1、2018 届宁夏育才中学高三上学期第三次月考数学（理）试题（解析版）第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合 ， ，若 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】 ， 是方程 的解，则 ，解得，集合故选2. 复数 （是虚数单位）的虚部是（ ）A. 2 B. -1 C. 1 D. -2【答案】B【解析】复数的虚部是故选3. 已知向量 ， ，则“ ”是“与 共线 ”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当
2、 时， ， 则 与 共线，当 与 共线时， ， ，“ ”是“ 与 共线” 的充分不必要条件故选4. 已知无穷等差数列 的公差 ， 的前 项和为 ，若 ，则下列结论中正确的是（ ）A. 是递增数列 B. 是递减数列C. 有最小值 D. 有最大值【答案】C【解析】 ，则 是递增数列，但 应是先减后增数列，故 错误，应有最小值，故 正确故选5. 已知实数 满足不等式组 若 的最大值为 1，则正数的值为（ ）A. B. 1 C. 2 D. 4【答案】D【解析】作出不等式组对应的平面区域如图所示， 是可行域内的点 与定点 连线的斜率，由图可见，点 与点 的连线的斜率最大，由 ，解得 时，取最大值 ，解得
3、，故选 D.【方法点晴】本题主要考查可行域、含参数的约束条件，属于中档题.含参变量的线性规划问题是近年来高考命题的热点，由于参数的引入，提高了思维的技巧、增加了解题的难度， 此类问题的存在增加了探索问题的动态性和开放性，此类问题一般从目标函数的结论入手，对目标函数变化过程进行详细分析，对变化过程中的相关量的准确定位，是求最优解的关键.6. 我国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为：“有一个人走 378 里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了 6 天后到达目
4、的地.”则此人第一天走的路程为（ ）A. 192 里 B. 96 里 C. 63 里 D. 6 里【答案】A【解析】设第一天走了 里，则 是以 为首项，以 为公比的等比数列，根据题意得：解得故选7. 已知关于 的不等式 对任意实数 都成立，则实数 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】 当 时，原式 成立；当 时， ， 解得综上所述，故选8. 已知函数 的周期为 ，若将其图象沿 轴向右平移 个单位长度，所得图象关于原点对称，则实数的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析：由函数 的最小正周期为 ，所以 ，将其图象向右平移个单位可得 ，根据其关于原
5、点对称，可得 ，所以实数的最小值为 ，故选 D.考点：正弦函数图象的变换及其性质.9. 在 中，角 所对的边长分别为 ，已知 ， ， ，则 （ ）A. 30 B. 45 C. 45或 135 D. 60【答案】B【解析】在 中， ，则由 ，得故选点睛：已知等式左边通分并利用同角三角函数间的基本关系化简，右边利用正弦定理化简，整理后求出，进而求出 ， 由正弦定理求出 ，又因为 ，即可确定出 的度数。10. 已知函数 ，则 的图象大致为（ ）A. B. C. D. 【答案】C.即 为偶函数，故排除当 时， ，故排除故选11. 在数列 中， ， ，若数列 满足： ，则数列 的前 10 项的和等于（
6、）A. B. C. D. 【答案】C【解析】数列 是以 为首项 为公差的等差数列，故选点睛：由已知条件化简求得数列 是等差数列，即可求出 的通项公式，继而求出 的通项公式，然后利用裂项求和法求得结果，注意对条件的转化12. 已知数列 的前 项和为 ，且 ，若对任意 ，都有 成立，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】即对任意 都成立，当 时，当 时，当 时，归纳得：故选第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 命题“ ， ”的否定是_.【答案】 ，【解析】 命题“ ， ”是一个全称命题，命题的否定是 ，14. 在等比数
7、列 中，已知 ， ，则 _.【答案】128【解析】15. 若关于 的不等式 的解集为 ，则实数 _.【答案】【解析】由题意可得令 一根为 ，一根为16. 将正整数 6 分解成两个正整数的乘积有 两种形式，其中 是这两种分解中两数差的绝对值最小的，我们称 为 6 的最佳分解形式.当 （ 且 ）是正整数 的最佳分解形式时，我们定义函数 ，例如 .数列 的前 10 项和 _.【答案】31【解析】由题意得：依此类推三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知函数 .（1）求函数 的最小正周期及单调递增区间；（2）若角 为三角形的一个内角，且函
8、数 的图象经过点 ，求角 的大小.【答案】(1) ，单调递增区间为 ；(2) .【解析】试题分析: 由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得，由周期公式可求函数最小正周期 ，由 可以计算出单调递增区间；通过角 为三角形的一个内角，求出表达式 的相位的范围，利用正弦函数的值域求解。解析：（1） .函数 的最小正周期 ，由 ，解得 .函数 的单调递增区间为 .（2）由 ，得 或 ，又角 是三角形的内角， ，故 .点睛：通过二倍角公式以及两角和的正弦函数化简函数 的表达式，化简为一个角的一个三角函数的形式，利用正弦函数的周期公式求出最小正周期，正弦函数的单调增区间求解函数的单调递增区间；18.
