1、第六章 高阶差分方程在离散时间分析中可能出现这种情况：t 期的经济变量，比如 yt，不仅取决于 yt-1，而且取决于 yt-2。这样便引出了二阶差分方程。严格地讲，二阶差分方程是一个包含表达式 2yt，但不含高于二阶差分的方程。 2yt读作 yt 的二阶差分。而符号 2 是符号 d2ydt 2 在离散时间情况下的对应物，表示“取二阶差分”如下： 2yt=( y t)=(y t+1-yt)=(yt+2-yt+1)-(yt+1-yt)=yt+2-2yt+1+yt因此，y t 的二阶差分可以转换为包含两期时滞的项的和。因为像 2yt 和 y t 这样的表达式写起来很麻烦，所以我们将二阶差分方程重新定
2、义为包含变量的两期时滞的方程。类似地，三阶差分方程为包含三期时滞的方程；等等。我们首先集中讨论二阶差分方程的解法，然后再在后面的章节中将其推广至高阶差分方程。为控制讨论的范围，在本章，我们仅讨论常系数线性差分方程。但对常数项和可变项两种形式，均作考察。具有常系数和常数项的二阶线性差分方程一类简单的二阶差分方程的形式为：yt+2+a1yt+1+a2y=c 6.1读者应注意到，此方程为线性、非齐次，且具有常系数（a 1，a 2）和常数项 c 的差分方程。二阶差分方程的通解是由余函数和特别积分构成：y ty c+yp。特别积分是6.21,1212cp6.2,11aytp6.22,2121cp为求出余
3、函数，我们必须集讨论简化方程yt+2+a1yt+1+a2y0 6.3解一阶差分方程的经验告诉我们，Ab t 式在这种方程的通解中起非常重要的作用。因此，我们先试探形式为 ytAb t 的解，它自然意味着 yt+1Ab t+1，等等。我们的任务便是确定 A 和 b 的值。将试探解代入简化方程，方程变成Abt+2+a1Abt+1+a2Abt0或在消去（非零）共同因子 Abt 后，有 b2+a1b+a20 6.3此二阶差分方程的特征方程与二阶微分方程的特征方程具有可比性。它具有两个特征根：6.424, 2121ab对解 Abt 中的 b 而言，上述每个根都是可接受的。事实上，b l 和 b2 均应在
4、齐次差分方程的通解中出现，恰如在微分方程中的情况一样，此通解必然包括两个线性无关的部分，每一部分都有自己的任意乘积常数。与微分方程特征根的三种情况一样，差分方程的特征根也有三种情况：两个不相等的实数根、两个相等的实数根和一对共轭复数根。第一种情况（不同的实根）：当 a124a 2 时，b 1 和 b2 为不同的实根。在这种情况下，b1t 和 b2t 线性无关，余函数可以简单地写成 b1t 和 b2t 的线性组合，即 yc=A1b1t+A2b2t。 6.5第二种情况（重实根）：当 a124a 2 时，特征根为重根：b（b 1b 2）-a 12。现在若将余函数表示为如不同实根时的形式，则两部分将合
5、并为一项：A1b1t+A2b2t（ A1+A2）b tA 3bt 此式无效，因为现在缺一个常数。为了补上缺失的部分（我们回顾一下，这部分应与 A3bt 项线性无关） ，还需要以变量 t乘 bt 这个老方法。这样这个新的项可取 A4tbt 形式。它与 A3bt 项线性无关是很明显的，因为我们永远不能给 A3bt 项加上一个常系数而得到 A4tbt。 A4tbt 像 A3bt 一样，确实可以作为简化方程的解这一事实，可以很容易得到验证：只需将 yt=A4tbt和 yt+1=A4（t+1 ）b t+1 等 代入简化方程，便可以看到该方程是一个恒等式。因此，重实根情况下的余函数为：yc=A3bt+A4
