1、微分方程和差分方程作业题参考答案一、微分方程初值问题 1)0(,cosyxe（1）用四阶 Runge-Kutta 法求解微分方程初值问题的数值解 (步长 h 取 0.1)，求解范围为区间0,3 （2）用 ode45 方法常微分方程初值问题的数值解 (近似解)，然后利用画图来比较两者间的差异解（1）代码clearf=sym(y-exp(x)*cos(x);a=0; b=3; h=0.1;n=(b-a)/h+1; % n=(b-a)/h;x=0; y=1; szj=x,y;for i=1:n-1 % i=1:nl1=subs(f,x,y,x,y);l2=subs(f,x,y,x+h/2,y+l1*
2、h/2);l3=subs(f,x,y,x+h/2,y+l2*h/2);l4=subs(f,x,y,x+h,y+l3*h);y=y+h*(l1+2*l2+2*l3+l4)/6; x=x+h;szj=szj;x,y;endplot(szj(:,1),szj(:,2), dg-);0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5024681012141618（2）代码fun=inline(y-exp(x)*cos(x),x,y);x,y=ode45(fun,0,3,1)0 0.5 1 1.5 2 2.5 3024681012141618两个图放在一起比较如下：0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3
3、.5024681012141618结论：通过对这个微分方程的两种不同方法的求解，从图形中可以看出，两种方法所得到的数值解大致重合，因此可以得出对于这个微分方程，用这两种方法的效果大致一样。二、设初始时容器里盛放着含净盐 10 千克的盐水 100 升，现对其以每分钟 3 升的速率注入清水，容器内装有搅拌器能将溶液迅时搅拌均匀，并同时以每分钟2 升的速率放出盐水，求 1 小时后容器里的盐水中还含有多少净盐？解：分析和建模设 t 时刻（单位为分钟）容器中每升盐水中所含净盐的百分比为 x(t),考虑时间区间 ，并利用质量守恒定律； 内容器中净盐量的变化等于注入,t,t清水所含的净盐量减去放出盐水中的净
4、盐量。用数学公式表示出来就是：0)( )()()(x dsKxtxVttVTt于是，令 ，得:t0)(0,1xttVKdt得到解为： )()1(tctK这就是 t 时刻容器中净盐的百分比。因为 V=100 升，K=2 升/分钟，当 t=0 时，=0.1，因此 c=1000000)(x得到： )(3*51tt一小时(t=60)后容器中的盐水中含有的净盐为：(100+60)*x(60)=105*(100+60)(-2)= 3.90625 千克所以 1 小时后容器里的盐水中还含有 3.90625 千克净盐。三. 早期肿瘤的体积增长满足 Malthus 模型（ ，其中 为常数） ，dVt（1）求肿瘤的
5、增倍时间 。根据统计资料，一般有 (7,465)（单位为天） ，肺部恶性肿瘤的增倍时间大多大于 70 天而小于 465 天（发展太快与太慢一般都不是恶性肿瘤） ，故 是确定肿瘤性质的重要参数之一（2）为方便起见，医生通常用肿瘤直径来表示肿瘤的大小，试推出医生用来预测病人肿瘤直径增大速度的公式 . (3) 正常人身上也有癌细胞，一个癌细胞直径约为30tD10m，重约 0.001g.，当患者被查出患有癌症时，通常直径已有 1cm 以上（即已增大 1000 倍） ，由此容易算出癌细胞转入活动期已有 30 天，故如何在早期发现癌症是攻克癌症的关键之一。手术治疗常不能割去所有癌细胞，故有时需进行放射疗法
6、。射线强度太小无法杀死癌细胞，太强病人身体又吃不消且会使病人免疫功能下降。一次照射不可能杀死全部癌细胞，请设计一个可行的治疗方案（医生认为当体内癌细胞数小于 105个时即可凭借体内免疫系统杀灭。解：（1） dVtV= *c(其中 c 为常数)te当 t=0 时 V=V0V= *V0te当 V=2 V0 时 =ln2/（2）V=1/6*D 3dt33)(Dt32dtt =ln2/ 3*2lnDdt因为当 t=0 时 D=D0302t（3）假设，不考虑每次放射性射线杀死的免疫细胞从而影响人体免疫系统功能的前提下，有一位癌症病人的癌细胞的直径为 1cm，此癌症病人的体内含有的癌细胞的含量为 106个
