1、导数在研究函数中的应用11.3 导数在研究函数中的应用1.3.1 单调性一、回顾 ：1. 常见函数的导数公式：0C； 1)(nx； xcos)(si； xsin)( 奎 屯王 新 敞新 疆x1)(ln； eaalglo； e ； al 2.法则 1 ()()fxfx法则 2 ()gf, ()()cfxf 奎 屯王 新 敞新 疆法则 3 2()()0fxfxgx二、新知识 ：以前，我们用定义来判断函数的单调性. 对于任意的两个数 x1， x2 I，且当 x1 x2时，都有 f(x1) f(x2)，那么函数 f(x)就是区间 I 上的增函数. 对于任意的两个数 x1， x2 I，且当 x1 x2时
2、，都有 f(x1) f(x2)，那么函数 f(x)就是区间 I 上的减函数.在函数 y=f(x)比较复杂的情况下，比较 f(x1)与 f(x2)的大小并不很容易. 如果利用导数来判断函数的单调性就比较简单 奎 屯王 新 敞新 疆1. 函数的导数与函数的单调性的关系：我们已经知道，曲线 y=f(x)的切线的斜率就是函数 y=f(x)的导数.从函数342xy的图像可以看到：在区间（2，）内，切线的斜率为正，函数y=f(x)的值随着 x 的增大而增大，即 /y0 时，函数y=f(x) 在区间（2，）内为增函数；在区间（，2）内，切线的斜率为负，函数 y=f(x)的值随着 x 的增大而减小，即 /y0
3、 时，函数 y=f(x) 在区间（，2）内为减函数.定义：一般地，设函数 y=f(x) 在某个区间内有导数，如果在这个区间内 /y0，那么函数 y=f(x) 在为这个区间内的增函数；如果在这个区间内 /0，那么函数 y=f(x) 在为这个区间内的增函数；如果在这个区间内 /y 1f（）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点 奎 屯王 新 敞新 疆 而使函数取导数在研究函数中的应用6得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点 f(x2)f(x4)f(x5)f(x3) f(x1)f(b)f(a)x5x4x3x2x1 ba xOy4. 判别 f(x0)是极大、极小值
4、的方法:若 满足 0f，且在 0x的两侧 )(xf的导数异号，则 0x是 )(f的极值点，)(0f是极值，并且如果 )(f在 两侧满足“左正右负” ，则 是 的极大值点，x是极大值；如果 x在 0两侧满足“左负右正” ，则 0x是 )(f的极小值点，)(0f是极小值5. 求可导函数 f(x)的极值的步骤:(1)确定函数的定义区间，求导数 /()fx(2)求方程 /()f=0 的根(3)用函数的导数为 0 的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查 /()fx在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么 f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么 f(x)在这个根处取得极小
5、值；如果左右不改变符号，那么 f(x)在这个根处无极值三、 例题分析例 1.求 y= 31x34 x+ 的极值解： y=( x34 x+ )= x24=( x+2)(x2) 令 y=0，解得 x1=2， x2=2当 x 变化时， y， y 的变化情况如下表,-2 (-2,2) 2 ,导数在研究函数中的应用7y+ 0 0 +极大值 (2)f极小值 (2)f当 x=2 时， y 有极大值且 max173y当 x=2 时， y 有极小值且f(x)=13x3-4x+42-2 xOymin5y例 2.求 y=(x21) 3+1 的极值 奎 屯王 新 敞新 疆解： y=6 x(x21) 2=6x(x+1)