6、tbt 6.6例：求下列方程的通解（1） ； （2） ； 146012yttt 125612ttt（3） 8ttt解：（1） 12ttt该方程的特别积分为： 2604yp该方程的特征方程为：b 2-10b+16=0，所以特征根为：8,16401,2所以， )(21ttcA因此，方程的通解为 21ttty若给定 y0=10 和 y1=36，可求出该方程的特解：令 t=0 和 t=1 则： 210200)8(A11按照初始条件，令 y0=10 和 y1=36，则A1+A2+2=102A1+8A2+2=36联立方程求解 A15 和 A2=3，最后把它代入通解中可得特解： 235)8(ttty（2）
7、62yttt该方程的特别积分为： tp362该方程的特征方程为：b 2-6b+5=0，所以特征根为：5,1436,21所以， )()(221 tttc Ay因此，方程的通解为 tc31(3) 812ttt该方程的特别积分为： typ24该方程的特征方程为：b 2-2b+1=0，所以特征根为：1421所以， ttAtc 221)(因此，方程的通解为 yc14第三种情况（复数根）：当 a124a 2 时，b 1 和 b2 为一对共轭复数根。具体地，根的形式为 hvi，其中 6.7,1v因此，余函数变成：y c=A1b1t+A2b2t=A1(h+vi)t+A2(h-vi)t上式表明，解释 yc 并不
8、容易。但幸运的是，由于棣莫弗定理，此余函数很容易化为三角函数，而三角函数我们已知如何解释。具体如下。若将 v=Rsin，h=Rcos ，则共轭复数可以变换如下：hviRcosRisinR（ cosisin ） 。进而，由欧拉关系（即 ei =cos+isin，e -i =cos -isin）可再写成 hviRe i 。则相应地（h+vi ） n(Re i )n=Rein 类似地， （h-vi） n(Re -i )n=R n e-in 。所以 (hvi)nR(cosnisinn) nR n(cosnisinn ) ，此即为棣莫弗定理。根据棣莫弗定理，可以写出(hvi) tR(cosnisinn)
9、 tR t(costisint )其中， ， avR2121246.8 为（0，2）内的角，以弧度度量。它满足条件：6.9aRvndRh21214sicos因此，余函数可以变换如下：yc=A1Rt(cost+isint)+A 2Rt(cost-isint)R t(A1+A2)cost+（A 1-A2）isint)R t（A 5cost+A 6sint) 6.10该余函数表达式与其在微分方程中的对应物有两点重要区别。首先，表达式 cost 和sint 巳取代了原来使用的 cosvt 和 sinvt。其次，乘积因子 Rt (以 R 为底的指数) 已取代了自然指数式 eht。总之，我们已由复根的笛卡
10、尔坐标系 (h 和 v)转换到极坐标系(R 和 )。一旦 h 和 v 已知，则 R 和 的值可由此确定，或可由参数 a1 和 a2 直接确定。例：求 yt+2+1/4yt=5 的通解。这里，系数 a10 和 a21/4，这是一个 a124a 2 的复根的例子。根的实数和虚数部分分别为 h0，v1/2 。并可得 20)(R因为 值可满足两个方程 1sincosvad则 /2因而，余函数为 )2sis(65)21ttAytc 为求 yp，我们在完备方程中尝试常数解 ypk。这产生 k4，因此 yp4，且通解可以写成：6.114)2sincos(65)ttAtt 时间路径的收敛性同在一阶差分方程中的
11、情况一样。时间路径 yt 的收敛性仅取决于当 t时，y c 是否趋近于零。因此，我们在关于 t 的 7 个区域分布图中所了解的关于 bt 式的各种图形仍可应用，尽管在这里我们必须考察两个特征根，而非一个特征根。首先考察不同实根的情况：b 1b 2。若b 11，b 21，则余函数中的两项A1b1t 和 A2b2t 将是放大的，因此 yc 必然是发散的。相反，若b 11，b 21，当 t 无限增大时，y c 中的两项将收敛于零，y c 也将收敛丁零。但若 b 11 而b 21，会如何呢？在这种中间情况下，很明显，A 2b2t 项将会“消失” ，而另一项会越来越偏离零值。由此可知，A lb1t 最终
