1、导数在研究函数中的应用编稿；周尚达 审稿：张扬 责编：严春梅目标认知学习目标：1会从几何直观了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（多项式函数一般不超过三次）. 2了解函数在某点 取得极值的必要条件(导数在极值点两端异号) 和充分条件（） ；会用导数求函数的极大值、极小值（多项式函数一般不超过三次）.3会求闭区间上函数的最大值、最小值（多项式函数一般不超过三次）.重点：利用导数判断函数的单调性；会求一些函数的极值与最值。难点：函数极值与最值的区别与联系.利用导数在解决函数问题时有关字母讨论的问题.学习策略：理解导函数的符号与函数单调性之间的必然关系。数形结合
2、，体会函数极值与最值的含义。紧紧抓住导函数为 0 的点，讨论函数的单调区间、极值和最值。知识要点梳理知识点一：函数的单调性(一) 导数的符号与函数的单调性：一般地，设函数 在某个区间内有导数，则在这个区间上，若 ，则 在这个区间上为增函数；若 ，则 在这个区间上为减函数；若恒有 ，则 在这一区间上为常函数.反之，若 在某区间上单调递增，则在该区间上有 恒成立（但不恒等于0） ；若 在某区间上单调递减，则在该区间上有 恒成立（但不恒等于 0） 注意：1因为导数的几何意义是曲线切线的斜率，故当在某区间上 ，即切线斜率为正时，函数在这个区间上为增函数；当在某区间上 ，即切线斜率为负时，函数在这个区间
3、上为减函数；即导函数的正负决定了原函数的增减。2若在某区间上有有限个点使 ，在其余点恒有 ，则 仍为增函数（减函数的情形完全类似） 。即在某区间上， 在这个区间上为增函数；在这个区间上为减函数，但反之不成立。 在某区间上为增函数 在该区间；在某区间上为减函数 在该区间 。在区间(a,b)内， （或）是 在区间(a，b)内单调递增（或减）的充分不必要条件！例如： 而 f(x)在 R 上递增.3只有在某区间内恒有 ，这个函数 在这个区间上才为常数函数.4注意导函数图象与原函数图象间关系.（二）利用导数求函数单调性的基本步骤：1. 确定函数 的定义域；2. 求导数 ；3. 在定义域内解不等式 ，解出
4、相应的 x 的范围；当 时，在相应区间上为增函数；当 时 在相应区间上为减函数.或者令 ，求出它在定义域内的一切实数根。把这些实数根和函数的间断点（即 的无定义点）的横坐标按从小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数 的定义区间分成若干个小区间，判断在各个小区间内 的符号。4. 写出 的单调区间.注意：1求函数单调区间时，要注意单调区间一定是函数定义域的子集。2求单调区间常常通过列表的方法进行求解，使解题思路步骤更加清晰、明确。知识点二：函数的极值（一）函数的极值的定义一般地，设函数 在点 及其附近有定义，（1）若对于 附近的所有点，都有 ，则 是函数 的一个极大值，记作 ；（2）若对 附近的
5、所有点，都有 ，则 是函数 的一个极小值，记作 .极大值与极小值统称极值.在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值.注意：由函数的极值定义可知：（1）在函数的极值定义中，一定要明确函数 y=f(x)在 x=x0 及其附近有定义，否则无从比较.（2）函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的，是一个局部概念；在函数的整个定义域内可能有多个极值，也可能无极值.由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小.（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系.即一个函数的极大值未必大于极小值.极小值不一定是整个定义