6、2(x1) 2令 y=0 解得 x1=1， x2=0， x3=1 奎 屯王 新 敞新 疆当 x 变化时， y， y 的变化情况如下表 奎 屯王 新 敞新 疆,-1 (-1,0) 0 (0,1) 1 ,y 0 0 + 0 + 无极值 极小值 0 无极值 当 x=0 时， y 有极小值且1-1fx = x2-1 3+1xOymin0y求极值的具体步骤：第一，求导数 /()fx.第二，令 /()fx=0 求方程的根，第三，列表，检查 /()fx在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么 f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么 f(x)在这个根处取得极小值，如果左右都是正，或者左右都是负，那
7、么 f(x)在这根处无极值.如果函数在某些点处连续但不可导，也需要考虑这些点是否是极值点 奎 屯王 新 敞新 疆导数在研究函数中的应用8四、练习：1求下列函数的极值.(1)y=x27 x+6 (2)y=x327 x(1)解： y=( x27 x+6)=2 x7令 y=0，解得 x= .当 x 变化时， y， y 的变化情况如下表. ,27,2 0 +y 极小值 54当 x= 72时， y 有极小值，且 y 极小值 = 2(2)解： y=( x327 x)=3 x227=3( x+3)(x3)令 y=0，解得 x1=3， x2=3.当 x 变化时， y， y 的变化情况如下表,-3 (-3,3)
8、 3 ,+ 0 0 +y 极大值 54 极小值-54 当 x=3 时， y 有极大值，且 y 极大值 =54当 x=3 时， y 有极小值，且 y 极小值 =54五、规律总结 ：函数的极大、极小值的定义以及判别方法.求可导函数 f(x)的极值的三个步骤.还有要弄清函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的，在整个定义区间可能有多个极值，且要在这点处连续.可导函数极值点的导数为 0，但导数为零的点不一定是极值点，要看这点两侧的导数是否异号.函数的不可导点可能是极值点 导数在研究函数中的应用91.3.3 最大值与最小值一、回顾1.极大值： 一般地，设函数 f(x)在点 x0附近有定义，如果对 x
9、0附近的所有的点，都有 f(x)f(x 0)，就说 f(x0)是函数 f(x)的一个极大值，记作 y 极大值 =f(x0)，x 0是极大值点 奎 屯王 新 敞新 疆2.极小值：一般地，设函数 f(x)在 x0附近有定义，如果对 x0附近的所有的点，都有f(x)f(x 0).就说 f(x0)是函数 f(x)的一个极小值，记作 y 极小值 =f(x0)，x 0是极小值点 奎 屯王 新 敞新 疆3.极大值与极小值统称为极值 奎 屯王 新 敞新 疆 注意以下几点：（）极值是一个局部概念 奎 屯王 新 敞新 疆由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小 奎 屯王 新 敞新 疆并不意
10、味着它在函数的整个的定义域内最大或最小 奎 屯王 新 敞新 疆（）函数的极值不是唯一的 奎 屯王 新 敞新 疆即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个（）极大值与极小值之间无确定的大小关系 奎 屯王 新 敞新 疆即一个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示， 1x是极大值点， 4x是极小值点，而 )(4xf 1f 奎 屯王 新 敞新 疆（）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点 奎 屯王 新 敞新 疆而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点 奎 屯王 新 敞新 疆二、新知识1.函数的最大值和最小值观察图中一个定义在闭区间 ba,上的
