1、72 向量及其加减法 向量与数的乘法17 3 曲面及其方程一、曲面方程的概念在空间解析几何中 任何曲面都可以看作点的几何轨迹 在这样的意义下 如果曲面 S 与三元方程F(x y z)0有下述关系 (1) 曲面 S 上任一点的坐标都满足方程 F(x y z)0 (2) 不在曲面 S 上的点的坐标都不满足方程 F(x y z)0 那么 方程 F(x y z)0 就叫做曲面 S 的方程 而曲面 S 就叫做方程 F(x y z)0 的图形 常见的曲面的方程 例 1 建立球心在点 M0(x0 y0 z0)、半径为 R 的球面的方程 解 设 M(x y z)是球面上的任一点 那么|M0M|R 即 z202
2、0)()(或 (xx0)2(yy0)2(zz0)2R2 这就是球面上的点的坐标所满足的方程 而不在球面上的点的坐标都不满足这个方程 所以(xx0)2(yy0)2(zz0)2R2 就是球心在点 M0(x0 y0 z0)、半径为 R 的球面的方程 特殊地 球心在原点 O(0 0 0)、半径为 R 的球面的方程为x2y2z2R2 例 2 设有点 A(1 2 3)和 B(2 1 4) 求线段 AB 的垂直平分面的方程 解 由题意知道 所求的平面就是与 A 和 B 等距离的点的几何轨迹 设 M(x y z)为所求平面上的任一点 则有|AM|BM| 即 2222 )4(1)()3()1( zyxzyx等式
3、两边平方 然后化简得2x6y2z70 这就是所求平面上的点的坐标所满足的方程 而不在此平面上的点的坐标都不满足这个方程 所以这个方程就是所求平面的方程 研究曲面的两个基本问题 (1) 已知一曲面作为点的几何轨迹时 建立这曲面的方程 (2) 已知坐标 x、y 和 z 间的一个方程时 研究这方程所表示的曲面的形状 例 3 方程 x2y2z22x4y0 表示怎样的曲面？解 通过配方 原方程可以改写成(x1)2(y2)2z25 72 向量及其加减法 向量与数的乘法2这是一个球面方程 球心在点 M0(1 2 0)、半径为 5R一般地 设有三元二次方程Ax2Ay2Az2DxEyFzG0 这个方程的特点是缺
4、 xy yz zx 各项 而且平方项系数相同 只要将方程经过配方就可以化成方程(xx0)2(yy0)2(zz0)2R2 的形式 它的图形就是一个球面 二、旋转曲面以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面叫做旋转曲面 这条定直线叫做旋转曲面的轴 设在 yO z 坐标面上有一已知曲线 C 它的方程为f (y z) 0 把这曲线绕 z 轴旋转一周 就得到一个以 z 轴为轴的旋转曲面 它的方程可以求得如下 设 M(x y z)为曲面上任一点 它是曲线 C 上点 M1(0 y1 z1)绕 z 轴旋转而得到的 因此有如下关系等式 0) ,(1f12|yx从而得 0) ,(2zf这就是所求旋转曲
5、面的方程 在曲线 C 的方程 f(y z)0 中将 y 改成 便得曲线 C 绕 z 轴旋转所成的旋转曲面的2yx方程 ,(2xf同理 曲线 C 绕 y 轴旋转所成的旋转曲面的方程为 0) ,(2zxyf例 4 直线 L 绕另一条与 L 相交的直线旋转一周 所得旋转曲面叫做圆锥面 两直线的交点叫做圆锥面的顶点 两直线的夹角 ( )叫做圆锥面的半顶角 试建立顶点在坐标原点 O 2 0旋转轴为 z 轴 半顶角为 的圆锥面的方程 解 在 yO z 坐标面内 直线 L 的方程为zycot 将方程 zycot 中的 y 改成 就得到所要求的圆锥面的方程2yx cotyxz72 向量及其加减法 向量与数的乘
6、法3或z2a2 (x2y2) 其中 acot 例 5 将 zOx 坐标面上的双曲线 分别绕 x 轴和 z 轴旋转一周 求所生成的旋转曲面12c的方程 解 绕 x 轴旋转所在的旋转曲面的方程为 12czyax绕 z 轴旋转所在的旋转曲面的方程为 2z这两种曲面分别叫做双叶旋转双曲面和单叶旋转双曲面 三、柱面例 6 方程 x2y2R2 表示怎样的曲面？ 解 方程 x2y2R2 在 xOy 面上表示圆心在原点 O、半径为 R 的圆 在空间直角坐标系中 这方程不含竖坐标 z 即不论空间点的竖坐标 z 怎样 只要它的横坐标 x 和纵坐标 y 能满足这方程 那么这些点就在这曲面上 也就是说 过 xOy 面
7、上的圆 x2y2R2 且平行于 z 轴的直线一定在 x2y2R2 表示的曲面上 所以这个曲面可以看成是由平行于 z 轴的直线 l 沿 xOy 面上的圆x2y2R2 移动而形成的 这曲面叫做圆柱面 xOy 面上的圆 x2y2R2 叫做它的准线 这平行于 z轴的直线 l 叫做它的母线 例 6 方程 x2y2R2 表示怎样的曲面？解 在空间直角坐标系中 过 xOy 面上的圆 x2y2R2 作平行于 z 轴的直线 l 则直线 l 上的点都满足方程 x2y2R2 因此直线 l 一定在 x2y2R2 表示的曲面上 所以这个曲面可以看成是由平行于 z 轴的直线 l 沿 xOy 面上的圆 x2y2R2 移动而