12、必将控制局势，并使路径发散。我们将绝对值较大的那个根称作强根。由此看来，实际决定时间路径的特征，至少是关于其敛散性这一特征的是强根。实际情况也的确如此。因此，我们可以这样表述；无论初始条件如何，当且仅当强根的绝对值小于 1 时，时间路径将是收敛的。读者可以验证，在两个根的绝对值都大于 1 或小于 1 的情况下(上面讨论过 )，以及在一个根的绝对值恰好为 1 的情况下(上面未曾讨论 )，这个结论都是成立的。但要注意，尽管收敛性最终仅取决于强根，但非强根也会对时间路径施加一定的影响，至少在起始阶段是如此。因此 yt 的确切图形仍取决于两个根。其次考察重根的情况，此时余函数包含项 A3bt 和 A4
13、tbt。前者我们早巳熟悉，但对后者(它包含一个乘积因子)仍需做一点解释。如果b1， bt 项将放大，而乘积项 t 随着 t 的增加，会进一步增强放大性。另一方面，如果b1，则 bt 部分( 当 t 增加时 m 它趋于零)和t 部分变化方向相反，即 t 值将会抵销而非强化 bt。那么，哪种力量更强一些呢?答案是，b t的衰减力量总是会超过 t 的放大力量。因此，在重根情况下对收敛性的基本要求仍是根的绝对值小于 1。例： 的解为： 。其特征根分别为 2 和2604yp 235)8(ttty8，瞬时均衡值为 2。因为强根的绝对值大于 1，所以时间路径发散。的解为： 。其特征根为 1 和 5，还存在一
14、tp3 tcA2个移动均衡 3t。因为强根的绝对值大于 1，所以时间路径也发散。现在我们考察复数根的情况。由余函数的一般形式 ycR t（A 5cost+A 6isint)。显然可知，括号中的表达式，像连续时间状态中的表达式一样，将产生一种周期性波动形式：但因在这里，变量 t 仅取整数值 0，1，2，我们仅能捕捉并利用三角函数图形中点的子集。在每个这样的点上，直到达到下一个相关的点以前，y 值在一个完整的时期内都是有效的。如图 17.1 所描述的那样，所产生的路径既不是通常的振荡形式(在紧邻的时期中，不在 yp 值的上下交替)，也不是通常的波动形式 (非平滑)，而是表现出一种阶梯波动。就收敛性
15、而言，尽管决定性的因素实际上是 Rt 项，它像连续时间状态中的 eht 项一样，将确定阶梯波动在 t 增加时是得到强化，还是受到削弱。在现在这种情况下，当且仅当 R1 时，波动才能逐渐缩减。因为根据定义，R 是共扼复数根(hvi)的绝对值，所以，收敛性的条件仍是特征根的绝对值小于 1。概言之，对于特征根的所有三种情况，无论初始条件为如何，当且仅当每个根的绝对值小于 l 时，时间路径将会收敛于（一个稳定的或移动的) 瞬时均衡。例 yt+2+1/4yt=5 和 yt+2-4yt+1+16yt=0 的时间路径是否收敛。yt+2+1/4yt=5 的通解为 。这里 R1/2 ，所以4)2sincos(6
16、5)21ttAt 时间路径将收敛于一个稳定均衡(4) 。而 yt+2-4yt+1+16yt=0 的通解为：，有 R4，所以时间路径不再收敛于均衡(0)。)3sincos(654ttAytt 作业1、写出下列每个方程的特征方程，并求出特征根：（1）y t+2-yt+1+1/2yt=2； （2）y t+2+1/2yt+1-1/2yt=5；（3）y t+2-4yt+1+4yt=7； （4） yt+2-2yt+1+3yt=42、对上题中的每个差分方程，根据特征根判定时间路径是否包含振荡或阶梯波动，以及时间路径是否是放大的。3、求第 1 题中方程的特别积分。它们表示平稳均衡或移动均衡吗？萨缪尔森乘数一加