11、函数)(xf的图象图中 )(1xf与 3f是极小值，2是极大值函数 在 ,上的最大值是 )(bf，最小值是 3()fx一般地，在闭区间 ba,上连续的函数 )(xf在 ba,上必有最大值与最小值说明：在开区间 (,)内连续的函数 )(f不一定有最大值与最小值如函数 xf1)(在),0(内连续，但没有最大值与最小值；函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的函数 )(xf在闭区间 ba,上连续，是 )(xf在闭区间 ba,上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件(4)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，x3x2x1 b
12、a xOy导数在研究函数中的应用10也可能没有一个 奎 屯王 新 敞新 疆利用导数求函数的最值步骤:由上面函数 )(xf的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了设函数 )(f在 ba,上连续，在 (,)ab内可导，则求 )(xf在 ba,上的最大值与最小值的步骤如下：求 )(xf在 ,内的极值；将 的各极值与 )(af、 bf比较得出函数 )(xf在 ba,上的最值 奎 屯王 新 敞新 疆三、例题分析例 1.求 函 数 524xy在区间 2,上 的最大值与最小值 奎 屯王 新 敞新 疆例 2.已知 x,y 为正实数，且满足 2240xy，求
13、 xy的取值范围导数在研究函数中的应用11例 3.设 213a,函数 32()(1)fxaxb的最大值为 1,最小值为 62,求常数 a,b例 4.已知23()logxabf,x(0,+).是否存在实数 ab、 ,使 )(xf同时满足下列两个条件：（1） )(f)在（0，1）上是减函数，在1，+)上是增函数；（2）)(xf的最小值是 1，若存在，求出 ab、 ，若不存在，说明理由.导数在研究函数中的应用12四、练习：1下列说法正确的是( )A.函数的极大值就是函数的最大值 B.函数的极小值就是函数的最小值C.函数的最值一定是极值 D.在闭区间上的连续函数一定存在最值2.函数 y=f(x)在区间
14、 a,b上的最大值是 M，最小值是 m,若 M=m,则 f( x) ( )A.等于 0 B.大于 0 C.小于 0 D.以上都有可能3.函数 y= 23411x，在1，1上的最小值为( )A.0 B.2 C.1 D. 234.函数 y= x的最大值为( )A. 3B.1 C. 21D. 35.设 y=|x|3,那么 y 在区间3，1上的最小值是( )A.27 B.3 C.1 D.16.设 f(x)=ax36 ax2+b 在区间1，2上的最大值为 3，最小值为29，且 ab,则( )A.a=2,b=29 B.a=2,b=3 C.a=3,b=2 D.a=2, b=3五、规律总结函数在闭区间上的最值
15、点必在下列各种点之中：导数等于零的点，导数不存在的点，区间端点；函数 )(xf在闭区间 ba,上连续，是 )(xf在闭区间 ba,上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件；闭 区 间 ,上 的 连 续 函 数 一 定 有 最 值 ； 开 区 间 ),(内 的 可 导 函 数 不 一 定 有 最值 ， 若 有 唯 一 的 极 值 ， 则 此 极 值 必 是 函 数 的 最 值 . 导数在研究函数中的应用131.4 导数在实际生活中的应用一、知识点 1.极大值： 一般地，设函数 f(x)在点 x0附近有定义，如果对 x0附近的所有的点，都有f(x)f(x 0)，就说 f(x0)是函数 f(x)的一
16、个极大值，记作 y 极大值 =f(x0)，x 0是极大值点2.极小值：一般地，设函数 f(x)在 x0附近有定义，如果对 x0附近的所有的点，都有 f(x)f(x 0).就说 f(x0)是函数 f(x)的一个极小值，记作 y 极小值 =f(x0)，x 0是极小值点3.极大值与极小值统称为极值 4. 判别 f(x0)是极大、极小值的方法:若 满足 0f，且在 0x的两侧 )(xf的导数异号，则 0是 )(f的极值点，)(0f是极值，并且如果 )(f在 两侧满足“左正右负” ，则 x是 的极大值点，x是极大值；如果 x在 0两侧满足“左负右正” ，则 0是 )(f的极小值点，)(0f是极小值5.
