1、2017 年山东省青岛市平度市高考数学二模试卷（文科）一、选择题：（本题共 10 个小题，每小题 5 分，共 50 分，在四个选项中，只有一项是符合要求的）1已知集合 M=x|x24x0，N=x|x|2，则 MN=（ ）A （2，4） B2，4） C （0，2） D （ 0，22在复平面内，复数 z= 2i3（i 为虚数单位）表示的点位于（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限3命题 p：a （0，1）（1，+） ，函数 f（x）=log a（x 1）的图象过点（2，0） ，命题 q：xN，x 3x 2则（ ）Ap 假 q 假 Bp 真 q 假 Cp 假 q 真 Dp 真 q 真4
2、如图中的三个直角三角形是一个体积为 35cm3 的几何体的三视图，则侧视图中的 h（ ）A5cm B6cm C7cm D8cm5已知 x，y 满足 ，且 z=2x+y 的最大值是最小值的 4 倍，则 a 的值是（ ）A4 B C D6在ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为 a，b，c，若 A=60，a= ， b+c=3，则ABC 的面积为（ ）A B C D27将函数 f（x）= cos（x ）图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变） ，再把图象上所有的点向右平移 1 个单位长度，得到函数 g（x）的图象，则函数 g（x）的单调区间是（ ）A4k+1，4k+3（kZ） B2
3、k+1，2k+3（kZ ） C2k+1，2k+2（k Z） D2k1，2k+2（kZ）8若直线 2mxny2=0（m 0，n0）过点（1，2） ，则 + 最小值（ ）A2 B6 C12 D3+29已知函数 f（x）= x2+cosx，f（x）是函数 f（x）的导函数，则 f（x）的图象大致是（ ）A B C D10点 F 为双曲线 C： =1（a ，b0）的焦点，过点 F 的直线与双曲线的一条渐近线垂直且交于点 A，与另一条渐近线交于点 B若 3 + =0，则双曲线 C 的离心率是（ ）A B C D二、填空题：（本题共 5 个小题，每小题 5 分，共 25 分.把每小题的答案填在答题纸的相应
4、位置）11在ABC 中，若 b=1，c= ，C= ，则 a= 12已知实数 x，y 满足不等式组 ，则 2x+y 的最大值为 13双曲线 的离心率为 2，则双曲线的焦点到渐近线的距离是 14已知长方形 ABCD 中，AB=4，BC=1，M 为 AB 的中点，则在此长方形内随机取一点 P，P 与 M 的距离小于 1 的概率为 15给出下列四个命题：命题“xR，x 20” 的否定是 “xR，x 20”；函数 y=f（x）的定义域为（，1）（1，+） ，其图象上任一点P（x，y）满足 x2y2=1，则函数 y=f（x）可能是奇函数；若 a，b0，1，则不等式 a2+b2 成立的概率是函数 y=log
5、2（x 2ax+2）在2，+）恒为正，则 实数 a 的取值范围是（ ，） 其中真命题的序号是 （请填上所有真命题的序号）三、解答题（共 6 个题，共 75 分，把每题的答案填在答卷纸的相应位置）16植树节期间我市组织义工参加植树活动，为方便安排任务将所有义工按年龄分组：第 l 组25，30） ，第 2 组30，35） ，第 3 组35，40） ，第 4 组40，45） ，第 5 组45，50，得到的部分频率分布表如下：区间 人数 频率第 1 组 25，30） 50 0.1第 2 组 30，35） 50 0.1第 3 组 35，40） a 0.4第 4 组 40，45） 150 b（1）求 a，