9、在 中，角 的对边分别为 ，且 ， ， .（1）求；（2）设 为 边上一点，若 ，求 的面积.【答案】(1) ；(2) .【解析】试题分析：（1）由题意首先求得 ，然后利用余弦定理列方程，边长取方程的正实数根可得 ；（2）利用题意首先求得 的面积与 的面积的比值，然后结合 的面积可求得 的面积为 .试题解析：（1）由已知可得 ，所以 .在 中，由余弦定理得 ，即 .解得 (舍去)， .（2）由题设可得 ，所以 .故 面积与 面积的比值为 .又 的面积为 ，所以 的面积为 .【名师点睛】在解决三角形问题中，面积公式最常用，因为公式中既有边又有角，容易和正弦定理、余弦定理联系起来.正、余弦定理在应
10、用时，应注意灵活性，已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断.19. 已知数列 的前 项和 满足： .（1）求 的通项公式；（2）设 ，求数列 的前 项和 .【答案】(1) ；(2) .【解析】试题分析: 根据 求数列通项，先讨论当 时，再分析当 时求解数列通项， 利用分组求和法进行求解。等差部分计算等差的和，等比部分求等比的和解析：（1）当 时， ，得 .当 时，由 ，得 ，得 ，又 ， ， ， 是等比数列， .（2）由 ，则 ，则 .20. 已知向量 ， ， ，且 .（1）若 ，求 的值；
11、（2）设 的内角 的对边分别为 ， ，且 ，求函数 的值域.【答案】(1) ；(2) .【解析】试题分析: 若 ，得 ，求出 ，把 转化为关于 的式子求解；在 中，求出 ，又，代入 的式子求解，转化为三角变换。解析：（1）若 ，得 ， ；因为 ，所以 .所以 .（2）在 中，由正弦定理得.又 ，故 ，得 .因为 ，所以 ，则 .又 .所以 .因为 ，所以 .所以 .所以 ，即函数 的值域为 .点睛：本题考查的知识点较多，结合平面向量运用了正弦定理进行边角的互化，二倍角的逆用、两角和正弦公式的运用化简最后形式，由题意求得取值范围，注意各公式的运用21. 已知数列 是公比为 2 的等比数列，数列 ， 对任意 都有 ， 成立，且 ， .（1）证明： 是等比数列；（2）若数列 ， 的前 项和分别为 ， 对一切正整数 均成立，数列 的首项 是整数，求 的最大值.【答案】(1)证明见解析；(2) .【解析】试题分析: 根据等比数列的定义来证明 是等比数列(2) 先求出数列 ， 的前 项和分别为 ，化简 ，然后解不等式解析：（1）证明：由 ， 两式相减，得先分别求出，又 ， ， 为常数. 是等比数列 .（2）解：由 ，得 ，
