1、导数在研究函数中的应用1导数在研究函数中的应用【自主归纳，自我查验】一、自主归纳1利用导函数判断函数单调性问题函数 f(x)在某个区间(a，b)内的单调性与其导数的正负有如下关系(1)若_ _，则 f(x)在这个区间上是增加的(2)若_ _，则 f(x)在这个区间上是减少的(3)若_ _，则 f(x)在这个区间内是常数2利用导数判断函数单调性的一般步骤(1)求 f(x)(2)在定义域内解不等式 f(x)0 或 f(x)0 （2） f( x)0，故单调增区间是ex(0，)答案：A2.解析： f(x) x3 x2 mx1， f( x)3 x22 x m.又 f(x)在 R 上是单调增函数， f(
2、x)0 恒成立， 412 m0，即m .13答案： 13， )3.解析：导函数 f ( x)的图象与 x 轴的交点中，左侧图象在 x 轴下方，右侧图象在 x 轴上方的只有一个，故选 A.答案：A4.解析： f ( x)3 x22 ax3，由题意知 f (3)0，即 3(3)22(3) a30，解得 a5.答案：D5A【解析】 ，令 ，当 时2ln1lnxxy21ln0exy(0,e)x函数单调递增，当 时函数单调递减， ，故选 A.(e,)1max3典型例题【例题 1】(1) f(x)的定义域为(0，)， f( x) a.若 a0，则 f( x)1x0，导数在研究函数中的应用9所以 f(x)在
3、(0，)单调递增若 a0，则当 x 时， f( x)0；(0，1a)当 x 时， f( x)0 时， f(x)在 x处取得最大值，最大值为 f ln a ln a a1.1a (1a) 1a (1 1a)因此 f 2a2 等价于 ln a a11 时， g(a)0.因此， a 的取值范围是(0,1)【变式训练 1】 （1）当 时， ， ，32fxx231fx切线斜率为 ，又 ，切点坐标为 ，所求切线方程4kf11,为 ，即 341yx0xy（2） ，由 ，得 或 .223faax0fxa3x由 ，得 或 ，由 ，得0,.3afxa函数 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 和 fx,3a,a,3
4、【例题 2】 （1）当 时， ， ，alnfx10xfx令 ，解得 ，所以函数 在 上单调递增；0fx1f(0,)令 ，解得 ，所以函数 在 上单调递减；xx1所以当 时取极大值，极大值为 ，无极小值.1x2f（2）函数 的定义域为 ， . f 0,xa当 时， 在 上恒成立，所以函数 在 上单0a()xafx0,调递增；导数在研究函数中的应用10当 时，令 ，解得 ，所以函数 在 上单调递增；0a0fx1xafx10,a令 ，解得 ，所以函数 在 上单调递减. fx1xafx,综上所述，当 时，函数 的单调增区间为 ；当 时，函数0f 0,0a的单调增区间为 ，单调减区间为 .fx1,a1,
5、a【变式训练 2】解 对 f(x)求导得f( x)e x . 当 a 时，若 f( x)0， 则 4x28 x30，1 ax2 2ax 1 ax2 2 43解得 x1 ， x2 .结合，可知32 12x (，12)12( ， )12 32 32 ( ，32)f( x) 0 0 f(x)极大值极小值所以 x1 是极小值点， x2 是极大值点.32 12【例题 3】1） 423)4()( 2axxaf .（2）由 0得 21，故 2)(4)( 232xxxf ，则 4,132 f 或 ，由 0)(ff， 29)(f， 1641205.393967f故 29maxf， 75minxf.导数在研究函数
6、中的应用11【变式训练 3】1）当 时，函数 ， 在 上单调递增，0a()e20xfa()fxR当 时， ，令 ，得 ，所以当0a()e2xfexln时， ，函数 单调递减；当 时，(,lnx()f()f (l2),xa，函数 单调递增.)fx（2）由（1）可知，当 时，函数 ，不符合题意.0a()e20xfa当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增.0a()fx,ln(2)(ln),当 ，即 时， 最小值为 .ln1e()fx1ef解 ，得 ，符合题意.2e2a当 ，即 时， 最小值为 ，l()e()fx(ln2)ln(2)faa解 ，得 ，不符合题意.n0综上， .e2a应用体验：1.D【
7、解析】函数的定义域为 ，令 ，解得 ，又0,10xy0,1x，所以 ，故选 D.0x,1x考点：求函数的单调区间.2.A【解析】导数为 ，令 ，得 ，所以e1exxxf0f1x减区间为 .1,考点：利用导数求函数的单调区间3.C【解析】 ，令 ，解得 ，e3e2xxfe20xf2x所以函数 的单调增区间为 故选 C,4.【解析】 ，由 得 ，又函数定义域为221xfx 0fx，当 时， ， 递减，当 时， ，0,0f20fx导数在研究函数中的应用12递增，因此 是函数 的极小值点故选 Dfx2xfx考点：函数的极值点5.D【解析】 ，令322(),61fxafxx0,fx可得 ，容易判断极大值