7、，现在医院要对病人进行治疗，打算用 17/2 天使癌症病人的体内的癌细胞数目从原来的 106个减少到体内免疫细胞可杀死的水平，每两次放射性治疗的时间间隔为 1/2。决定用 9 次级放射性治疗来使病人的癌细胞得到控制，为达到此目的每次治疗要用射线治疗的射线强度为杀死癌细胞的 x 所需的射线量。根据假设条件，编写 matlab 程序clear;clc;for x=1:900000k=1000000-x;for i=1:9k=sqrt(2)*k-x;endif k=100000breakendendxx = 301006得出结论，病人每隔 1/2 天进行一次放射性治疗，每一次进行放射性治疗所用的射线
8、量时杀死 301006 个癌细胞的射线量四已知一种昆虫每两周产卵一次，六周以后死亡（给除了变化过程的基本规律） 。孵化后的幼虫 2 周后成熟，平均产卵 100 个，四周龄的成虫平均产卵 150个。假设每个卵发育成 2 周龄成虫的概率为 0.09， （称为成活率） ，2 周龄成虫发育成 4 周龄成虫的概率为 0.2。（1）假设开始时， 02，24，46 周龄的昆虫数目相同，计算 2 周、4 周、6周后各种周龄的昆虫数目； （2）讨论这种昆虫各种周龄的昆虫数目的演变趋势：各周龄的昆虫比例是否有一个稳定值？昆虫是无限地增长还是趋于灭亡？ （3）假设使用了除虫剂，已知使用了除虫剂后各周龄的成活率减半，
9、问这种除虫剂是否有效？由题目的意思，分别设 2 周龄虫，4 周龄虫，6 周龄虫的数目为一个单位所以 2 周龄虫，4 周龄虫，6 周龄虫的初值分别为 1，1，1设两周为一个观察单位，设 表示第 k 个时间单位 2n 龄幼虫)3,2(nxk的数目建立函数模型：kkkkkxx21312310.95（1）计算计算 2 周、4 周、6 周后各种周龄的昆虫数目的 matlab 程序clear;clc;x0=1;1;1;L=0 100 150;0.09 0 0;0 0.2 0;x1=L*x0;x2=L*x1;x3=L*x2;x1;x2;x3得出一个单位下个虫分布虫周龄 2 周龄虫 4 周龄虫 6 周龄虫两周
10、后 250 0.09 0.2四周后 39 22.5 0.02六周后 2252.7 3.51 4.5（2）各周龄的昆虫比例是否有一个稳定值为简化计算，令 z 在比例中的值为 1用 matlab 编程求出个周龄在 90100 这个时间段的值以 z 的值为一个单位，求 x，y 的和 z 的比、用 matlab 编程拟合此虫的数目比clear;clc;x0=1;1;1;L=0 100 150;0.09 0 0;0 0.2 0;X=x0;x(1)=X(1);y(1)=X(2);z=X(3);for k=2:1001X=L*X;x(k)=X(1);y(k)=X(2);z(k)=X(3);endfor i=
11、100:200 x(i)/z(i),y(i)/z(i)end得出的结果大都分布在m =547.7538 15.6954所以三种虫的比值为 547.75：15.7：1为恒定的值用 matlab 编程拟合此虫的数目演变趋势clear;clc;x0=1;1;1;L=0 100 150;0.09 0 0;0 0.2 0;X=x0;x(1)=X(1);y(1)=X(2);z=X(3);for k=2:11X=L*X;x(k)=X(1);y(k)=X(2);z(k)=X(3);endt=0:10;figureplot(t,x,r-)figureplot(t,y,b-)figureplot(t,z,g:)由
12、此程序的到虫演变发展趋势的折线图产生的结果如以下三幅图二周龄虫的演变发展趋势见下图四周龄虫的演变发展趋势见下图六周龄虫的演变发展趋势见下图由以上三幅图，可以观察得出昆虫无限增长。（3）如果使用了杀虫剂，那么各周龄的昆虫成活率减为原来的一半设两周为一个观察单位，设 表示第 k 个时间单位 2n 龄幼虫)3,21(nxk的数目建立函数模型变为：kkkkkxx213123210.45根据题意编写 matlab 程序得出三幅昆虫演变趋势图clear;clc;x0=1;1;1;L=0 100 150;0.0045 0 0;0 0.1 0;X=x0;x(1)=X(1);y(1)=X(2);z=X(3);f