6、区间上的最小值.（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点.而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点.（二）求函数极值的的基本步骤：确定函数的定义域；求导数 ；求方程 的根；检查 在方程根左右的值的符号，如果左正右负，则 f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，则 f(x)在这个根处取得极小值 .(最好通过列表法)注意：可导函数的极值点一定是导函数为 0 的点，但导数为 0 的点不一定是极值点.即是可导函数在点 取得极值的必要非充分条件.例如函数 y=x3，在 x=0 处， ，但x=0 不是函数的极值点.可导函数 在点 取得极值的充要条件是
7、且在 两侧， 的符号相异。知识点三：函数的最值（一） 函数的最大值与最小值定理若函数 在闭区间 上连续，则 在 上必有最大值和最小值；在开区间 内连续的函数 不一定有最大值与最小值.如 .注意：函数的最值点必在函数的极值点或者区间的端点处取得。函数的极值可以有多个，但最值只有一个。（二）求函数最值的的基本步骤：若函数 在闭区间 有定义，在开区间 内有导数，则求函数在 上的最大值和最小值的步骤如下：（1）求函数 在 内的导数 ；（2）求方程 在 内的根；（3）求在 内使 的所有点的函数值和 在闭区间端点处的函数值， ；（4）比较上面所求的值，其中最大者为函数 在闭区间 上的最大值，最小者为函数在
8、闭区间 上的最小值.注意：求函数的最值时，不需要对导数为 0 的点讨论其是极大还是极小值，只需将导数为0 的点和端点的函数值进行比较即可。若 在开区间 内可导，且有唯一的极大（小）值，则这一极大（小）值即为最大（小）值.（三）最值理论的应用解决有关函数最值的实际问题，导数的理论是有力的工具，基本解题思路为：（1）认知、立式：分析、认知实际问题中各个变量之间的联系，引入变量，建立适当的函数关系；（2）探求最值：立足函数的定义域，探求函数的最值；（3）检验、作答：利用实际意义检查（2）的结果，并回答所提出的问题，特殊地，如果所得函数在区间内只有一个点 满足 ，并且 在点 处有极大（小）值，而所给实
9、际问题又必有最大（小）值，那么上述极大（小）值便是最大（小）值.规律方法指导1利用导数讨论函数的单调区间应注意的问题利用导数讨论函数的单调区间，首先要确定函数的定义域 D，并且解决问题的过程中始终立足于定义域 D.若由不等式 确定的 x 的取值集合为 A，由 确定的 x 的取值范围为 B，则应有 .如 .在区间(a,b)内， （或 ）是 在区间(a，b)内单调递增（或减）的充分不必要条件！即在某区间上， 在这个区间上为增函数；在这个区间上为减函数，但反之不成立。在某区间上为增函数 在该区间 ；在某区间上为减函数 在该区间 。2最值与极值的区别与联系函数的最大值和最小值是比较整个定义域上的函数值
10、得出的（具有绝对性） ，是整个定义域上的整体性概念。最大值是函数在整个定义域上所有函数值中的最大值；最小值是函数在整个定义域上所有函数值中的最小值.函数的极大值与极小值是比较极值点附近两侧的函数值而得出的（具有相对性） ，是局部的概念；极值可以有多个，最大(小) 值若存在只有一个；极值只能在区间内取得，不能在区间端点取得；最大（小）值可能是某个极大（小）值，也可能是区间端点处的函数值；有极值的函数不一定有最值，有最值的函数未必有极值，极值可能成为最值.经典例题透析类型一：利用导数解决函数的单调性问题1设函数 的图象与直线 相切于点（1，11）.（1）求 a，b 的值；（2）讨论函数的单调性.思
11、路点拨：先求函数 的表达式，再利用导数确定函数的单调区间.解析：（1） 的图象与直线 相切于点（1，11）. ，即解之得 a=1，b=3.（2）由（1），得 .令 ，解得 x3 或 x1.令 ，解得1x3.当 x（，1）和 x（3，+）时， 是增函数.当 x（1，3）时， 是减函数.总结升华：利用导数求函数单调区间的基本步骤： 确定函数 的定义域；求导数 ；在定义域内解不等式 ，解出相应的 x 的范围；当 时， 在相应区间上为增函数；当 时 在相应区间上为减函数.写出 的单调区间.举一反三：【变式 1】求函数 的单调递增区间.【答案】令 ，解得： 或 ，故函数 的单调递增区间是 ， .【变式
