1、32 洛必达法则13 5 函数的极值与最大值最小值一、函数的极值及其求法极值的定义 定义 设函数 f(x)在区间 (a, b)内有定义 x0(a, b) 如果在 x0 的某一去心邻域内有 f(x)f(x0) 则称 f(x0)是函数 f(x)的一个极大值 如果在 x0 的某一去心邻域内有 f(x)f(x0) 则称 f(x0)是函数f(x)的一个极小值设函数 f(x)在点 x0 的某邻域 U(x0)内有定义 如果在去心邻域 U(x0)内有f(x)f(x0) (或 f(x)f(x0) 则称 f(x0)是函数 f(x)的一个极大值( 或极小值)函数的极大值与极小值统称为函数的极值 使函数取得极值的点称
2、为极值点 函数的极大值和极小值概念是局部性的 如果 f(x0)是函数 f(x)的一个极大值 那只是就 x0 附近的一个局部范围来说 f(x0)是 f(x)的一个最大值 如果就 f(x)的整个定义域来说 f(x0)不一定是最大值 关于极小值也类似 极值与水平切线的关系 在函数取得极值处 曲线上的切线是水平的 但曲线上有水平切线的地方 函数不一定取得极值 定理 1 (必要条件)设函数 f(x)在点 x0 处可导 且在 x0 处取得极值 那么这函数在 x0 处的导数为零 即 f (x0)0 证 为确定起见 假定 f(x0)是极大值(极小值的情形可类似地证明 ) 根据极大值的定义 在x0 的某个去心邻
3、域内 对于任何点 x f(x) f(x0)均成立 于是当 x x0 时 0f因此 f (x0) )(lim00xf当 x x0 时 0)(xf因此 0)(li)(00xfxf从而得到 f (x0) 0 简要证明 假定 f(x0)是极大值 根据极大值的定义 在 x0 的某个去心邻域内有 f(x) f(x0) 于是 )(lim)(000ffxfx同时 li0fff从而得到 f (x0) 0 32 洛必达法则2驻点 使导数为零的点(即方程 f (x) 0 的实根) 叫函数 f(x)的驻点 定理就是说 可导函数f(x)的极值点必定是函数的驻点 但的过来 函数 f(x)的驻点却不一定是极值点 考察函数
4、f(x)x3 在 x0 处的情况 定理(第一种充分条件 )设函数 f(x)在点 x0 的一个邻域内连续 在 x0 的左右邻域内可导 (1) 如果在 x0 的某一左邻域内 f (x)0 在 x0 的某一右邻域内 f (x)0 那么函数 f(x)在 x0 处取得极大值 (2) 如果在 x0 的某一左邻域内 f (x)0 在 x0 的某一右邻域内 f (x)0 那么函数 f(x)在 x0 处取得极小值 (3)如果在 x0 的某一邻域内 f (x)不改变符号 那么函数 f(x)在 x0 处没有极值 定理 ( 第一种充分条件)设函数 f(x)在含 x0 的区间(a , b)内连续 在(a, x 0)及(
5、 x0, b)内可导 (1)如果在(a, x 0)内 f (x)0 在( x0, b)内 f (x)0 那么函数 f(x)在 x0 处取得极大值 (2)如果在(a, x 0)内 f (x)0 在( x0, b)内 f (x)0 那么函数 f(x)在 x0 处取得极小值 (3)如果在(a, x 0)及( x0, b)内 f (x)的符号相同 那么函数 f(x)在 x0 处没有极值 定理 2(第一充分条件)设函数 f(x)在 x0 连续 且在 x0 的某去心邻域(x 0 x0)(x0 x0)内可导 (1)如果在(x 0 x0)内 f (x)0 在(x 0 x0)内 f (x)0 那么函数 f(x)
6、在 x0 处取得极大值 (2)如果在(x 0 x0)内 f (x)0 在(x 0 x0)内 f (x)0 那么函数 f(x)在 x0 处取得极小值 (3)如果在(x 0 x0)及( x0 x0)内 f (x)的符号相同 那么函数 f(x)在 x0 处没有极值 定理 2 也可简单地这样说 当 x 在 x0 的邻近渐增地经过 x0 时 如果 f (x)的符号由负变正 那么 f(x)在 x0 处取得极大值 如果 f (x)的符号由正变负 那么 f(x)在 x0 处取得极小值 如果 f (x)的符号并不改变 那么 f(x)在 x0 处没有极值 (注 定理的叙述与教材有所不同 ) 确定极值点和极值的步骤