17、速相互作用模型我们引用萨缪尔森教授的经典的相互作用模型，作为描述二阶差分方程在经济学中应用的一个例子。此模型探索当加速原理与凯思斯乘数一起发生作用时，收入决定的动态过程。此外，此模型还证明，仅仅是乘数和加速数的相互作用，就能够产生内生的周期性波动。结构假设国民收入 Yt 由三种支出流组成：消费 Ct；投资 It；政府支出 Gt。C t 被看成上期收人 Yt-1 的函数，而非本期收入的函数。为简单起见，假设 Ct 严格地与 Yt-1 成比例。作为一个“引致”变量，投资是消费者现行支出倾向的函数。当然正是通过这一引致投资，加速原理才得以进入模型。具体地，我们假设 It 与消费增量 C t-1C t
18、-Ct-1 成固定比例。而第三个支出流 Gt，则可视为外生变量。事实上，我们将假设它是一个常数，并以 G0 表示之。这些假定可以转换成如下方程组：6.12)0()(110CIYtttttt 其中 表示边际消费倾向， 表示加速数(加速系数的简写) 。因为模型中包含引致投资，我们便得到一个描述乘数与加速数相互作用的二阶差分方程。利用第二个方程，我们可用收入将 It 表示如下： )()( 2121YIttttt 将此式与 Ct 代入第一个方程并整理，模型可以化简为一个方程 GYttt 021)(或者等价地（将下标前移两个时期）6.13ttt 012)(由于它是一个具有常系数和常数项的二阶线性差分方程
19、，所以可用刚才学过的方法解之。解法作为特别积分，我们有 1)1(00GYp表达式 1/（1-）只是一个乘数，但它只是在不存在引致投资时才成立。因此，G 0/(1-)(外生支出乘以乘数)应在下述意义上给出均衡收入：此收入水平满足均衡条件“国民收入总支出” 。然而，作为此模型的特别积分，它也给出瞬时均衡收入。关于余函数，存在三种可能的情况。在这里，第一种情况（不相等实根）的特征为： 2（1+ ） 2 4 或 （1+） 24 或 4（1+） 2类似地，要描述第二、三种情况的特征，我们只需将上面最后一个不等式中的号分别变成号和号即可。在图 172 中，我们绘出了方程 y4（1+） 2 的图形。根据上面
20、的讨论，恰好位于此曲线上的(，) 数偶属于第二种情况。而位于该曲线上面 (包含较大的 值)的(，) 数偶属于第种情况，位于该曲线下面的(，) 数偶属于第三种情况。边际消费倾向3C 3D1C 1D1 )1(242C 2D 加速数图 2这种具有图 17.2 的图形表示的三重分类是重要的，因为它清楚地揭示这样一些条件，在此条件下乘数与加速数的相互作用可内生地产生周期性波动。但这种分类并未谈及 Y 的时间路径的敛散性。因此，在每一情况下，我们还需要区分衰减与放大两种子情况。当然，我们可以通过引用一些数字例子来简单地说明这种子情况，这是处理这一问题的简单方式。不过我们还是设法求出收敛性和发散性的一般条件
21、；尽管这很麻烦，但却更有价值。收敛性与发散性该模型的差分方程具有特征方程：b 2-（1+ ）b+0，它产生两个根：24)1(, )(221 b因为收敛性与发散性取决于 b1 和 b2 的值，又因为 b1 和 b2 值取决于参数 和 的值，所以，收敛与发散的条件应当可以用 和 值表示。为此，我们可以利用这一事实；两个特征根总可以通过如下两个方程联系起来：b1+b2（1+） 6.15b1b2 6.15在这两个方程的基础上，我们可以观察到（1-b 1） （1-b 2）1- （b 1+b2）+b 1b21-（1+）+1- 6.16鉴于模型设定 01，有必要对这两个根施加条件 0（1-b 1） （1-b
