系决定了市场经济中商品的价格和数量必然是振荡的。这种振荡越小越好，如果振荡太大就会影响人民群众的正常生活。供大于求 价格下降 产量减少供不应求价格上涨产量增加数量和价格在振荡16(1) 商品数量与价格的振荡在什么条件下趋向稳定?(2) 当不稳定时政府能采取什么干预手段使之稳定?下面用差分方程理论建模，讨论市场经济趋于稳定的条件，再用图形方法建立“蛛网模型 ”对上述现象进行分析，对结果进行解释，然后作适当推广。3.1 模型的假设和符号说明 记第 时段商品数量为 ，价格为 ， 。nnxny,21这里我们把时间离散化为时段，1 个时段相当于商品的 1 个生
25、产周期，如蔬菜、水果可以是 1 年，肉类可以是一个饲养周期。 在 时段商品的价格 取决于数量 。设 。它反映消费者对nnynx)(nxfy这种商品的需求关系，称为需求函数。因为商品的数量越多，价格越低。需求函数在图 1 中用一条下降的曲线表示， 称为需求曲线。ff 在 时段商品的数量 由上一时段的价格 决定，用1n1nxny表示。它反映生产者的供应关系，称为供应函数。)(1nnygx因为价格越高，生产量越大。供应函数在图 1 中用一条上升的曲线 表示，g称为供应曲线。gx0y0 P0fxyO图 1 商品供求关系曲线3.2 模型的建立与求解设需求曲线 和供应曲线 相交于点 ，在 附近取函数 和
26、的fg),(0yxP0fg线性近似，即17需求曲线 ： f， (11)(00xynn供应曲线 ：g， (12)(001yxnn由式(11)(12)消去 ，得到一阶线性差分方程y， (13)01)(xxnn ,21n因此 是其平衡点，即 是平衡点。对式(13)进行递推，得0x0P，011 )()(xxxnnn ,由此可得，平衡点稳定的条件是： ；不稳定的条件是： 。1下面用图形解释此模型。若对某一个 有 ，则由(11)式得，当 时 ，从而 ，k0xkn0xn0yn即商品的数量和价格将永远保持在 点。但是实际生活中的种种干扰使),(0yxP得 不可能停止在 上。不妨设 偏离 (见图 2，图 3)，
27、我们来分nyx, ),(0yx10x析随着 的增加， 的变化情况。n,xy0f gy0x0P0x1x2P2y1y2P3 P4x3y3 P1f需求曲线g供应曲线图 2 点是稳定的0P数量 给定后，价格 由曲线 上的 点决定，下一时段的数量 由曲线1x1yf1 2x上的 点决定，这样得到一序列的点 ， ， ，g2P),(yx),(2yx),(3yP18，,在图 2 上，这些点将按照箭头所示方向趋向 ，表明),(4yxP ),(0yxP是稳定的平衡点，意味着市场经济(商品的数量和价格)将趋向稳定。0但是如果需求函数和供应函数由图 3 的曲线所示，则类似的分析发现，市场将按照 ， ， ， ，的规律变化
28、为远),(1yxP),(2yx),(yxP),(4yx离 ，即 是不稳定的平衡点，市场经济趋向不稳定。,00P1P2P3P4xy0y0x0P0fgf需求曲线g供应曲线图 3 点是不稳定的P图 2 和图 3 中折线 形似蛛网，于是这种用需求曲线和供应曲线421分析市场经济稳定性的图示法在经济学中被称为蛛网模型。实际上，需求曲线和供应曲线 的具体形式通常是根据各个时段商品的数量和价格的一系列统fg计资料得到的。一般地说， 取决于消费者对这种商品地需要程度和他们地消f费水平， 则与生产者的生产能力，经营水平等因素有关。下面来解释此模型的实际意义。 首先来考虑参数 的含义。,需求函数 的斜率 (取绝对
29、值)：表示商品供应量减少 1 个单位时价格的f上涨幅度；供应函数 的斜率 ：表示价格上涨 1 个单位时(下一时期)商品供应增加量。g19的值反映消费者对商品需求的敏感程度。如果这种商品是生活必需品，消费者处于持币待购状态，商品数量稍缺，人们立即蜂拥购买，那么 会比较大；反之，若这种商品非必需品，消费者购物心理稳定，或者消费水平低下，则 会比较小。的数值反映生产经营者对商品价格的敏感程度。如果他们目光短浅，热衷于追逐一时的高利润，价格稍有上涨立即大量增加生产，那么 会比较大；反之，若他们目光长远，则 会比较小。 根据 的意义很容易对市场经济稳定与否的条件作出解释。,当供应函数 的斜率 固定时，
30、越小，需求曲线越平，表明消费者对商g品需求的敏感程度越小，越有利于经济稳定。当需求函数 的斜率 固定时， 越小，供应曲线越陡，表明生产者对价f格的敏感程度越小，越有利于经济稳定。反之，当 较大，表明消费者对商品的需求和生产者对商品的价格都很,敏感，则会导致经济不稳定。 经济不稳定的解决方案当市场经济趋向不稳定时，政府有两种干预办法：一种办法是控制价格，无论商品数量多少，命令价格不得改变，于是 ；不管曲线 如何，总是稳0g定的；另一种办法是控制市场上的商品数量，当上市量小于需求时，政府从外地收购或调拨，投入市场，当上市量多于需求时，政府收购过剩部分，于是，不管曲线 如何，也总是稳定的。0f3.3
31、 模型的改进和推广如果生产者的管理水平更高一些，他们再决定商品生产数量时，不是仅根据前一时期的价格，而是根据前两个时期的价格，为简单起见不妨设根据二者的平均值2021ny于是供应函数为 )2(11nnygx在 点附近取线性近似时，式(12)表示为0P供应函数 : )(g， (14)2(0101yxnn又设需求函数仍由式(11) 表示，则由(11),(14) 得到， (15)012 )(xxxnnn ,21n(15)式是二阶线性差分方程。 点稳定的条件可由特征方程0P2的根 确定。48)(22,1结论：若方程的特征根均在单位园内，即 ，则 为稳定点。1,210P 当 时，显然有8，2448)(2
32、2 从而 ，故此时 是不稳定的。20P 当 时，特征方程有两个共轭复数根8 22,1 )(841i此时 2)()( 1222,1 要使 为稳定点，只需 ，即有0P2,1212这与原有模型中 点稳定的条件 相比，保持经济稳定的参数 的范围0P1,放大了( 的含义未变)。可以想到，这是生产经营者的生产管理水平提高，,对市场经济稳定起着有利影响的必然结果。22专题训练题：养老金计划养老金是指人们在年老失去工作能力后可以按期领取的补偿金，这里假定养老金计划从 20 岁开始至 80 岁结束，年利率为 10%。参加者的责任是，未退休时（60 岁以前）每月初存入一定的金额，其中具体的存款方式为：20 岁29岁每月存入 元，30 岁39 岁每月存入 元，40 岁49 岁每月存入 元，501X2X3X岁59 岁每月存入 元。参加者的权利是，从退休（60 岁）开始，每月初领取4退休金 ，一直领取 20 年。试建立养老金计划的数学模型，并计算下列不同年P龄的计划参加者的月退休金。(1) 从 20 岁开始参加养老金计划，假设 元；123420XX(2) 从 35 岁开始参加养老金计划，假设 元， 元，35元；410X(3) 从 48 岁开始参加养老金计划，假设 元， 元。310X420