7、 (1)求出导数 f (x) (2)求出 f(x)的全部驻点和不可导点 (3)列表判断(考察 f (x)的符号在每个驻点和不可导点的左右邻近的情况 以便确定该点是否是极值点 如果是极值点 还要按定理 2 确定对应的函数值是极大值还是极小值) (4)确定出函数的所有极值点和极值 例 1 求函数 的极值 3)1(4)(xxf解(1)f(x) 在 ( )内连续 除 x1 外处处可导 且 35(2)令 f (x)0 得驻点 x1 x1 为 f(x)的不可导点 (3)列表判断x ( 1) 1 (1 1) 1 (1 )f (x) 不可导 0 32 洛必达法则3f(x) 0 34(4)极大值为 f(1)0
8、极小值为 34)1(f定理 3 (第二种充分条件 ) 设函数 f(x)在点 x0 处具有二阶导数且 f (x0)0 f (x0)0 那么(1)当 f (x0)0 时 函数 f(x)在 x0 处取得极大值 (1)当 f (x0)0 时 函数 f(x)在 x0 处取得极小值 证明 在情形(1) 由于 f (x0)0按二阶导数的定义有 0)(lim0xfx根据函数极限的局部保号性 当 x 在 x0 的足够小的去心邻域内时 )(0f但 f (x0)0 所以上式即 )(0xf从而知道 对于这去心邻域内的 x 来说 f (x)与 xx0 符号相反 因此 当 xx00 即 xx0 时 f (x)0 当 xx
9、00 即 xx0 时 f ( x)0 根据定理 2 f(x)在点 x0 处取得极大值 类似地可以证明情形(2) 简要证明 在情形(1) 由于 f (x0)0 f (x0)0按二阶导数的定义有lim)(li)(0000 xfxf根据函数极限的局部保号性 在 x0 的某一去心邻域内有 )(0xf从而在该邻域内 当 xx0 时 f (x)0 当 xx0 时 f (x)0 根据定理 2 f(x)在点 x0 处取得极大值 定理 3 表明 如果函数 f(x)在驻点 x0 处的二导数 f (x0) 0 那么该点 x0 一定是极值点 并且可以按二阶导数 f (x0)的符来判定 f(x0)是极大值还是极小值 但
10、如果 f (x0)0 定理 3 就不能应用 讨论 函数 f (x)x4 g(x)x3 在点 x0 是否有极值？提示 f (x)4x 3 f (0)0 f (x)12x2 f (0)0 但当 x0 时 f (x)0 当 x0 时 f (x)0 所以f(0) 为极小值g (x)3x2 g (0)0 g (x)6x g (0)0 但 g(0)不是极值 例 2 求函数 f(x)(x21)31 的极值 解 (1)f (x)6x(x21)2 32 洛必达法则4(2)令 f (x)0 求得驻点 x11 x20 x31 (3)f (x)6(x21)(5x21) (4)因 f (0)60 所以 f (x)在 x
11、0 处取得极小值 极小值为 f(0)0 (5)因 f (1)f (1)0 用定理 3 无法判别 因为在1 的左右邻域内 f (x)0 所以 f(x)在1处没有极值 同理 f(x)在 1 处也没有极值 二、最大值最小值问题在工农业生产、工程技术及科学实验中 常常会遇到这样一类问题 在一定条件下 怎样使“产品最多” 、 “用料最省” 、 “成本最低” 、 “效率最高”等问题 这类问题在数学上有时可归结为求某一函数（通常称为目标函数）的最大值或最小值问题 极值与最值的关系 设函数 f(x)在闭区间a b上连续 则函数的最大值和最小值一定存在 函数的最大值和最小值有可能在区间的端点取得 如果最大值不在
12、区间的端点取得 则必在开区间(a b)内取得 在这种情况下 最大值一定是函数的极大值 因此 函数在闭区间 a b上的最大值一定是函数的所有极大值和函数在区间端点的函数值中最大者 同理 函数在闭区间a b上的最小值一定是函数的所有极小值和函数在区间端点的函数值中最小者 最大值和最小值的求法 设 f(x)在(a b)内的驻点和不可导点(它们是可能的极值点) 为 x1 x2 xn 则比较f(a) f(x 1) f(x n) f(b)的大小 其中最大的便是函数 f(x)在a b 上的最大值 最小的便是函数 f(x)在a b上的最小值 例 3 求函数 f(x)|x23x2|在3 4 上的最大值与最小值