8、形成的 这曲面叫做圆柱面 xOy 面上的圆 x2y2R2 叫做它的准线 这平行于 z 轴的直线 l 叫做它的母线 柱面平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 形成的轨迹叫做柱面 定曲线 C 叫做柱面的准线 动直线 L 叫做柱面的母线 上面我们看到 不含 z 的方程 x2y2R2 在空间直角坐标系中表示圆柱面 它的母线平行于 z轴 它的准线是 xOy 面上的圆 x2y2R2 一般地 只含 x、y 而缺 z 的方程 F(x y)0 在空间直角坐标系中表示母线平行于 z 轴的柱面 其准线是 xOy 面上的曲线 C F(x y)0 例如 方程 y22x 表示母线平行于 z 轴的柱面 它的准线是 x
9、Oy 面上的抛物线 y22x 该柱面叫做抛物柱面 又如 方程 xy0 表示母线平行于 z 轴的柱面 其准线是 xOy 面的直线 xy0 所以它是过 z 轴的平面 72 向量及其加减法 向量与数的乘法4类似地 只含 x、z 而缺 y 的方程 G(x z)0 和只含 y、z 而缺 x 的方程 H(y z)0 分别表示母线平行于 y 轴和 x 轴的柱面 例如 方程 xz0 表示母线平行于 y 轴的柱面 其准线是 zOx 面上的直线 xz0 所以它是过 y 轴的平面 四、二次曲面与平面解析几何中规定的二次曲线相类似 我们把三元二次方程所表示的曲面叫做二次曲面 把平面叫做一次曲面 怎样了解三元方程 F(
10、x y z)0 所表示的曲面的形状呢 方法之一是用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截 考察其交线的形状 然后加以综合 从而了解曲面的立体形状 这种方法叫做截痕法 研究曲面的另一种方程是伸缩变形法 设 S 是一个曲面 其方程为 F(x y z)0 S 是将曲面 S 沿 x 轴方向伸缩 倍所得的曲面 显然 若(x y z)S 则( x y z)S 若(x y z)S 则 zy) ,1(因此 对于任意的(x y z)S 有 ,1 即 是曲面 S的方程 0 ,xF例如，把圆锥面 沿 y 轴方向伸缩 倍 所得曲面的方程为22zayab 即 2)(zbx2zyx(1)椭圆锥面由方程 所表示的曲面称为椭圆
11、锥面 22zbyax圆锥曲面在 y 轴方向伸缩而得的曲面 把圆锥面 沿 y 轴方向伸缩 倍 所得曲面称为椭圆锥面 2zab 22zbyax以垂直于 z 轴的平面 zt 截此曲面 当 t0 时得一点(0 0 0) 当 t0 时 得平面 zt 上的椭圆 1)(2btax当 t 变化时 上式表示一族长短轴比例不变的椭圆 当| t|从大到小并变为 0 时 这族椭圆从大到小并缩为一点 综合上述讨论 可得椭圆锥面的形状如图 (2)椭球面由方程 所表示的曲面称为椭球面 122czbyax球面在 x 轴、y 轴或 z 轴方向伸缩而得的曲面72 向量及其加减法 向量与数的乘法5把 x2y2z2a2 沿 z 轴方
12、向伸缩 倍 得旋转椭球面 再沿 y 轴方向伸缩 倍 ac 1czayx ab即得椭球面 122cb(3)单叶双曲面由方程 所表示的曲面称为单叶双曲面 22zyax把 zOx 面上的双曲线 绕 z 轴旋转 得旋转单叶双曲面 再12cax 122czayx沿 y 轴方向伸缩 倍 即得单叶双曲面 b 122czbyax(4)双叶双曲面由方程 所表示的曲面称为双叶双曲面 122czbyax把 zOx 面上的双曲线 绕 x 轴旋转 得旋转双叶双曲面 再12czax 12cyzax沿 y 轴方向伸缩 倍 即得双叶双曲面 c 122czbya(5)椭圆抛物面由方程 所表示的曲面称为椭圆抛物面 zbyax2把
13、 zOx 面上的抛物线 绕 z 轴旋转 所得曲面叫做旋转抛物面 再沿 y 轴方ax2 zayx2向伸缩 倍 所得曲面叫做椭圆抛物面a zbyax2(6)双曲抛物面 由方程 所表示的曲面称为双曲抛物面 zbyx2双曲抛物面又称马鞍面 用平面 xt 截此曲面 所得截痕 l 为平面 xt 上的抛物线 2azby此抛物线开口朝下 其项点坐标为 当 t 变化时 l 的形状不变 位置只作平移 而 l 的),0 (2at项点的轨迹 L 为平面 y0 上的抛物线 2axz因此 以 l 为母线 L 为准线 母线 l 的项点在准线 L 上滑动 且母线作平行移动 这样得到的曲面便是双曲抛物面 72 向量及其加减法 向量与数的乘法6还有三种二次曲面是以三种二次曲线为准线的柱面 12byax2yxayx依次称为椭圆柱面、双曲柱面、抛物柱面