17、求可导函数 f(x)的极值的步骤: (1)确定函数的定义区间，求导数 f( x) (2)求方程 f( x)=0 的根(3)用函数的导数为 0 的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查 f( x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么 f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么 f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，那么 f(x)在这个根处无极值6.函数的最大值和最小值:在闭区间 ba,上连续的函数 )(f在 ba,上必有最大值与最小值在开区间 (,)ab内连续的函数 )(xf不一定有最大值与最小值 函数的最值是比较整个定义域内的函数值得
18、出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的函数 )(xf在闭区间 ,上连续，是 )(f在闭区间 ba,上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件( 4)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个7.利用导数求函数的最值步骤:求 )(xf在 ,ab内的极值；将 )(xf的各极值与 )(af、)(bf比较得出函数 )(xf在 ba,上的最值导数在研究函数中的应用14二、例题分析例 1.在边长为 60 cm 的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱底的容积最大？最大容积是多少？解法一
19、：设箱底边长为xcm，则箱高 602hcm，得箱子容积 )(322xxV)60(2()60)(令 23()xVx0，解得 x=0（舍去） ，x=40， 并求得 V(40)=16 000由题意可知，当 x 过小（接近 0）或过大（接近 60）时，箱子容积很小，因此，16 000 是最大值 奎 屯王 新 敞新 疆答：当 x=40cm 时，箱子容积最大，最大容积是 16 000cm3解法二：设箱高为 xcm，则箱底长为(60-2 x)cm，则得箱子容积 xV2)60()30( （后面同解法一，略）由题意可知，当 x 过小或过大时箱子容积很小，所以最大值出现在极值点处事实上，可导函数 260)(32x
20、hV、 xV2)60()在各自的定义域中x60-2x60-2x 60-2xx60-2x6060_x_x_60_60xx导数在研究函数中的应用15都只有一个极值点，从图象角度理解即只有一个波峰，是单峰的，因而这个极值点就是最值点，不必考虑端点的函数值 奎 屯王 新 敞新 疆例 2.圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底与半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？解：设圆柱的高为 h，底半径为 R，则表面积S=2Rh+2R 2由 V=R 2h，得 V，则S(R)= 2R 2R+ 2R 2= +2R 2令 ()s+4R=0解得，R= 32V，从而 h= 2= 23()V= 34=2 3V即 h=2R因
21、为 S(R)只有一个极值，所以它是最小值 奎 屯王 新 敞新 疆答：当罐的高与底直径相等时，所用材料最省 奎 屯王 新 敞新 疆变式：当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值 S 时，它的高与底面半径应怎样选取，才能使所用材料最省？提示： S=2 Rh+ 2h= RS2V(R)=2R = 321)(1RS )=0 26S h222例 3.在经济学中，生产 x 单位产品的成本称为成本函数同，记为 C(x)，出售 x 单位产品的收益称为收益函数，记为 R(x)，R(x)C(x)称为利润函数，记为 P(x)。（1） 、如果 C(x) 10503.126x，那么生产多少单位产品时，边际)(xC最低？(边际成本
22、：生产规模增加一个单位时成本的增加量)（2） 、如果 C(x)=50x10000，产品的单价 P1000.01x，那么怎样定价，可使利润最大？变式：已知某商品生产成本 C 与产量 q 的函数关系式为 C=100+4q，价格 p 与产量 q 的函数导数在研究函数中的应用16关系式为 qp8125求产量 q 为何值时，利润 L 最大？分析：利润 L 等于收入 R 减去成本 C，而收入 R 等于产量乘价格由此可得出利润 L 与产量 q 的函数关系式，再用导数求最大利润解：收入 21258pqq，利润 221(04)08LRCq(10)124q令 0，即 10，求得唯一的极值点 4q 奎 屯王 新 敞
23、新 疆答：产量为 84 时，利润 L 最大 奎 屯王 新 敞新 疆三、练习：1.函数 y=2x33 x212 x+5 在0，3上的最小值是_.2.函数 f(x)=sin2x x 在 , 2上的最大值为_；最小值为_.3.将正数 a 分成两部分，使其立方和为最小，这两部分应分成_和_.4.使内接椭圆 2by=1 的矩形面积最大，矩形的长为_，宽为_.5.在半径为 R 的圆内，作内接等腰三角形，当底边上高为_时，它的面积最大 奎 屯王 新 敞新 疆答案：1. 15 2. 3. a 2 4. a 2b 5. 3R四、规律总结解有关函数最大值、最小值的实际问题，需要分析问题中各个变量之间的关系，找出适当的函数关系式，并确定函数的定义区间；所得结果要符合问题的实际意义根据问题的实际意义来判断函数最值时，如果函数在此区间上只有一个极值点，那么这个极值就是所求最值，不必再与端点值比较相当多有关最值的实际问题用导数方法解决较简单 五、课后作业1.有一边长分别为 8 与 5 的长方形，在各角剪去相同的小正方形，把四边折起作成一个无盖小盒，要使纸盒的容积最大，问剪去的小正方形的边长应为多少？解：（1）正方形边长为 x,则 V=（82 x)(52 x)x=2(2x313 x2+20x)(0 4时， l0. h= 43S时， l 取最小值，此时 b=