22、 2）1 6.17现在，我们来考察第一种情况下的收敛性问题，其中两个根为不同的实根。因为根据假设， 和 均为正，这表明 b1b20，这意味着 b1 和 b2 具有相同的代数符号。进而，因为 （1+ ）0，所以，表明 b1 和 b2 必为正。因此，在第一种情况下，时间路径 yt 不会产生振荡。尽管已知 b1 和 b2 的符号，但在第一种情况下至少存在 5 种（b 1，b 2）值的组合，每种组合关于 和 的对应值如下：(i)0b 2b 1101；1(ii)0b 2b 111(iii)0b 21 b11(iv)1b 2b 11(v)1b 2b 101；1i 可能性(其中 b1 和 b2 为正分数)完
23、全满足条件 0（1-b 1） （1-b 2）1，并与模型设定0l 一致。在此可能性下，两根之积必然也为正分数，这意味着 1。相反，下面的三种可能性都违背条件 0（1-b 1） （1-b 2）1，并产生不可接受的 值，因此，必须将它们排除掉。但可能性 v 是可接受的。由于 b1 和 b2 均大于 1，0（1-b 1） （1-b 2）1仍然得到满足，但这次，由关于 b1 和 b2 乘积取值的公式，我们有 1(而非 1) 。结果在第一种情况下，只有两种可接受的子可能性。第一种子可能性(可能性 i)包含分数根b1 和 b2，因而产生了 y 的一个收敛时间路径。另一种子情况( 可能性 v)的根大于 1，
24、因而产生一个发散的时间路径。但就 和 的值而言，收敛性与发散性的问题仅取决于1 还是 1。这个结论概括在下表中最上面的部分，其中收敛的子情况标为1C，发散的子情况标为 1D。对于第二种情况重根的分析，实质是类似的。现在根为 b（1+）2，其符号为正，因为 和 均为正。因此仍然不存在振荡。这里我们只需将 b 值分为三种可能性：(vi)0b11；1(vii)b=1=1(viii)b 1 1；1在可能性 vi，b(=b 1=b2)为正分数，因此，关于 和 的含义与第一种情况下可能性i 的情形完全一致。与此类似，可能性 viii(其 b(=b1=b2)大于 1)与可能性 v 的结果相同。而可能性 vi
25、i 违背 0（1-b 1） （ 1-b2）1，必须被排除，所以只有两种可接受的子情况。第一种子情况(可能性 vi)产生一个收敛的时间路径，而另一种子情况( 可能性 viii)则产生一个发散的时间路径。关于 和 ，收敛与发散的子情况仍然是分别与 1 和 1相联系的。这些结论列在下表的中部，其中两种子情况分别标为 2C（收敛）和 2D(发散)。表 1 萨缪尔森模型的各种可能情形情况 子情况 和 的值 时间路径 Yt1 不同的实根1C：0b 2b 11 11D：0b 2b 1 1非振荡与非波动2 重实根2C：0b 12D：b1 1非振荡与非波动3 复根3C：R1 13D：R1 1具有阶梯波动最后，在
26、第三种(复根)情况下，我们得到阶梯波动，因而具有内生的商业周期。在此情况下，我们应当考察绝对值 作为判定收敛性与发散性的线索，而 a2 则是差分方程a2中 yt 项的系数，在本模型中，我们有 ，它产生如下三种可能性：R(ix)R11(x)R=1=1(xi)R11尽管上述几种可能性都是可接受的，但仅有 R1 这种可能性具有收敛的时间路径，在表中列为子情况 3C。而另外两种情况在上表中一并标为子情况 3D。总之，由上表我们可以得出结论：当且仅当 1 时，可以得到收敛的时间路径。用图形小结上述分析结果上述分析采用了较为复杂的情况与子情况的分类方式。如果我们有更为直观的分类图形表示，则会有很大的帮助。