6、b 的值；（2）现在要从年龄较小的第 l，2，3 组中用分层抽样的方法随机抽取 6 人担任联系人，在第 l，2，3 组抽取的义工的人数分别是多少？（3）在（2）的条件下，从这 6 人中随机抽取 2 人担任本次活动的宣传员，求至少有 1 人年龄在第 3 组的概率17现有 A，B，C 三种产品需要检测，产品数量如表所示：产品 A B C数量 240 240 360已知采用分层抽样的方法从以上产品中共抽取了 7 件（I）求三种产品分别抽取的件数；（）已知抽取的 A，B，C 三种产品中，一等品分别有 1 件，2 件，2 件现再从已抽取的 A，B，C 三种产品中各抽取 1 件，求 3 件产品都是一等品的
7、概率18如图所示，正三棱柱 ABCA1B1C1 中，E，F 分别是 BC，CC 1 的中点（）证明：平面 AEF平面 B1BCC1；（）若该三棱柱所有的棱长均为 2，求三棱锥 B1AEF 的体积19已知数列a n中，a 1=2，且 （I）求证：数列a n1是等比数列，并求出数列a n的通项公式；（）设 bn=n（a n1） ，数列b n的前 n 项和为 Sn，求证： 1S n420已知椭圆 C： ，离心率为 （I）求椭圆 C 的标准方程；（）设椭圆 C 的下顶点为 A，直线 l 过定点 ，与椭圆交于两个不同的点 M、N，且满足|AM|=|AN|求直线 l 的方程21已知椭圆 C： + =1（a
8、b0）的左焦点 F1 与抛物线 y2=4 x 的焦点重合，过点 F1 的直线 l 交椭圆于 A，B 两点当直线 l 经过椭圆 C 的一个短轴端点时，与以原点 O 为圆心，以椭圆的离心率 e 为半径的圆相切（1）求椭圆 C 的方程；（2）是否在 x 轴上存在定点 M，使 为定值？若存在，请求出定点 M 及定值；若不存在，请说明理由2017 年山东省青岛市平度市高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：（本题共 10 个小题，每小题 5 分，共 50 分，在四个选项中，只有一项是符合要求的）1已知集合 M=x|x24x0，N=x|x|2，则 MN=（ ）A （2，4） B2，4） C
9、（0，2） D （ 0，2【考点】1D：并集及其运算【分析】先求出集合 M，N，再根据并集的定义求出即可【解答】解：集合 M=x|x24x0=（0，4） ，N=x|x|2=2.2MN= 2，4） ，故选：B2在复平面内，复数 z= 2i3（i 为虚数单位）表示的点位于（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【考点】A5：复数代数形式的乘除运算【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简复数 z，求出 z 在复平面内对应的点的坐标，则答案可求【解答】解：z= 2i3= ，z 在复平面内对应的点的坐标为：（1，3） ，位于第一象限故选：A3命题 p：a （0，1）（1，+） ，函数 f（
10、x）=log a（x 1）的图象过点（2，0） ，命题 q：xN，x 3x 2则（ ）Ap 假 q 假 Bp 真 q 假 Cp 假 q 真 Dp 真 q 真【考点】2K：命题的真假判断与应用；4N：对数函数的图象与性质【分析】根据指数函数的单调性及幂函数图象和性质，分析命题 p，q 的真假，可得答案【解答】解：当 x=2 时，log a（x1）=log a1=0 恒成立，故命题 p：a （0，1）（1，+） ，函数 f（x）=log a（x 1）的图象过点（2，0） ，为真命题；xN，x 3x 2 恒成立，故命题 q：x N，x 3x 2 为假命题，故选：B4如图中的三个直角三角形是一个体积为
11、 35cm3 的几何体的三视图，则侧视图中的 h（ ）A5cm B6cm C7cm D8cm【考点】L7：简单空间图形的三视图【分析】由已知中的三视图得几何体是三棱锥，计算出底面面积，由锥体体积公式，即可求出高【解答】解：由几何体的三视图得该几何体是三棱锥，其底面面积为 S= 56=15，高为 h，所以该几何体的体积为S= Sh= 15h=35，解得 h=7（cm） 故选：C 5已知 x，y 满足 ，且 z=2x+y 的最大值是最小值的 4 倍，则 a 的值是（ ）A4 B C D【考点】7C ：简单线性规划【分析】作出不等式组 对应的平面区域，利用 z 的几何意义，结合目标函数 z=2x+y
