1、宁夏育才中学 2018 届高三月考 5数学（文科）试题第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合 ， ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由题意结合交集的定义可得： .本题选择 C 选项.2. 已知为虚数单位，复数 的共轭复数是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由复数的运算法则有：，则其共轭复数为 .本题选择 C 选项.3. 如图，网格纸上小正方形的边长为 ，粗线画出的是某几何体的三视图，则这个几何体的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析
2、】如图所示，在棱长为 的正方体中，题中三视图所对应的几何体为四棱锥 ，该几何体的体积为： .本题选择 D 选项.4. 已知等差数列 的前 项和为 ，若 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由等差数列的性质可得： ，结合等差数列的前 n 项和公式可得： .本题选择 B 选项.5. 某校为了解学生学习的情况，采用分层抽样的方法从高一 人、高二 人、高三 人中，抽取 人进行问卷调查，已知高二被抽取的人数为 ，那么 （ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】分层抽样是按比例抽样,可得 ,可得 .故本题选 .6. 已知 ， ， ，则， ，的大小关系为（ ）A. B. C. D.
3、【答案】B【解析】由题意结合指数函数、对数函数的性质可知：， ，则： ，且 ，据此可得： .本题选择 B 选项.点睛：对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较这就必须掌握一些特殊方法在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确7. 某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台整点报时，则他等待时间不少于 分钟的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】如图，将一个整小时
4、看成线段 AD，B，C 两点分别为 20 分钟，40 分钟时对应的点，等待时间不少于20 分钟，则应该在 A，C 之间醒来，根据几何概型可知，概率为 ，故选择 C. 8. 已知在等比数列 中， ， ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】设等比数列的公比为 ，由题意可得： ，而 ，据此有： ，整理可得： ，故 ，结合等比数列的通项公式可得： .本题选择 D 选项.9. 已知 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由题意可得： ，则 .本题选择 C 选项.10. 若执行如图所示的程序框图，则输出的结果 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】 进入循环， ，
5、 ，此时 否，第二次进入循环， ， 否，第三次进入循环， ， 是，输出 ，故选 C.11. 已知命题 ：双曲线 ： 的离心率为 ，命题 ：函数 有且仅有一个零点，则 是 的（ ）A. 充分不必要条件 B. 充要条件C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若双曲线 ： 的离心率为 ，则 ，据此可得： ，函数 有且仅有一个零点，则 ，据此可得： ，综上可得： 是 的充分不必要条件 .本题选择 A 选项.点睛：双曲线的离心率的关键就是找出双曲线中 a，c 的关系对于本题的求解，给出的条件较多，对基础知识的考查较为全面，但都为直接、连贯的条件，直接根据已知条件就可以求解本题函