13、or k=2:11X=L*X;x(k)=X(1);y(k)=X(2);z(k)=X(3);endt=0:10;figureplot(t,x,r-)figureplot(t,y,b-)figureplot(t,z,g:)得到下面三幅图片二周龄虫的演变发展趋势见下图四周龄虫的演变发展趋势见下图六周龄虫的演变发展趋势见下图五购房贷款问题李四夫妇计划贷款 30 万元购买一套房子，他们打算用 20 年的时间还清贷款。目前，银行的贷款利率是 0.6%月。他们采用等额本息还款的方式（即每月的还款额相同）偿还贷款。 1. 在上述条件下，小王夫妇每月的还款额是多少？共计需要付多少利息？2. 在贷款 10 年零
14、7 个月后，他们认为他们有经济能力还完余下的款额，打算提前还贷，那么他们在已支付 10 年零 7 个月的还款额后的某天，应一次付给银行多少钱，才能将余下全部的贷款还清？3. 如果在第 4 年初，银行的贷款利率由 0.6%月调到 0.5%月，他们仍然采用等额还款的方式，在余下的 17 年内将贷款还清，那么在第 3 年后，每月的还款额应是多少？4. 又如果在第 8 年初，银行的贷款利率由 0.5%月调到 0.8%月，他们仍然采用等额还款的方式，在余下的 13 年内将贷款还清，那么在第 7 年后，每月的还款额应是多少？5. 银行调整利率以后，在贷款 10 年零 7 个月时，他们认为他们有经济能力还完
15、余下的款额，打算提前还贷，那么他们在已支付 10 年零 7 个月的还款额后的某天，应一次付给银行多少钱，才能将余下全部的贷款还清？6. 李四夫妇发现银行提供了 6 种不同的还款方式:等额本息还款法:是指在贷款期内每月以相等的金额平均偿还贷款本息的还款方法；等额本金递减法:是指在贷款期内每月等额偿还本金，贷款利息随本金逐月递减的还款方法；等额递增还款法:是指在贷款期的后一时间段内每期还款额相对前一时间段内每期还款额有一个固定增加额，同一时间段内，每期还款额相等的还款方法；等额递减还款法:是指在贷款期的后一时间段内每期还款额相对前一时间段内每期还款额有一个固定减少额，同一时间段内，每期还款额相等的
16、还款方法；等比递增还款法:是指在贷款期的后一时间段内每期还款额相对前一时间段内每期还款额呈一固定比例递增，同一时间段内，每期还款额相等的还款方法；等比递减还款法:是指在贷款期的后一时间段内每期还款额相对前一时间段内每期还款额呈一固定比例递减，同一时间段内，每期还款额相等的还款方法。李四夫妇认为，随着他们工作经历的增长，家庭收入也会随着增长，因此，打算采用等额递增还款法的还款方式来偿还贷款，具体的办法是：每 5 年为一个时间段，后一个时间段比前一个时间段每月多还 400 元。在此情况下，如果贷款利率还是 0.6%月，那么，第 1 个时间段的每月还款额是多少？以后各时间段的每月还款额又是多少？共计
17、付了多少利息？在贷款 10 年零 7 个月后，他们认为他们有经济能力还完余下的款额，打算提前还贷，那么他们在已支付 10 年零 7 个月的还款额后的某天，应一次付给银行多少钱，才能将余下全部的贷款还清？7. 在 6 提出的等额递增还款法方式下，在第 4 年初，银行的贷款利率由 0.6%月调到 0.5%月，又如果在第 8 年初，银行的贷款利率由 0.5%月调到0.8%月，那么以后各时间段的每月还款额分别是多少？在贷款 10 年零 7 个月后，他们认为他们有经济能力还完余下的款额，打算提前还贷，那么他们在已支付 10 年零 7 个月的还款额后的某天，应一次付给银行多少钱，才能将余下全部的贷款还清？
18、8. 综合上述问题，请你们为李四夫妇（实际上是打算贷款购房的人）写一份短文，帮助他们分析各种方法的利弊（1）建立模型，每月还款的数额为 x，设在 t（t=1 到 240）月欠银行的钱为 kt，那么在 t+1 月，欠银行的钱为 kt+1=kt1.006-x，依照题目的意思，x 应该是在100030000 中的一个数值，依照题意，当 t=240 时 kt 的值为 0，根据分析，编出Matlab 程序：clear;clc;for x=1000:30000k=300000-x;for i=1:239k=1.006*k-x;endif k=0breakendendx得出 x = 2348（2）根据上一问
19、得出的结果 x=2348，计算当每月还 2348 元时，过了 10 年 7个月后，还欠银行的钱数即可clear;clc;x=2348;k=300000-x;for i=1:126k=1.006*k-x; k end得出结果：k =192266.63过了 10 年 7 个月后，还欠银行的钱数为 192266.63 元，所以在这时，他要还银行的钱数为 192266.63（3）在 4 月初银行的利率做出了调整，只需把还款的 20 年分成两个时间段，第一个时间段为最初的三年，后一个时间段为后面的 204 个月，在求出每月需要还的钱数 x 即可根据前面的描述，以 matlab 程序来求 x 的值clea