12、 的最大值是最小值的 4 倍，建立方程关系，即可得到结论【解答】解：作出不等式组 对应的平面区域如图：由 z=2x+y 得 y=2x+z，平移直线 y=2x+z，由图象可知当直线 y=2x+z 经过点 A 时，直线的截距最大，此时 z 最大，由 ，解得 即 A（1，1） ，此时 z=21+1=3，当直线 y=2x+z 经过点 B 时，直线的截距最小，此时 z 最小，由 ，解得 ，即 B（ a，a ） ，此时 z=2a+a=3a，目标函数 z=2x+y 的最大值是最小值的 4 倍，3=4 3a，即 a= 故选：D6在ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为 a，b，c，若 A=60，a= ，
13、b+c=3，则ABC 的面积为（ ）A B C D2【考点】HR：余弦定理；HP：正弦定理【分析】由余弦定理可得：a 2=（b+c） 22bc2bccosA，代入已知从而解得：bc的值，由三角形面积公式 SABC = bcsinA 即可求值【解答】解：由余弦定理可得：a 2=b2+c22bccosA=（b+c） 22bc2bccosA，代入已知有：3=93bc，从而解得：bc=2，S ABC = bcsinA= = ，故选：B 7将函数 f（x）= cos（x ）图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变） ，再把图象上所有的点向右平移 1 个单位长度，得到函数 g（x）的图象，则函
14、数 g（x）的单调区间是（ ）A4k+1，4k+3（kZ） B2k+1，2k+3（kZ ） C2k+1，2k+2（k Z） D2k1，2k+2（kZ）【考点】HJ：函数 y=Asin（x+ ）的图象变换【分析】根据图象的变换规则逐步得出函数解析式，利用正弦函数的单调性即可得解【解答】解：将函数 f（x）= cos（x ）图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变） ，得到函数解析式为：y= cos（ x） ；再把图象上所有的点向右平移 1 个单位长度，得到函数的解析式为：g（x）=cos （x1）；可得： ，由 2k 2k+ ，kZ，解得：4k+1x4k+3，k Z，可得函数 g（x
15、）的单调递减区间是：4k+1，4k+3，kZ ，由 2k 2k ，kZ，解得：4k1 x4k+1，kZ，可得函数 g（x）的单调递增区间是：4k1，4k+1 ，kZ ，对比各个选项，只有 A 正确故选：A8若直线 2mxny2=0（m 0，n0）过点（1，2） ，则 + 最小值（ ）A2 B6 C12 D3+2【考点】7G：基本不等式在最值问题中的应用【分析】根据直线 2mxny2=0（m0，n0）过点（1，2） ，建立 m，n 的关系，利用基本不等式即可求 + 的最小值【解答】解：直线 2mxny2=0（m0，n0）过点（1，2） ，2m+2n2=0，即 m+n=1， + =（ + ） （m
16、+n）=3+ + 3+2 ，当且仅当 = ，即 n= m 时取等号， + 的最小值为 3+2 ，故选：D9已知函数 f（x）= x2+cosx，f（x）是函数 f（x）的导函数，则 f（x）的图象大致是（ ）A B C D【考点】3O：函数的图象【分析】由于 f（x）= x2+cosx，得 f（x）= xsinx，由奇函数的定义得函数f（x）为奇函数，其图象关于原点对称，排除 BD，取 x= 代入 f（ ）= sin = 10，排除 C，只有 A 适合【解答】解：由于 f（x）= x2+cosx，f（x ）= xsinx，f（x）=f（x） ，故 f（x）为奇函数，其图象关于原点对称，排除 B