27、图 2 便提供了这种图形表示。在图 2 中，模型中所有可接受的有序偶( 和 ) 的集合以各种不同的阴影矩形面积来表示。因为要排除 0 和 1 的值，正如要排除到 0 的一样，所以阴影的面积是一种无边的矩形。我们已绘出方程 4(1+) 2 的图形，以区分表 1 中的三种主要情况：在曲线上的点属于第一种情况；位于曲线北面上的点( 表示较大的 值) 属于第二种情况；位于曲线南面的点(表示较小的 值) 则属于第三种情况。为区别收敛与发散的子情况，我们现在加上 1 的图形( 等轴双曲线 ，作为另一条分界线。位于该等轴双曲线北面的点满足不等式 1，而位于该曲线下面的点则对应于 1。这样就可能很容易区分子情
28、况了。在第一种情况下，位于双曲线下面的虚线阴影区域，对应于子情况 1C，而实线阴影区域则与子情况 1D 相联系。在第二种情况下，即点位于曲线 4(1+) 2 的情况下，子情况 2C 包括该曲线向上倾斜的部分，而子情况 2D 则对应该曲线向下倾斜的部分。最后，对于第三种情况，等轴双曲线用于区分小点阴影区域(子情况 3c)和小石子阴影区域( 子情况 3D)。其中 3D 也包含位于等轴双曲线上的点本身，因为设定的是弱不等式1。因为图 2 包含了模型中所有定性的结论，所以如果给定任意有序偶(，) ，通过在图形中绘出该有序偶，我们总可以在图形上找到正确的子情况。例 1 若加速数为 0.8，边际消费倾向为
29、 0.7，会产生何种相互作用的时间路径?有序偶(0.8，0.7)位于小点阴影区域内，属于子情况 3C，因此时间路径以衰减的阶梯波动为特征。例 2 2 和 0.5 表明哪类相互作用的时间路径?有序偶(2，0.5) 恰好位于等轴双曲线上，属于子情况 3D。Y 的时间路径仍表现出阶梯波动，但它既非放大，亦非衰减。将其与均匀振荡和均匀波动的情形相比较，我们可以将这种情形称之为“均匀阶梯波动” 。但是，后一种情况下的均匀特征一般不能期望它是完美的，因为类似于图 1 中的图形，我们只能采纳那些对应于 t 的整数值的在正弦或余弦曲线上的点，但在每一波动周期中，这些t 值可能会碰到曲线上完全不同的点。1、参见
30、图 17.2，求下列每组 和 值所属的子情况，并定性地描述相互作用的时间路径。（1）=3.5，=0.8 ； （2）=0.2，=0.9；（3）=2，=0.7 ； （4）=1.5，=0.6；2、由上题（1）和（3）部分所给出的 和 值，求每一情况下特征根的数值，并分析时间路径的性质。你的结果与前面获得的结果一致吗？3、验证第一种情况下的可能性 ii，iii 和 iv，意味着不可接受的 值。4、证明在第三种情况下，我们不会遇到 1 的情形。离散时间条件下的通货膨胀与失业前面在连续时间框架下讨论的通货膨胀与失业的相互作用，也可以在离散时间条件下加以表达。在本节，我们将使用基本相同的假设，描述如何将模型
31、重构为差分方程模型。模型前面的连续时间公式由三个微分方程构成p=-T- u+h（预期增加的菲力普斯关系）d/dt=j（p-） （适应性预期）dU/dt=-k（m-p） （货币政策）三个内生变量均为现值：p(实际通货膨胀率 )，(预期通货膨胀率)，U( 失业率)。在模型中出现 6 个参数，参数 m(名义货币增长率，或者货币扩张率)与其它参数的不同之处在于其大小是由政策决定的。当把上述方程纳入时期分析模式时，菲利普斯关系变成：pt=-T- U t+h t（，0；0h1） 6.17在适应性预期方程中，导数必然为差分方程所取代： t+1- t=j（p t- t） （0j1） 6.18同理，货币政策也将
32、变成Ut+1-Ut=-k（m-p t+1） （k0） 6.19这三个方程构成了通货膨胀失业模型的新形式。以 p 为变量的差分方程作为分析新模型的第一步，我们仍设法将模型化简为一个具有单一变量的方程。令该变量为 p。相应地，我们把注意力集中于新的菲利普斯关系。但是，因为这个方程不同于其它两个方程，它本身不能描述一种变化模式，因而需要我们来创造这样一种模式。我们可以通过对 pt 取差分，即取 pt 的一阶差分来做到这一点。根据定义p t pt+1-pt取一阶差分需要两个步骤：首先，将菲利普斯关系公式中的时间下标前移一个时期，得到pt+1=-T-U t+1+h t+1 6.17然后用 pt+1 减
