1、41 不定积分的概念与性质14 3 分部积分法设函数 uu(x)及 vv(x)具有连续导数 那么 两个函数乘积的导数公式为(uv)uvuv 移项得 uv(uv)uv 对这个等式两边求不定积分 得或 vdxuxvdv这个公式称为分部积分公式 分部积分过程: vdxuvudxv例 1 x sin xcos xC xdsinsincos例 2 exeex 例 3 22ddxxxeedxex22x2ex2xex2exC ex(x22x2 )C 例 4 dd1ln1lln xx2224ll例 5 dxdarcosarcosarcosx21 )()(arcos2dx Cx21arcos例 6 2tn1ar
2、ctnxddx21arctndx)(1arc2Cxarctntn21例 7 求 xdesin41 不定积分的概念与性质2解 因为 xdexdeex sinsisinixcoicoidexesssinxcoi dexesinsin所以 Cxdx )co(i21i例 8 求 x3sec解 因为xdxdtansecss23xtanectaecdx)1(sts2xectanec3 xd3s|tans|lts所以 xd3ec Cx|)taec|lt(ec21例 9 求 其中 n 为正整数nnaI)(解 Cxxdrct121当 n1 时，用分部积分法 有dxanan )()1)()( 222xxn1即 )(12)(21 nnn IIaI 41 不定积分的概念与性质3于是 )32()()12112nnn IaxaI以此作为递推公式 并由 即可得 CxIrctnI例 10 求 dxe解 令 x t 2 则 dx2tdt 于 Cxet )1()1(dxdexx2xee2Cxx)1(2第一换元法与分部积分法的比较:共同点是第一步都是凑微分 )()( xdfxf u令 df)(vudvu xv哪些积分可以用分部积分法？ xcosexx2 dlndarcsdarctn xesix3e 22dud 2xexe
