1、61 定积分的元素法16 5 功 水压力和引力一、变力沿直线所作的功例 1 把一个带q 电量的点电荷放在 r 轴上坐标原点 O 处 它产生一个电场 这个电场对周围的电荷有作用力 由物理学知道 如果有一个单位正电荷放在这个电场中距离原点 O 为 r的地方 那么电场对它的作用力的大小为(k 是常数) 2rqF当这个单位正电荷在电场中从 ra 处沿 r 轴移动到 rb(ab)处时 计算电场力 F 对它所作的功 例 1 电量为+q 的点电荷位于 r 轴的坐标原点 O 处它所产生的电场力使 r 轴上的一个单位正电荷从 r=a 处移动到 r=b(ab)处求电场力对单位正电荷所作的功提示: 由物理学知道 在
2、电量为 +q 的点电荷所产生的电场中 距离点电荷 r 处的单位正电荷所受到的电场力的大小为 (k 是常数) 2rF解: 在 r 轴上 当单位正电荷从 r 移动到 r+dr 时 电场力对它所作的功近似为 dq2即功元素为 rkdW2于是所求的功为 drkqba2ba1)(kq例 2 在底面积为 S 的圆柱形容器中盛有一定量的气体 在等温条件下 由于气体的膨胀 把容器中的一个活塞(面积为 S)从点 a 处推移到点 b 处 计算在移动过程中 气体压力所作的功 解 取坐标系如图 活塞的位置可以用坐标 x 来表示 由物理学知道 一定量的气体在等温条件下 压强 p 与体积 V 的乘积是常数 k 即pVk
3、或 Vp解: 在点 x 处 因为 VxS 所以作在活塞上的力为 xSF当活塞从 x 移动到 xdx 时 变力所作的功近似为 dk即功元素为 dkW于是所求的功为 dxkWbabalnkl例 3 一圆柱形的贮水桶高为 5m 底圆半径为 3m 桶内盛满了水 试问要把桶内的水全部61 定积分的元素法2吸出需作多少功？解 作 x 轴如图 取深度 x 为积分变量 它的变化区间为 0 5 相应于0 5上任小区间 x xdx的一薄层水的高度为 dx 水的比重为 98kN/m3 因此如 x 的单位为 m 这薄层水的重力为9832dx 这薄层水吸出桶外需作的功近似地为dW882xdx 此即功元素 于是所求的功为
4、(kj) 502.8xdW508二、水压力从物理学知道 在水深为 h 处的压强为 ph 这里 是水的比重 如果有一面积为 A 的平板水平地放置在水深为 h 处 那么 平板一侧所受的水压力为PpA 如果这个平板铅直放置在水中 那么 由于水深不同的点处压强 p 不相等 所以平板所受水的压力就不能用上述方法计算 例 4 一个横放着的圆柱形水桶 桶内盛有半桶水 设桶的底半径为 R 水的比重为 计算桶的一个端面上所受的压力 解 桶的一个端面是圆片 与水接触的是下半圆 取坐标系如图 在水深 x 处于圆片上取一窄条 其宽为 dx 得压力元素为 dxRdP2所求压力为 Rx02 )()(2210xR x23)
5、(3r三、引力从物理学知道 质量分别为 m 1、m 2 相距为 r 的两质点间的引力的大小为 21GF其中 G 为引力系数 引力的方向沿着两质点连线方向 如果要计算一根细棒对一个质点的引力 那么 由于细棒上各点与该质点的距离是变化的 且各点对该质点的引力的方向也是变化的 就不能用上述公式来计算 例 5 设有一长度为 l 、线密度为的均匀细直棒 在其中垂线上距棒 a 单位处有一质量为m 的质点 M 试计算该棒对质点 M 的引力 例 5 求长度为 l、线密度为 的均匀细直棒对其中垂线上距棒 a 单位处质量为 m 的质点 M的引力 解 取坐标系如图 使棒位于 y 轴上 质点 M 位于 x 轴上 棒的中点为原点 O 由对称性知 引力在垂直方向上的分量为零 所以只需求引力在水平方向的分量 取 y 为积分变量 它的变化61 定积分的元素法3区间为 在 上 y 点取长为 dy 的一小段 其质量为 dy 与 M 相距 2,l2 ,l 2yar于是在水平方向上 引力元素为 22yadmGFx2/3)(yadmG引力在水平方向的分量为 22/3)(lxyd241lal