33、pt，可得到 pt 的一阶差分，它能够描述所需的变化模式：pt+1-pt=-（U t+1+Ut）+h（ t+1- t）=k（m-p t+1） +hj（p t- t） 6.20注意在(6.20)的第二行，(6.18)和(6.19) 的变化模式都已被纳入到 p 变量的变化模式中去了。因此，该式包容了本模型的所有信息。但是， t 项对 p 研究无关紧要，需将其从上述方程中剔除。为此，我们利用这一事实h t=pt-（-T ）+U t 6.21将该式代入上式，合并同类项，得到（1+k）p t+1-1-j（1-h）p t+jU t=km+j（-T） 6.22但现在又出现了一个有待于删除的 Ut 项。为此，
34、差分(6.22)以得到（U t+1-Ut）项，然后再利用(6.19) 消去（U t+1-Ut） 。只有经过这样一个冗长的代换过程，我们才能得到所求的仅含 p 变量的差分方程，经过标准化后，其形式为6.23cttt kmjakhjakjhp 11)(1)(22p 的时间路径由该标准化的差分方程给出的 p 的瞬时均衡值为mkjcPa21因此，同连续时间模型中的情况一样，均衡的通货膨胀率恰好等于货币扩张率。至于余函数，依 a12 和 4a2 的相对大小而定，会产生不同的实根( 第一种情况)，重根(第二种情况) 或者复根(第三种情况)。在本模型中6.24)1(44)1(221 khjif kjha比如
35、，如果 h=1/2，j1/3，k=5，则 ，而 4a220，那么便出现第一种情6521a况。但若 hj1，则 a124 ，而 4a24(1+k)4，那么便会产生第三种情况。然而，考虑到本模型中包含较多的参数，不可能像萨缪尔森模型中那样，构建一个如 172 那样的分类图形。不过，收敛性的分析仍可按上一节的路线来进行。具体地，两个特征根 bl 和 b2 之和与之积必定满足下列数量关系： 01121 jkhab6.256.25),(21j进而，在本模型中我们有6.260)()1(21212 kjbb现在考察两个根 bl、b 2 为不同实根的情况。因为积 b1b2 为正，所以 bl 与 b2 必取相同
36、的符号。进而，因为 bl 与 b2 的和为正，所以它们必然均为正，这意味着不会产生振荡。由(6.26)我们可以推断 b1 与 b2 均不等于 1，否则(1-b 1)(1-b2)将会等于 0，与不等式所表明的含义相违。这表明，按照在萨缪尔森模型中所列举的关于(b l，b 2)组合的各种可能性，这里不会出现可能性 ii 和 iv。一个很大于 l，另一个根小于 1 的情形也是不可接受的，否则，(1-b1)(1-b2)将为负。因此可能性 iii 也被排除了。由此可知， b1 与 b2 或者二者均大于 l，或者均小于 1。然而，若 b1l，b 21(可能性 v)，将违背二者乘积小于 1 的假设，结果，最
37、终只有可能性 i，即 b1，b 2 均为正分数，从而 p 的时间路径为收敛的情况能够存在。对第二种情况的分析并没有什么根本的不同。通过同样的推理，我们可以断定重根 b在本模型中只能为正分数；即可能性 vi 是可接受的，但可能性 vii 和 viii 则不成立。在第二种情况下，p 的时间路径依然是非振荡且收敛的。至于第三种情况，收敛性要求 R(复根的绝对值)小于 1。根据 ，由于 a2 为正R2分数 见 b1b2 的表达式，所以确实有 R1。因此，在第三种情况下，p 的时间路径也是收敛的，尽管这次会出现阶梯被动。关于 U 的分析如果要分析失业率的时间路径，我们可以以货币政策影响失业的表达式为出发