12、2】当 时，求证：函数 是单调递减函数.【答案】， ， ，故函数 在 上是单调递减函数.【变式 3】在下列所给区间中，使函数 是增函数的区间为（ ）.A B C D【答案】B ；解析： ，若 在某区间是增函数，只需在此区间 大于等于 0（不恒等于 0）即可.只有当 时 恒成立. 只有 B 符合题意，2已知 aR，求函数 的单调区间.思路点拨：已知函数解析式中含字母，需分类讨论.解析： .（1）当 a=0 时，若 x0，则 ；若 x0，则 .所以，当 a=0 时，函数 在区间（，0）内为减函数，在区间（0，+）内为增函数.（2）当 a0 时，由 2x+ax20，解得 或 x0；由 2x+ax20
13、，解得 .所以，当 a0 时，函数 在区间 内为增函数，在区间 内为减函数，在区间（0，+）内为增函数.（3）当 a0 时，由 2x+ax20，解得 ；由 2x+ax20，解得 x0 或 .所以，当 a0 时，函数 在区间（，0）内为减函数，在区间 内为增函数，在区间 内为减函数.举一反三：【变式 1】设 恰有三个单调区间，试确定 a 的取值范围，并求其单调区间.【答案】（1）当 时，则 恒成立，此时 f(x)在 R 上为单调函数，只有一个单调区间为 ，不合题意；（2）当 时，当 时，函数有三个单调区间，增区间为： ；减区间为： ， .【变式 2】已知 f(x)=x2+1, g(x)=x4+2
14、x2+2 且 F(x)=g(x)-lf(x), 试问：是否存在实数l，使 F(x)在(-,-1)上是减函数，且在(-1,0)上是增函数.【答案】假设存在实数 l 满足题设.F(x)=g(x)-lf(x)=(x 4+2x2+2)-l(x2+1)=x4-(l-2)x2+(2-l),F(x)=4x 3-2(l-2)x,令 4x3-2(l-2)x=0,（1）若 l2，则 x=0.当 x(-,0)时，F(x)0；当 x(0,+)时，F(x)0.F(x)在(-,0)上单调递减，在(0,+)上单调递增，显然不符合题设.（2）若 l2，则 x=0 或 ，当 时，F(x)0；当 时，F(x)0；当 时，F(x)
15、0；当 时，F(x)0.F(x)的单调增区间是 ， ，单调减区间是 ， . 要使 F(x)在(-,-1)上是减函数，且在(-1,0)上是增函数，则 ，即 l=4.故存在实数 l=4，使 F(x)在(-,-1)上是减函数，且在(-1,0)上是增函数.类型二：利用导数解决函数的极值问题3求函数 的极值.解析：令 ，解得 ，或当 x 变化时， 与 的变化情况如下表：3 (3，+)+ 0 0 + 极大值 极小值 在 处取得极大值 ，在 处取得极小值 .总结升华：利用导数求函数极值的的基本步骤：确定函数的定义域；求导数 ；求方程 的根；列表，检查 在方程根左右的值的符号，如果左正右负，则 f(x)在这个
16、根处取得极大值；如果左负右正，则 f(x)在这个根处取得极小值.举一反三：【变式 1】函数 的定义域为区间（a，b），导函数 在（a，b）内的图如图所示，则函数 在（a，b）内的极小值有（ ）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个【答案】由极小值的定义，只有点 B 是函数 的极小值点，故选 A。【变式 2】求函数 的极值.【答案】令 ，解得 或当 x 变化时， 与 的变化情况如下表：1 (1，+)+ 0 0 + 极大值 极小值 在 处取得极大值 ，在 处取得极小值 .4. 已知函数 在 处取得极值，求函数 以及的极大值和极小值.思路点拨： 先求函数 的表达式，再求极值.解析：依题意， ，即 ，
17、令 ，得 x=-1 或 x=1，当 x 变化时， 与 的变化情况如下表：1 (1，+)+ 0 0 + 极大值 极小值 在 处取得极大值 ，在 处取得极小值 .总结升华：利用“ 在 处取得极值，则必有导数 ”是本题的破题关键.举一反三：【变式 1】已知函数 f(x)=x3+ax2+bx+a2在 x=1 处有极值 10，求 a,b 的值.【答案】依题意得方程组解得 .当 a=-3,b=3 时，令 得 x=1.x (-,1) 1 (1,+)+ 0 + 无极值 显然 a=-3, b=3 不合题意，舍去.当 a=4, b=-11 时，f(x)=3x 2+8x-11=(x-1)(3x+11)令 得 或 x