6、数零点的应用主要表现在利用零点求参数范围，若方程可解，通过解方程即可得出参数的范围，若方程不易解或不可解，则将问题转化为构造两个函数，利用两个函数图象的关系求解，这样会使得问题变得直观、简单，这也体现了数形结合思想的应用12. 已知函数 的定义域 上的导函数为 ，若方程 无解，且 ，当在 上与 在 上的单调性相同时，则实数 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】因为方程 无解，所以函数 为单调函数，因此由 ，得=m(m 为常数)， 即 为单调增函数，因此 在在上恒成立 . ，因此 ，选 A. 点睛：函数单调性问题，往往转化为导函数符号是否变号或怎样变号问题，即转化为方程或
7、不等式解的问题（有解，恒成立，无解等） ，而不等式有解或恒成立问题，又可通过适当的变量分离转化为对应函数最值问题.第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 若 ， ， ，且 ，那么与 的夹角为_【答案】【解析】试题分析:由 可得 ,即 ,也即 , ,故应填答案.考点：向量的数量积公式及运用14. 如图是甲、乙两名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则在这五场比赛中成绩较为稳定（方差较小）的运动员得分的方差为_【答案】【解析】根据茎叶图的数据,计算甲的平均数为 乙的平均数为根据茎叶图中的数据知乙的成绩波动性小,较为稳定,即方差较小,计算乙成绩的
8、方差为 ,故填 6.8.15. 已知实数 满足约束条件 若目标函数 取得最大值时有唯一的最优解 ，则实数的取值范围是_【答案】【解析】画出可行域， 要使目标函数 取得最大值时有唯一的最优解 则需直线过点截距最大，此时直线斜率大于 1 即可， 故16. 已知椭圆 ： 的右焦点为 ，上、下顶点分别为 ， ，直线 交椭圆 于另一点 ，若直线 交 轴于点 ，则椭圆 的离心率是_【答案】点睛：本题的关键点在于理解 是两条直线和椭圆的公共点，若先联立直线与椭圆方程，计算量较大，而本题中采用先联立两直线方程得到点 的坐标，再代入椭圆方程进行求解，有效地避免了繁琐的计算量 .三、解答题 （本大题共 6 小题，
9、共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 在 中，角 ， ， 的对边分别为， ， ，且 . （1）求角 的值；（2）若 ，且 的面积为 ，求 边上的中线 的大小.【答案】(1) ；(2) .【解析】试题分析：（1）利用正弦定理边化角可得 ，整理计算可得 ，则 ， .试题解析：（1）因为 ，所以 ，所以 ，所以 ， .又因为 ，所以 ，又因为 ，且 ，所以 .（2）据（1）求解知 .若 ，则 .所以 ， （舍）又在 中， ，所以 .所以 .18. 如图，在三棱柱 中， ， 分别为 ， 的中点， ， ，.（1）求证：直线 平面 ；（2）求证：直线 平面 .【答案】(1)证明
10、见解析；(2)证明见解析.【解析】试题分析：（1）设 与 交于点， 连接 ， .由几何关系可证得四边形 是平行四边形，则 .由线面平行的判断定理可得直线 平面 .（2）由题意可得 是菱形，则 ，由等腰三角形三线合一可得 ，结合 ，可得，则 ， ，利用线面垂直的判断定理可得直线 平面 .试题解析：（1）如图，设 与 交于点 ，连接 ， .因为四边形 是平行四边形，所以是 是 的中点.又 是 的中点，所以 ， .又因为 是 的中点，所以 ， .所以 ，所以四边形 是平行四边形，所以 .又因为 平面 ， 平面 ，所以直线 平面 .（2）因为 ，所以平行四边形 是菱形，所以 ，因为 ， 是 的中点，所
11、以 .又 ，所以 .又因为 ，所以 .所以 .故 ，即 .又 ， 平面 ， 平面 ，所以直线 平面 .19. 已知抛物线 的焦点为 ，直线 与 轴的交点为 ，与抛物线的交点为 ，且 .（1）求抛物线的方程；（2）如图所示，过 的直线与抛物线相交于 ， 两点，与圆 相交于 ， 两点（ ， 两点相邻） ，过 ， 两点分别作抛物线的切线，两条切线相交于点 ，求 与 面积之积的最小值.【答案】(1) ；(2)1.【解析】试题分析：（1）利用 构建关于 的方程，解得 ，也就是抛物线的方程为 .（2）设直线 ，利用焦半径公式可以得到 ，其中 为 到直线的距离，联立直线和抛物线的方程，消去 后可以得到 ，利
