1、第一章测评 B(高考体验卷)(时间:90 分钟 满分:100 分)第 卷( 选择题 共 30 分)一、选择题(本大题共 10 小题 ,每小题 3 分,共 30 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.(2014课标全国 高考) 设曲线 y=ax-ln(x+1)在点(0,0) 处的切线方程为 y=2x,则 a=( )A.0 B.1C.2 D.3解析: y=ax-ln(x+1), y=a-. y|x=0=a-1=2,得 a=3.答案:D2.(2014陕西高考 )定积分(2x+e x)dx 的值为( )来源:学优高考网A.e+2 B.e+1C.e D.e-1解析:因为(x 2+e
2、x)=2x+ex,所以(2x+e x)dx=(x2+ex)=(1+e1)-(0+e0)=e.答案:C3.(2014山东高考 )直线 y=4x 与曲线 y=x3 在第一象限内围成的封闭图形的面积为 ( )A.2 B.4C.2 D.4解析:由解得 x=-2 或 x=0 或 x=2,所以直线 y=4x 与曲线 y=x3 在第一象限内围成的封闭图形面积应为 S=(4x-x3)dx=-0=4.答案:D4.(2014课标全国 高考) 若函数 f(x)=kx-ln x 在区间(1,+)单调递增,则 k 的取值范围是( )A.(-,-2 B.(-,-1C.2,+) D.1,+)解析:由 f(x)=k-,又 f
3、(x)在(1,+)上单调递增,则 f(x)0 在 x(1,+)上恒成立,即 k在 x(1,+)上恒成立.又当 x(1, +)时,0k1,则下列结论中一定错误的是( )A.f B.fC.f D.f解析:构造函数 F(x)=f(x)-kx,则 F(x)=f(x)-k0, 函数 F(x)在 R 上为单调递增函数. 0, FF(0). F(0)=f(0)=-1, f-1,即 f-1=, f,故 C 错误.答案:C8.(2015课标全国 高考) 设函数 f(x)是奇函数 f(x)(xR )的导函数 ,f(-1)=0,当 x0 时,xf(x)-f (x)0成立的 x 的取值范围是 ( )A.(-,-1)(
4、0,1) B.(-1,0)(1,+ )C.(-,-1)(- 1,0) D.(0,1)(1,+ )解析:当 x0 时,令 F(x)=,则 F(x)=0 时,F (x)=为减函数. f(x)为奇函数,且由 f(-1)=0,得 f(1)=0,故 F(1)=0.在区间(0,1)上,F(x) 0;在(1,+)上,F (x)0;当 x1 时,f(x)0;当 x( -1,0)时,f(x )0 的解集为(-,-1)(0,1) .故选 A.答案:A9.(2015课标全国 高考) 设函数 f(x)=ex(2x-1)-ax+a,其中 a-时,g( x)0,函数 g(x)单调递增.所以 g(x)的最小值为 g.而函数
5、 h(x)=a(x-1)表示经过点 P(1,0),斜率为 a 的直线.如图,分别作出函数 g(x)=ex(2x-1)与 h(x)=a(x-1)的大致图像.显然,当 a0 时,满足不等式 g(x)0,所以当 x(0,2)时,f(x)0,函数 y=f(x)单调递增.所以 f(x)的单调递减区间为(0,2),单调递增区间为(2,+).(2)由(1)知,当 k0 时,函数 f(x)在(0,2) 内单调递减,故 f(x)在(0,2) 内不存在极值点;当 k0 时,设函数 g(x)=ex-kx,x 0,+).因为 g(x)=ex-k=ex-eln k,当 00,y=g(x)单调递增,故 f(x)在(0,2
6、) 内不存在两个极值点;当 k1 时,得 x(0,ln k )时,g(x) 0,函数 y=g(x)单调递增.所以函数 y=g(x)的最小值为 g(ln k)=k(1-ln k).函数 f(x)在(0,2) 内存在两个极值点,当且仅当解得 e2;(3)设实数 k 使得 f(x)k 对 x(0,1)恒成立,求 k 的最大值.解:(1)因为 f(x)=ln(1+x)-ln(1-x),所以 f(x)=,f(0)=2.来源 :学优高考网 gkstk又因为 f(0)=0,所以曲线 y=f(x)在点(0,f(0)处的切线方程为 y=2x.(2)令 g(x)=f(x)-2,则 g(x)=f(x)-2(1+x2
7、)=.因为 g(x)0(0g(0)=0,x(0,1),即当 x(0,1)时,f(x) 2.(3)由(2)知,当 k2 时,f(x )k 对 x(0,1)恒成立.当 k2 时,令 h(x)=f(x)-k,则 h(x)=f(x)-k(1+x2)=.所以当 02 时,f(x) k 并非对 x(0,1)恒成立.综上可知,k 的最大值为 2.18.(本小题 10 分)(2015广东高考)设 a1,函数 f(x)=(1+x2)ex-a.(1)求 f(x)的单调区间;(2)证明:f(x)在( -,+)上仅有一个零点;(3)若曲线 y=f(x)在点 P 处的切线与 x 轴平行,且在点 M(m,n)处的切线与直
8、线 OP 平行(O 是坐标原点),证明:m-1.解:(1)由题意可知函数 f(x)的定义域为 R,f(x)=(1+x2)ex+(1+x2)(ex)=(1+x)2ex0,来源:学优高考网故函数 f(x)的单调递增区间为(-,+),无单调递减区间.(2) a1, f(0)=1-a1+a2-a2a-a=a0. 函数 f(x)在区间(0,a)上存在零点.又由(1)知函数 f(x)在(-,+)上单调递增 , 函数 f(x)在(-,+ )上仅有一个零点.(3)由(1)及 f(x)=0,得 x=-1.又 f(-1)=-a,即 P, kOP=a-.又 f(m)=(1+m)2em, (1+m)2em=a-.令
9、g(m)=em-m-1,则 g(m)=em-1, 由 g(m)0,得 m0,由 g(m)0,即 f(x)0,故 f(x)为增函数;当 xx2 时,g( x)0 时,x 2ln 2 时,f(x) 0,f(x)单调递增.所以当 x=ln 2 时,f(x) 取得极小值,且极小值为 f(ln 2)=eln 2-2ln 2=2-ln 4,f(x)无极大值.(2)令 g(x)=ex-x2,则 g(x)=ex-2x.由(1)得 g(x)=f(x)f(ln 2) 0,故 g(x)在 R 上单调递增,又 g(0)=10,因此,当 x0 时,g(x) g(0)0,即 x20 时,x 20 时,x 21,要使不等式
10、 x2kx2 成立.而要使 exkx2 成立,则只要 xln(kx2),只要 x2ln x+ln k 成立.令 h(x)=x-2ln x-ln k,则 h(x)=1-.所以当 x2 时,h(x) 0,h(x)在(2, +)内单调递增.取 x0=16k16,所以 h(x)在( x0,+)内单调递增,又 h(x0)=16k-2ln(16k)-ln k=8(k-ln 2)+3(k-ln k)+5k,易知 kln k,kln 2,5k0,所以 h(x0)0.即存在 x0=,当 x(x 0,+)时,恒有 x20 时 ,exx2,所以 ex=,当 xx0 时,e xx2,因此,对任意给定的正数 c,总存在 x0,当 x(x 0,+)时,恒有 x20 时 ,x2x0 时,有 x2x3ex.因此,对任意给定的正数 c,总存在 x0,当 x(x 0,+)时,恒有 x2cex.