18、=1.x 1 （1，+）+ 0 - 0 + 极大值 极小值 f(x)在 x=1 处有极小值 10，合题意，a=4, b=-11.【变式 2】已知函数 ，当且仅当 时， 取得极值，并且极大值比极小值大 4.（1）求常数 的值；（2）求 的极值.【答案】 ，令 得方程 在 处取得极值 或 为上述方程的根， ，即 当 时， （不符合题意）当 时，当 x 变化时， 与 的变化情况如下表：1 (1，+)+ 0 0 + 极大值 极小值 在 处取得极大值 ，在 处取得极小值 .由题意得 ， 整理得 ，又联立，解得 ，由表知道： ，当 时，当 x 变化时， 与 的变化情况如下表：当 x 变化时， 与 的变化情
19、况如下表：1 (1，+)- 0 + 0 - 极小值 极大值 在 处取得极小值 ，在 处取得极大值 .由题意得 ， 整理得 ，又联立，解得 ，综上可得：（） ， 或 ，（）当 ， 时， ，当 ， 时， ，【变式 3】已知函数 ，其中 aR.（1）当 a=1 时，求曲线 在点 处的切线方程；（2）当 a0 时，求函数 的单调区间与极值.【答案】（1）当 a=1 时， ， ，又 ， .所以，曲线 在点 处的切线方程为 ，即 6x+25y32=0.（2） .由于 a0，令 ，得到 x1=a， ，以下分两种情况讨论.当 a0 时，当 x 变化时， ， 的变化情况如下表：x （，a） a 0 0 极大值
20、极小值 所以 在区间（，a）， 内为增函数，在区间 内为减函数.函数在 处取得极小值 且 .函数 在 x=a 处取得极大值 ，且 .当 a0 时，当 x 变化时， ， 的变化情况如下表：x ） 0 0 极小值 极大值 所以 在区间 ， 内为减函数，在区间 内为增函数.函数在 处取得极小值 且 .函数 在 x=a 处取得极大值 ，且 .类型三：利用导数解决函数的最值问题5求函数 在0，2上的最大值和最小值.解析： ，令 ，化简为 x2+x2=0.解得 x=2（舍去）或 x=1.，又因为 ， ，所以 为函数 在0，2上的最小值，为函数 在0，2上的最大值 .总结升华：函数 在闭区间 上连续，则 在
21、 上必有最大值和最小值，且最值一定在极值点或端点处取得，因此，利用导数求函数 在闭区间 最值的一般步骤可简化为：（1）求 ；（2）令 ，解出在 上 的点，求出其相应的函数值；（3）求两个区间端点所对应的函数值；（4）比较这些函数值的大小，最大的是函数 的最大值，最小的是函数的最小值.若 在开区间 内可导，且有唯一的极大（小）值，则这一极大（小）值即为最大（小）值.举一反三：【变式 1】求函数 f(x)=3x-x3在闭区间 的最大值和最小值 .【答案】f(x)=3-3x 2, 令 f(x)=0,则 x=-1 或 x=1.又 f(-1)=-2, f(1)=2, ,f(x) max=2, f(x)m
22、in=-18.【变式 2】f(x)=x 3-3x2+2 在区间-1,1上的最大值是（ ）(A)-2 (B)0 (C)2 (D)4【答案】f(x)=3x 2-6x=3x(x-2)，令 f(x)=0 可得 x0 或 2（2 舍去）。又 f(-1)=-2；f(1)=0；f(0)=2；所以当 x0 时，f(x)取得最大值为 2，选 C【变式 3】设函数 求 的最小值;【答案】函数 f（x）的定义域为（0，1）令当 时， , 在区间 是减函数；当 时， , 在区间 是增函数. 在 时取得最小值且最小值为类型四：导数在研究函数中的应用6设函数 f(x)=ax3+bx+c(a0)为奇函数，其图象在点(1，f
23、(1)处的切线与直线 x-6y-7=0 垂直，导函数 的最小值为-12()求 a,b,c 的值；()求函数 f(x)的单调递增区间，并求函数 f(x)在-1,3上的最大值和最小值.解析：()f(x)为奇函数，f(-x)=-f(x)即-ax 3-bx+c=-ax3-bx-c，c=0 的最小值为-12，b=-12 且又直线 x-6y-7=0 的斜率为因此 ，a=2,a=2,b=-12,c=0()f(x)=2x 3-12x， ，列表如下：x+ 0 - 0 + 极大 极小 所以函数 f(x)的单调增区间是f(-1)=10， ， f(3)=18f(x)在-1,3上的最大值是 f(3)=18，最小值是举一