17、D，又当 x= 时，f（ ）= sin = 10，排除 C，只有 A 适合，故选：A10点 F 为双曲线 C： =1（a ，b0）的焦点，过点 F 的直线与双曲线的一条渐近线垂直且交于点 A，与另一条渐近线交于点 B若 3 + =0，则双曲线 C 的离心率是（ ）A B C D【考点】KC：双曲线的简单性质【分析】联立直线方程解得 A，B 的坐标，再由向量共线的坐标表示，解得双曲线的 a，b， c 和离心率公式计算即可得到所求值【解答】解：双曲线 C： =1 的渐近线方程为 y= x，设 F（c，0） ，由 OAFA，且 OA 的方程为 y= x，OB 的方程为 y= x，直线 AB 的方程为
18、 y= （ xc） ，由 解得 A（ ， ） ，由 解得 B（ ， ）由 3 + =0，即 3 + = ，即 3（ c， ）+（ c， ）=0可得 3（ c）+ c=0，即 3a2+ =4c2，由 b2=c2a2，化简可得 3a45a2c2+2c4=0，即（a 2c2） （3a 22c2）=0，即 a2=c2， （舍）或 3a2=2c2，即 c2= a2，c= a= a，可得 e= = 故选：B 二、填空题：（本题共 5 个小题，每小题 5 分，共 25 分.把每小题的答案填在答题纸的相应位置）11在ABC 中，若 b=1，c= ，C= ，则 a= 1 【考点】HT ：三角形中的几何计算【分析
19、】先根据 b，c ， c，由正弦定理可得 sinB，进而求得 B，再根据正弦定理求得 a【解答】解：在ABC 中由正弦定理得 ，sinB= ，bc，故 B= ，则 A=由正弦定理得a= =1故答案为：112已知实数 x，y 满足不等式组 ，则 2x+y 的最大值为 5 【考点】7C ：简单线性规划【分析】作出可行域，平行直线可得直线过点 A（ 3，0）时，z 取最大值，代值计算可得【解答】解：作出不等式组 ，所对应的可行域（如图阴影） ，变形目标函数 z=2x+y 可得 y=2x+z，由 ，可得 A（2，1）平移直线 y=2x 可知，当直线经过点 A（2，1）时，z 取最大值，代值计算可得 z
20、=2x+y 的最大值为：5故答案为：513双曲线 的离心率为 2，则双曲线的焦点到渐近线的距离是 3 【考点】KC：双曲线的简单性质【分析】求得双曲线的 a=3，由离心率公式可得 c=6，解得 b，求出渐近线方程和焦点，运用点到直线的距离公式，计算即可得到所求值【解答】解：双曲线 的 a=3，c= ，由 e= =2，即有 c=2a=6，即 =6，解得 b=3 渐近线方程为 y= x，即为 x3y=0，则双曲线的焦点（0，6）到渐近线的距离是 =3 故答案为：3 14已知长方形 ABCD 中，AB=4，BC=1，M 为 AB 的中点，则在此长方形内随机取一点 P，P 与 M 的距离小于 1 的概
21、率为 【考点】CF：几何概型【分析】本题利用几何概型解决，这里的区域平面图形的面积欲求取到的点P 到 M 的距离大于 1 的概率，只须求出圆外的面积与矩形的面积之比即可【解答】解：根据几何概型得：取到的点到 M 的距离小 1 的概率：p= = = 故答案为： 15给出下列四个命题：命题“xR，x 20” 的否定是 “xR，x 20”；函数 y=f（x）的定义域为（，1）（1，+） ，其图象上任一点P（x，y）满足 x2y2=1，则函数 y=f（x）可能是奇函数；若 a，b0，1，则不等式 a2+b2 成立的概率是函数 y=log2（x 2ax+2）在2，+）恒为正，则 实数 a 的取值范围是（
22、 ，） 其中真命题的序号是 （请填上所有真命题的序号）【考点】2K：命题的真假判断与应用【分析】根据含有量词的命题的否定进行判断根据函数奇偶性的定义和性质结合双曲线的图象进行判断根据几何概型的概率公式进行判断利用不等式恒成立，利用参数分离法进行求解判断即可【解答】解：命题“ xR，x 20” 的否定是“xR，x 20” ；故正确，函数 y=f（x）的定义域为（，1）（1，+） ，其图象上任一点P（x，y）满足 x2y2=1，则函数 y=f（x）可能是奇函数；正确，当点 P 的坐标满足 y= 时，函数 f（x）为奇函数故正确，若 a，b0，1，则不等式 成立的概率是 如图所以错误因为函数 y=l