13、解 ) ,1( 4,2f , 32)(xxf在(3 4)内 f(x)的驻点为 不可导点为 x1 和 x2 由于 f(3)20 f(1)0 f(2)0 f(4)6 比较可得 f(x)在 x3 处取得它在 3 4上的最41)2(f大值 20 在 x1 和 x2 处取它在 3 4上的最小值 0 例 4 工厂铁路线上 AB 段的距离为 100km 工厂 C 距 A 处为 20km AC 垂直于 AB 为了运输需要 要在 AB 线上选定一点 D 向工厂修筑一条公路 已知铁路每公里货运的运费与公路上每公里货运的运费之比 3:5 为了使货物从供应站 B 运到工厂 C 的运费最省 问 D 点应选在何处？ DC
14、20kmA B10km32 洛必达法则5解 设 ADx (km) 则 DB100x 20CD240设从 B 点到 C 点需要的总运费为 y 那么y5kCD3kDB (k 是某个正数) 即 3k(100x) (0x100) 240x现在 问题就归结为 x 在0 100内取何值时目标函数 y 的值最小 先求 y 对 x 的导数 240xCD)3405(2k解方程 y0 得 x15(km) 由于 y|x0400k y|x15380k 其中以 y|x15380k 为最小 因此当21051|kyxADx15km 时 总运费为最省 例 2 工厂 C 与铁路线的垂直距离 AC 为 20km,A 点到火车站
15、B 的距离为 100km. 欲修一条从工厂到铁路的公路 CD. 已知铁路与公路每公里运费之比为 3:5. 为了使火车站 B 与工厂 C间的运费最省, 问 D 点应选在何处？解 设 ADx (km) B 与 C 间的运费为 y则 y5kCD3kDB (0x100) )10(3452kx其中 k 是某一正数由 0 得 x15 )4(2x由于 y|x0400k y|x15380k 其中以 y|x15380k 为最小 因此当21051|kyxADx15km 时 总运费为最省 注意 f(x)在一个区间(有限或无限 开或闭) 内可导且只有一个驻点 x0 并且这个驻点 x0 是函数 f(x)的极值点 那么
16、当 f(x0)是极大值时 f(x0)就是 f(x)在该区间上的最大值 当 f(x0)是极小值时 f(x 0)就是 f(x)在该区间上的最小值 f(x 0) O a x 0 b xyf(x ) yf(x 0) O a x 0 b xyf(x ) y32 洛必达法则6应当指出 实际问题中 往往根据问题的性质就可以断定函数 f(x)确有最大值或最小值 而且一定在定义区间内部取得 这时如果 f(x)在定义区间内部只有一个驻点 x0 那么不必讨论 f(x0)是否是极值 就可以断定 f(x0)是最大值或最小值 例 6 把一根直径为 d 的圆木锯成截面为矩形的梁 问矩形截面的高 h 和宽 b 应如何选择才能
17、使梁的抗弯截面模量 W ( )最大?261bh解 b 与 h 有下面的关系 h 2d 2b 2 因而 (0bd) (61这样 W 就是自变量 b 的函数 b 的变化范围是(0 d) 现在 问题化为 b 等于多少时目标函数 W 取最大值？为此 求 W 对 b 的导数 )3(612d解方程 W 0 得驻点 b由于梁的最大抗弯截面模量一定存在 而且在(0 d)内部取得 现在 函数 在)(612bd(0 d)内只有一个驻点 所以当 时 W 的值最大 这时 db31 222dbh即 3 1:2:bhd解 把 W 表示成 b 的函数 (0bd)6(d由 得驻点 0)3(12 13由于梁的最大抗弯截面模量一定存在 而且在(0 d)内部取得 现在函数 W 在(0 d)内只有一个驻点 b13所以当 时 抗弯截面模量 W 最大 这时 db13h2d hb32 洛必达法则7