20、r;clc;for x=1000:30000k=300000-x;for i=1:35k=1.006*k-x;endfor i=1:204k=1.005*k-x;endif k=0breakendendxx = 2205所以当利率在第四年初出作出调整时，每月应还的钱数是 2205（4）在 4 年初和底 8 年初银行的利率做出了调整，只需把还款的 20 年分成三个时间段，第一个时间段为最初的三年，第二个时间段为后面的 47 年，其余为第三部分，在求出每月需要还的钱数 x 即可根据前面的描述，以 matlab 程序来求 x 的值clear;clc;for x=1000:30000k=300000-
21、x;for i=1:35k=1.006*k-x;endfor i=1:48k=1.005*k-x;endfor i=1:156k=1.008*k-x;endendx求出 x 的值为：x = 2424（5）在 4 年初和底 8 年初银行的利率做出了调整，只需把还款的 20 年分成三个时间段，第一个时间段为最初的三年，第二个时间段为后面的 47 年，其余为第三部分，根据上一问得出的结果 x=2424，计算当每月还 2348 元时，过了 10 年 7 个月后，还欠银行的钱数 k 即可clear;clc;x=2424;k=300000-x;for i=1:35k=1.006*k-x;endfor i=
22、1:48k=1.005*k-x;endfor i=1:43k=1.008*k-x;endk得出结果:k = 179662.665(6)1.根据提议用每月递增的方法还钱，以五年为一个周期，设 s 为所需支付的利息，s= 总还钱数-30 万，m 是以 400 为公差的项数为 4 的等差数列根据题目编写程序clear;clc;for m=0:30000x=m;s=0;k=300000/1.006;for n=1:4x=x+400;for i=1:60k=1.006*k-x;s=s+x;endendif k=0breakendends=s-300000for i=0:3m=x-i*400ends =3
23、05280x =3122 2722 2322 1922 2.若在 10 年 7 个月还欠款 kclear;clc;k=300000/1.006;x=1922,2322,2722,3122;for n=1:4for i=1:60k=1.006*k-x(n);if n*60+i=127breakendendendkk = 77989.73（7）把 20 年分为五个阶段，13 年，35 年，58 年，810 年，1020 年，根据题目的意思编写程序：下面的 m 对应的是还款的序列，k 对应的是他们在已支付 10 年零 7 个月的还款额后的某天，应一次付给银行 k 元clear;clc;for m=1
24、000:30000x=m;k=300000/1.006;for i=1:36k=1.006*k-x;endfor i=1:24k=1.005*k-x;endx=x+400;for i=1:24k=1.005*k-x;endfor i=1:36k=1.008*k-x;endfor n=1:2x=x+400;for i=1:60k=1.008*k-x;endendif k=0breakendendfor i=0:3m=x-i*400endm =3223 2823 2423 2023clear;clc;k=300000/1.006;x=2023,2423,2823,3223;for n=1:4for i=1:60k=1.006*k-x(n);if n*60+i=127breakendendendkk =4330.10（8）在贷款人能力所及的范围内，尽可能早的还钱，那么贷款人所交的利息相对较少,但是依据贷款人的能力而言,贷款人无法在很短的时间把所有的款项还完,所以采用递减薯类还款的好处就是要支付给银行的利息相对较少,但在一开始给贷款人很大的还款压力,而采用递增还款能很好的契合还款人的经济能力,根据其经济能力还款,做到量力而行,缺点就是所需还的利息较多,等额还款利息居中,贷款人还款压力前期较大,后期较轻松,没有很好的契合贷款人的经济状况。