23、og2（x 2ax+2）在2，+）上恒为正，所以在2，+）上 x2ax+21 恒成立，即：在2，+）上 恒成立，令 ，因为 x2，所以 ，所以 g（x）在2，+）上为增函数，所以：当 x=2 时，g（x）的最小值为 g（2）= ，所以 则实数 a 的取值范围是（ ， ） 故正确，故答案为：三、解答题（共 6 个题，共 75 分，把每题的答案填在答卷纸的相应位置）16植树节期间我市组织义工参加植树活动，为方便安排任务将所有义工按年龄分组：第 l 组25，30） ，第 2 组30，35） ，第 3 组35，40） ，第 4 组40，45） ，第 5 组45，50，得到的部分频率分布表如下：区间 人
24、数 频率第 1 组 25，30） 50 0.1第 2 组 30，35） 50 0.1第 3 组 35，40） a 0.4第 4 组 40，45） 150 b（1）求 a，b 的值；（2）现在要从年龄较小的第 l，2，3 组中用分层抽样的方法随机抽取 6 人担任联系人，在第 l，2，3 组抽取的义工的人数分别是多少？（3）在（2）的条件下，从这 6 人中随机抽取 2 人担任本次活动的宣传员，求至少有 1 人年龄在第 3 组的概率【考点】B7 ：频率分布表【分析】 （1）根据频率= 求出参加活动的总人数，再求 a、b 的值；（2）计算分层抽样的抽取比例，用抽取比例乘以每组的频数，可得每组抽取人数；
25、（3）利用列举法写出从 6 人中随机抽取 2 人的所有基本事件，再用对立事件的概率公式计算对应的概率即可【解答】解：（1）根据题意知，500.1=500，所以共有 500 人参加活动；a=5000.4=200，b= =0.3；（2）因为第 1，2，3 组共有 50+50+200=300 人，利用分层抽样在 300 名员工中抽取 6 人，每组抽取的人数分别为：第 1 组的人数为 6 =1，第 2 组的人数为 6 =1，第 3 组的人数为 6 =4，第 1，2，3 组分别抽取 1 人，1 人，4 人；（3）由（2）可设第 1 组的 1 人为 A，第 2 组的 1 人为 B，第 3 组的 4 人分别
26、为 C1，C 2，C 3，C 4，则从 6 人中抽取 2 人的所有可能结果为：（A，B） ， （A，C 1） ， （A，C 2） ， （A，C 3） ， （A，C 4） ，（B， C1） ， （ B，C 2） ， （B，C 3） ， （B，C 4） ，（C 1， C2） ， （ C1，C 3） ， （ C1，C 4） ，（C 2， C3） ， （ C2，C 4） ， （ C3，C 4） ，共有 15 种其中 2 人年龄都不在第 3 组的有：（A，B） ，共 1 种；所以至少有 1 人年龄在第 3 组的概率为 P=1 = 17现有 A，B，C 三种产品需要检测，产品数量如表所示：产品 A B C
27、数量 240 240 360已知采用分层抽样的方法从以上产品中共抽取了 7 件（I）求三种产品分别抽取的件数；（）已知抽取的 A，B，C 三种产品中，一等品分别有 1 件，2 件，2 件现再从已抽取的 A，B，C 三种产品中各抽取 1 件，求 3 件产品都是一等品的概率【考点】CC ：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；B3：分层抽样方法【分析】 （I）设出 A、B 产品均抽取了 x 件，利用分层抽样时对应的比例相等，列出方程求出 x 的值即可；（）对抽取的样本进行编号，利用列举法求出对应的事件数，计算概率即可【解答】解：（I）设 A、B 产品均抽取了 x 件，则 C 产品抽取了 72x 件
28、，则有： = ，解得 x=2；所以 A、B 产品分别抽取了 2 件，C 产品抽取了 3 件；（）记抽取的 A 产品为 a1，a 2，其中 a1 是一等品；抽取的 B 产品是 b1，b 2，两件均为一等品；抽取的 C 产品是 c1，c 2，c 3，其中 c1，c 2 是一等品；从三种产品中各抽取 1 件的所有结果是a1b1c1，a 1b1c2，a 1b1c3，a 1b2c1，a 1b2c2，a 1b2c3，a2b1c1，a 2b1c2，a 2b1c3，a 2b2c1，a 2b2c2，a 2b2c3共 12 个；根据题意，这些基本事件的出现是等可能的；其中 3 件产品都是一等品的有：a1b1c1，
