1、差分方程模型引例：现有 n 个大小不同的圆盘，按其半径大小依次套在桩 A 上，从上到下半径依次由小到大。如图 1 所示。现要将此 n 个盘移到空桩 B 和 C 上，要求：1）一次只能移动一个盘。2）始终保持大盘在下，小盘在上。移动过程中 A 桩也可利用。现设移动 n 个盘的次数为 ，试建立关于 的差ann分方程。解：先将 A 上的 n-1 个盘按题设要求移到 C 上，这需要移动 次，再将 A 上n1的大盘移到 B 上，这需要移动一次，最后将 C 上的 n-1 个盘按要求移到 B 上，这又需要移动 次，于是得差分方程为：an1112nn上式中， = +1 为本部分要介绍的差分方程。现给出差分方程
2、的定n义：把数列 中的 和前面的 （0in）关联起来的方程叫做差分方程，差anna分方程有叫做递推关系。如： = - ， - =n等这样的方程都叫差分方程。n1n1n31下面以实例介绍著名的差分方程-斐波那契（Fibonacci）数列。例：设第一个月初有雌雄各一的一对小兔。假定两月后长成成兔，同时（即第三月）开始每月初产雌雄各一的一对小兔，新增小兔也按此规律繁殖。设第 n月末共有 对兔子，试建立关于 的差分方程。Fn Fn解：因第 n 月末的兔子包括两部分，一部分为上月留下的，另一部分为当月新生的，由题意可设当月生的小兔数等于前月（即 n-2 月）末的兔数，所以1212Fnn上式中 Fn 即定
3、义为 斐波那契（ Fibonacci）数列。差分方程的解法（本处只介绍常系数线性差分方程的解法）1，常系数线性齐次差分方程的解法。形如+ + + =0 anb1n2nbkan（1）的差分方程，叫做an的 k 阶常系数线性齐次差分方程 ，其中 bi 为系数,bk0,nk.方程+ + =0 （2）xk1kk称为差分方程（1）的特征方程，其根称为特征根。例 1 二阶常系数差分方程 = + ,变形为 - - =0,它的特征方程Fn1nFn1n为-1=0-2x三阶常系数线性差分方程 ,它的特征方程为032143aann+ + -1=02定理一（单根） 差分方程 + + + =0, 0nbn2nbknk的
4、特征方程 + + =0 有 k 个相异的特征根 , , ，则xkb1k x12= 是一个通解，其中 , ,. 为任意常数。且由anccnkn.21 c12k一组初值条件 = , = , . 可确定一个满足初值条件的0ua1uk特解。例 2 求斐波那契数列 1212Fnn的通项。解：差分方程的特征方程为;012x特征根 与 是互异的，所以通解251x251n21cFnn由初值条件 ， ，得121521 c221联立解出 ，51c512故251nnnF定理二（重根） 差分方程 ，0.21 ababknnn的特征方程 的相异特征根 ，重数依0bk 0.1xbkkk xt,1次为 ，则差分方程的通解为
5、mmtt,., 32121nccnatjjtnjjjjnt121121 . 例 3 求解 .3,.4,32212ann 初 值解特征方程 特征根为 因而通解0xxnccann 212n1将 代入，定出 故3, ,an定理三 差分方程 ， 的0.21 abbknnn k特征方程 的特征根出现一对共轭复根0.1xbkkk和相异的 k-2 个根 ，则差分方程的通解为 ii21, xk,.43ccannn .sios21 其中 。 art,2本定理不再举例。2 常系数线性非齐次差分方程的解法定义 形如nfabbknn .21（ ， ）为 常 数 ，k,.10kf,的差分方程为 k 阶常系数线性非齐次差分方程。常系数线性非齐次差分方程 对应的nfknn .21齐次差分方程为 0.21ababkn定理四 非齐次差分方程的通解等于对应齐次差分方程的通解加上非齐次方程的特解即 ，其中 是对应齐次差分方程的通解， 是非齐次nn*n* n差分方程的特解。注：如何求非齐次差分方程的特解 ，参照常微分非齐次方程的解法。an例 4 求非齐次差分方程 的通解。241nn解：对应的齐次方程的特征方程为02x解得二重根 ，所以对应的齐次方程的通解为21x2n1*nnca 由所给非齐次差分方程的右端，可以设其特解为2nAa将 代入原方程解得 A= ，故非齐次差分方程的通解为an2122n11nnnc