24、反三：【变式 1】已知 ，函数 在-1，1上有最大值 1，最小值 ，求常数 a,b 的值.【答案】f(x)=3x 2-3ax=3x(x-a). 令 f(x)=0 得 x=0 或 x=a.x -1 (-1,0) 0 (0,a) a (a,1) 1+ 0 - 0 + 极大值 b 极小值函数 f(x)最大值只可能在 x=0 或 x=1 处获得。由 ， ， ，f(0)-f(1)0, 即 f(0)=b 是 f(x)最大值b=1函数 f(x)最小值只可能在 x=-1 或 x=a 处获得. ， a-20, a(a+2)+10.f(a)-f(-1)0，即 是最小值， ， ，综上， ，b=1.【变式 2】已知
25、是二次函数，不等式 的解集是 且 在区间上的最大值是 12。（I）求 的解析式；（II）是否存在实数 使得方程 在区间 内有且只有两个不等的实数根？若存在，求出 的取值范围；若不存在，说明理由。解析：（I） 是二次函数，且 的解集是可设在区间 上的最大值是由已知，得（II）方程 等价于方程设 则当 时， 是减函数；当 时， 是增函数。方程 在区间 内分别有惟一实数根，而在区间 内没有实数根，所以存在惟一的自然数使得方程 在区间 内有且只有两个不同的实数根。7设函数 f(x)(x1)ln(x1)，若对所有的 x0，都有 f(x)ax 成立，求实数 a 的取值范围解法一：令 g(x)(x1)ln(
26、x1)ax，对函数 g(x)求导数：g(x)ln(x1)1a 令 g(x)0，解得 xe a1 1， (i)当 a1 时，对所有 x0，g(x)0，所以 g(x)在0，)上是增函数，又 g(0)0，所以对 x0，都有 g(x)g(0)，即当 a1 时，对于所有 x0，都有 f(x)ax (ii)当 a1 时，对于 0xe a1 1，g(x)0，所以 g(x)在(0，e a1 1)是减函数，又 g(0)0，所以对 0xe a1 1，都有 g(x)g(0)，即当 a1 时，对所有的 x0，都有 f(x)ax 成立综上，a 的取值范围是（，1 解法二：令 g(x)(x1)ln(x1)ax，于是不等式
27、 f(x)ax 成立即为 g(x)g(0)成立 对函数 g(x)求导数：g(x)ln(x1)1a令 g(x)0，解得 xe a1 1， 当 x e a1 1 时，g(x)0，g(x)为增函数，当1xe a1 1，g(x)0，g(x)为减函数， 所以要对所有 x0 都有 g(x)g(0)充要条件为 ea1 10由此得 a1，即 a 的取值范围是（，1 举一反三：【变式 1】已知函数 f(x)=ax3+x2+1，若 f(x)在（0，1）上是增函数，求实数 a 的取值范围.【答案】f(x)=3ax 2+2x，f(x)在（0，1）上是增函数，x（0，1）时，f(x)=3ax 2+2x0 恒成立，即 对
28、 x（0，1）恒成立， 在（0，1）上单调增，x=1 时，【变式 2】已知函数 f(x)=x3-ax2-3x（1）若 f(x)在 x1，+)上是增函数，求实数 a 的取值范围；（2）若 x=3 是 f(x)的极值点，求 f(x)在 x1，a上的最小值和最大值.解析：（1）f(x)=3x 2-2ax-3.f(x)在 x1，+)上是增函数，x1，+)时，f(x)=3x 2-2ax-30 恒成立，即 对 x1，+)恒成立，当 x1 时， . 为所求。（2）f(3)=0，即 27-6a-3=0，a=4.f(x)=x 3-4x2-3x，f(x)=3x 2-8x-3.令 f(x)0 得 （舍去）或 x=3
29、.f(3)=-18，f(1)=-6，f(4)=-12f(x)在 x1，a上的最小值是 f(3)=-18，最大值是 f(1)=-6。【变式 3】已知函数 f（x）x 3ax 2bxc 在 x 与 x1 时都取得极值（1）求 a、b 的值与函数 f（x）的单调区间（2）若对 x1，2，不等式 f（x）c 2恒成立，求 c 的取值范围。解析：（1）f（x）x 3ax 2bxc，f（x）3x 22axb由 f（ ） ，f（1） 32ab0 得a ，b2f（x）3x 2x2（3x2）（x1），函数 f（x）的单调区间如下表：x （， ） （ ，1） 1 （1，）f（x） 0 0 f（x） 极大值 极小值 所以函数 f（x）的递增区间是（， ）与（1，），递减区间是（，1）（2）f（x）x 3 x22xc，x1，2，当 x 时，f（ x） c 为极大值，而 f（2）2c，则 f（2）2c 为最大值。要使 f（x）c 2（x1，2）恒成立，只需 c2f（2）2c，解得 c1 或 c2