38、点。为排除方程中的 p 项，我们首先代 pt+1 以得到（1+k）U t+1-Ut=k（-T-m）+kh t+1 6.27其次，为代换另一个方程作准备，我们对该式取差分以求得（1+k）U t+2-（2+ k）U t+1+Ut=kh（ t+2- t+1） 6.28鉴于方程右边存在 的差分表达式，我们可以用一个前移形式的适应性预期方程来代替它。结果（1+k）U t+2-（2+ k）U t+1+Ut=khj（p t+1- t+1） 6.29本模型中的所有信息均包含在此方程中。然而，在适当的关于 U 的差分方程产生以前，我们必须先剔除 p 和 变量。为此，由(6.19)我们注意到kpt+1=Ut+1-
39、Ut+km 6.30进而，以（-kj）通乘(6.21)，并前移时间下标，我们可以写成-kjh t+1=-kjpt+1+kj（-T）- kjU t+1=-j（U t+1-Ut+km）+kj（-T ）-kjU t+1（由 6.30）=-j（1+k）U t+1+jUt+kj（-T-m） 6.31这两个结果以 U 变量来表示 pt+1 和 t+1，可以使我们将其代 (6.29)，最终得到仅有 U变量的差分方程：6.32kmhTjkhjkjhUttt 1)(1)(1)(2值得注意的是，方程左边的两个常系数与 p 的差分方程如(6.23)中的常系数是一致的。因此，前面关于 p 路径余函数的分析同样可以应用
40、到这里。但(6.32)右边的常数项确实有别于(6.23)中的常数项。结果两种情况下的特别积分便不相同。这也应当如此，除了巧合因素外，并无内在的原因可以预期瞬时的均衡失业率与均衡通货膨胀率相同。长期菲利普斯关系我们已经验证，瞬时均衡失业率为 )1(mhTU但因已求得均衡通货膨胀率为 ，我们可以通过如下方程将 联系起来。ppU与6.33)1(hT因为此方程仅与均衡的失业率和通货膨胀率有关，所以我们认为它描述了长期的菲利普斯关系。(6.33)的一个特例引起了经济学家的广泛关注：即 h1 的情况。若 h1，则 p 项的系数为零，因而会从方程中消失。换言之， 将变成 的常函数。在标准的菲利普斯图形中Up
41、(失业率被绘成横铀)，这个结果产生了到一个垂直的菲利普斯曲线。在此情况下的 值，U被称为自然失业率，它与均衡的通货膨胀率是一致的。这个结论具有明显的政策含义；在长期中，通货膨胀与失业这对孪生魔鬼并不存在像短期中所存在的那种替代关系。但若 h1 会如何呢?在此情况下，(6.33)中 的系数为负，长期的菲利普斯曲线将向p下倾斜，因而通货膨胀与失业之间存在替代关系。因此长期菲利普斯曲线是垂直的，还是斜率为负，关键取决于参数 h 的值。按预期增加的菲利普斯关系，h 度量预期的通货膨胀率与工资结构和实际通货膨胀率相一致的程度。所有这些读者应当是非常熟悉的。练习1、给出由(6.22)推出(6.23) 的中
42、间步骤。2、证明若本节所讨论的模型化为变量 的差分方程,除了以 替代 p 外，结果与(6.23)将会是相同的。3、在本节讨论的模型中，p 和 U 的时间路径总是收敛的。如果我们抛掉 h1 的假设能产生发散的时间路径吗?如果答案是肯定的，那么，在第一、二、三种情况下，哪种发散的“可能性”是可行的？4、保留方程(6.17)和(6.18) ，但将(6.19) 变为Ut+1-Ut-k（m-p t）(1)导出变量 p 的新的差分方程。(2)新的差分方程能产生不同的 吗？p(3)假定 j=h=1。求特征根分别属于第一、二、三种情况的条件。(4)令 j=h=1。当 k3，4 和 5 时*分别描述 p 的时间路径(包括收敛性或发散性)。