12、用导数可以求出过 的切线方程，从而求出 ，故 ，从而求出面积乘积的最小值为 .解析：（1）由题意可知 ,由 ,则 ,解得 ，抛物线 .（2）设 ，联立 ，整理得: ， 则 ，由 ，求导 ，直线 同理求得 ，则 ,解得: ,则, 到的距离 , 与 的面积之积为：点睛：圆锥曲线中的最值，往往需要构建目标函数，其自变量是斜率，截距或角等.在目标函数构建的过程中，应关注问题是否有焦点或准线有关以判断是否可以利用几何性质.另外，求抛物线 的切线，可以考虑利用导数来求切线的斜率.20. 某公司为了解广告投入对销售收益的影响，在若干地区各投入 万元广告费用，并将各地的销售收益绘制成频率分布直方图（如图所示）
13、 ，由于工作人员操作失误，横轴的数据丢失，但可以确定横轴是从 开始计数的.（1）根据频率分布直方图计算图中各小长方形的宽度；（2）试估计该公司投入 万元广告费用之后，对应销售收益的平均值（以各组的区间中点值代表该组的取值） ；（3）该公司按照类似的研究方法，测得另外一些数据，并整理得到下表：由表中的数据显示， 与 之间存在着线性相关关系，请将（2）的结果填入空白栏，并求出 关于 的回归直线方程.参考公式：【答案】(1)2；(2)5；(3)答案见解析.【解析】试题分析：（1）设各小长方形的宽度为 .由频率分布直方图中各小长方形的面积总和为 得到关于 m 的方程，解方程可得 ，即图中各小长方形的宽
14、度为 .（2）以各组的区间中点值代表该组的取值，结合(1)中求得的结论可估计平均值为.（3）由（2）可知空白栏中填 .据此计算可得 ， ，结合回归方程计算公式可得 ， ，则所求的回归直线方程为 .试题解析：（1）设各小长方形的宽度为 .由频率分布直方图中各小长方形的面积总和为 ，可知，解得 .故图中各小长方形的宽度为 .（2）由（1）知各小组依次是 ， ， ， ， ， ，其中点分别为 ， ， ， ， ， 对应的频率分别为 ， ， ， ， ，故可估计平均值为 .（3）由（2）可知空白栏中填 .由题意可知 ， ， ，根据公式，可求得 ，.所以所求的回归直线方程为 .21. 已知函数 ， ， .（1
15、）当 时，求 的单调区间；（2）当 时，若对任意 ，都有 成立，求 的最大值.【答案】(1)单调递增区间为 ， ，单调递减区间为 .(2)3.【解析】试题分析：（1）当 时，代入函数，求 ， 是函数的增区间， 是函数的减区间；（2）当 成立，整理为 ，设 ，利用导数求函数的最小值，求整数 的最大值.试题解析：（1）解：由题意可知函数 的定义域为 .当 时， ，.当 或 时， ， 单调递增.当 时， ， 单调递减.综上， 的单调递增区间为 ， ，单调递减区间为 .（2）由 ，得 ，整理得 ， ， .令 ，则 .令 ， ， . 在 上递增， ， 存在唯一的零点 . ，得 .当 时， ， 在 上递减
16、；当 时， ， 在 上递增. ，要使 对任意 恒成立，只需 .又 ，且 ， 的最大值为 .【点睛】本题考点为导数的应用，本题属于中等问题，分两步，第一步，利用导数求函数的单调区间，是一道比较常规的问题，第二步参变分离后，利用导数研究函数单调性，进而求最值，利用最值求参数取值范围，这一步涉及求二次导数，根据二次导数的恒成立，确定一次导数单调的，再根据零点存在性定理，得到函数的极值点的范围，思维巧妙，有选拔优秀学生的功能.请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 已知曲线 的参数方程为 ，曲线 的极坐标方程为 .（1）将曲线 的参数方程化为普通方程；（2）曲
17、线 与曲线 有无公共点？试说明理由.【答案】(1) ， .(2)曲线 与曲线 无公共点，理由见解析.【解析】试题分析：(1)由同角三角函数消去参数可得曲线 的普通方程是 ， .(2)曲线 的普通方程为 .联立直线方程与抛物线方程可得 ，则曲线 与曲线无公共点.试题解析：（1）由 ，得， .（2）由 得曲线 的普通方程为 .联立 得 .解得 ，故曲线 与曲线 无公共点.23. 已知函数 .（1）解不等式 ；（2）若 对任意实数 恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1) ；(2) .【解析】试题分析：(1)由题意结合不等式的特点零点分段可得不等式 得解集为 .(2)由绝对值三角不等式可得 ，则原问题等价于 ，据此可得实数的取值范围是.试题解析：（1）当 时，不等式可化为 ，即 ，无解；当 时，不等式可化为 ，解得 .所以 ； 时，不等式可化为 ，即 .所以 .综上，不等式 得解集为 .（2） ，若 对任意实数 恒成立，则 ，解得 .故实数的取值范围是 .