8、为 .0,10考点：函数的导数与极值.复习与巩固A 组1.C【解析】由 图象可知函数 在 上单调递增，在 上单调递减，fx fx,c,ce在 上单调递增，又 ，且 ，,e,abcab故 fcfbf考点：利用导数求函数单调性并比较大小2.B【解析】 ，由题意可得 ， .故选2afx120af2aB.考点：极值点问题.3.D【解析】 ，令 得 .e1xf0,fx又 且 0 1,efff1e2，所以 故选 D.2e1max,ff考点：利用导数求函数在闭区间上的最值.4. 1,3【解析】由题意得 在 上恒成立，则 ，即()0fxR230fxm恒成立.令 ，则 ，因为2mx23gxaxmggx导数在研究
9、函数中的应用13为 上的二次函数，所以23xR2max13g，则 的取值范围是 .1m1,35.0【解析】 ，226ee6exxxaaafx由题意得 0f考点：导数与极值6.1【解析】因为 ， ，所以 在()e1xf()0,()0fxfx()fx单调递减，在 单调递增，从而函数 在 上的最小值,00, e1,是 .()ef考点：函数的最值与导数.7.【解析】 的定义域为 ，21lnfxx0,，令 ，则 或 （舍去）.fxf1x当 时， ， 递减，当 时， ， 递增，010fxf0fxfx 的递减区间是 ，递增区间是 fx,11,考点：利用导数求函数的单调区间8.（1） （2）4ae【解析】 （
10、1）函数 ，则 ，由题意可得,1lnxfa2ln1xfa在 上恒成立， ，0fx,2ll4xx ， 时，函数 取最小1,ln0,x01ln21lnt值 ， ，4a导数在研究函数中的应用14（2）当 时， ， ，a2lnxf2ln1lxf令 ，得 ，解得 或 （舍去） ，即0fx2l10ll.e当 时， ，当 时， ，1xfxe0fx 的极小值为 .f e4B 组1.D【解析】因为函数 在区间 上不单调，所以213lnfxx1,a在区间 上有零点，214fx,a由 ，得 ，则 得 ，故选 D0f2x10,2312a考点：函数的单调性与导数的关系2.C【解析】 ，当 时， ，所以 在 上单23yx
11、a0y32yxa0,1调递增，在 内无极值，所以 符合题意；当 时，令 ，即0,1ay，解得 ，当 时，23xa126,3xx6,3x，当 时， ，所以 的单调递增区间为0y,a0y2yax，单调递减区间为 ，当 时原函6,3 6,363a数取得极大值，当 时，原函数取得极小值，要满足原函数在 内无63ax 0,1极值，需满足 ，解得 .综合得， 的取值范围为12a导数在研究函数中的应用15，故选 C.3,0,2考点：导函数，分类讨论思想.3.C【解析】 ，当 时， 或 ，当231fxx0fx10x时， ，所以 在区间 上函数递增，在区间 上函0ff,1,数递减，所以当 时，函数取得最大值 ，
12、则 ，x3af32fx所以 ， ，所以最小值是 21f5f 21考点：利用导数求函数在闭区间上的最值.4.解析：由题意知 f( x) x2 a 0 在 上恒成立，即 2a x 在1x 13， 2 1x上恒成立， max ，2 a ，即 a .13， 2 ( x 1x) 83 83 43答案： 43， )5.解析：本题考查利用导数研究函数的极值及不等式的解法由 f( x)3 x24 ax a20 得 x1 ， x2 a.又 x10， g(x)单调递增，当 xln 2 时， g( x)0， f( x)1 .2x ax2由函数 f(x)在定义域上是增函数，得 f( x)0，即 a2 x x2( x1
13、)21( x0)因为( x1) 211(当 x1 时，取等号)，所以 a 的取值范围是1，)导数在研究函数中的应用16(2)g( x)e x ，由(1)得 a2 时， f(x) x2ln x 1，(2x 1 2ln x x) 2x且 f(x)在定义域上是增函数，又 f(1)0，所以，当 x(0,1)时， f(x)0.所以，当 x(0,1)时， g( x)0，当 x(1，)时， g( x)0， f(x)在1，)上有且只有一个零点若 k ，则 f(x)在1，ln 2k上单调递减，在ln 2k，)上(e2， )单调递增f(1) k2，则 g( t)e t2 t，g( t)e t2，导数在研究函数中的应用17 t2， g( t)0， g( t)在(2，)上单调递增 g( t)g(2)e 240， g(t)在(2，)上单调递增 g(t)g(2)e 240. f(k1)0. f(x)在1，)上有且只有一个零点综上，当 k0，)时， f(x)在 R 上有且只有一个零点