29、a 1b1c2，a 1b2c1，a 1b2c2共 4 个；因此 3 件产品都是一等品的概率 P= = 18如图所示，正三棱柱 ABCA1B1C1 中，E，F 分别是 BC，CC 1 的中点（）证明：平面 AEF平面 B1BCC1；（）若该三棱柱所有的棱长均为 2，求三棱锥 B1AEF 的体积【考点】LF ：棱柱、棱锥、棱台的体积；LY：平面与平面垂直的判定【分析】 （I）由 BB1平面 ABC 可知 BB1AE，又 AEBC 可得 AE平面BCC1B1，从而平面 AEF平面 B1BCC1；（II）由（1）知 AE 为棱锥 AB1EF 的高于是 V =V =【解答】解：（I）BB 1面 ABC，
30、AE 平面 ABC，AE BB1，E 是正三角形 ABC 的边 BC 的中点，AE BC，又BC平面 B1BCC1，B 1B平面 B1BCC1，BCBB 1=B，AE 平面 B1BCC1，AE 平面 AEF，平面 AEF平面 B1BCC1（II）三棱柱所有的棱长均为 2，AE= ，S =22 = ，由（I）知 AE平面 B1BCC1 19已知数列a n中，a 1=2，且 （I）求证：数列a n1是等比数列，并求出数列a n的通项公式；（）设 bn=n（a n1） ，数列b n的前 n 项和为 Sn，求证： 1S n4【考点】8E：数列的求和；88：等比数列的通项公式【分析】 （I）利用递推关系
31、变形可得 an1= ，即可证明；（II）利用“错位相减法”、等比数列的前 n 项和公式、数列的单调性即可证明【解答】证明：（I） ，又 a11=10数列a n1是首项为 1，公比为 2 的等比数列 ，得 （II） ，设 则 得： ， ，又 ，数列S n是递增数列，故 SnS 1=1，1S n420已知椭圆 C： ，离心率为 （I）求椭圆 C 的标准方程；（）设椭圆 C 的下顶点为 A，直线 l 过定点 ，与椭圆交于两个不同的点 M、N，且满足|AM|=|AN|求直线 l 的方程【考点】K4：椭圆的简单性质【分析】 （I）由离心率公式和点满足椭圆方程，及 a，b，c 的关系，解方程可得 a，b，
32、进而得到椭圆方程；（）讨论直线的斜率不存在和存在，设出直线的方程为 y=kx+ （k0） ，与椭圆方程联立，运用韦达定理，再由|AM|=|AN|，运用两点的距离公式，化简整理可得 k 的方程，解方程可得 k，进而得到所求直线方程【解答】解：（I）由题意可得 e= = ，+ =1，且 a2b2=c2，解得 a= ， b=1，即有椭圆的方程为 +y2=1；（）若直线的斜率不存在，M，N 为椭圆的上下顶点，即有|AM|=2，|AN|=1 ，不满足题设条件；设直线 l：y=kx+ （k0） ，与椭圆方程 +y2=1 联立，消去 y，可得（1+3k 2）x 2+9kx+ =0，判别式为 81k24（1+
33、3k 2） 0，化简可得 k2 ，设 M（x 1，y 1） ，N（x 2，y 2） ，可得 x1+x2= ，y1+y2=k（x 1+x2）+3=3 = ，由|AM|=|AN |，A（0， 1） ，可得= ，整理可得，x 1+x2+（y 1+y2+2） （ ）=0， （y 1y 2）即为 +（ +2）k=0，可得 k2= ，即 k= ，代入成立故直线 l 的方程为 y= x+ 21已知椭圆 C： + =1（ab0）的左焦点 F1 与抛物线 y2=4 x 的焦点重合，过点 F1 的直线 l 交椭圆于 A，B 两点当直线 l 经过椭圆 C 的一个短轴端点时，与以原点 O 为圆心，以椭圆的离心率 e
34、为半径的圆相切（1）求椭圆 C 的方程；（2）是否在 x 轴上存在定点 M，使 为定值？若存在，请求出定点 M 及定值；若不存在，请说明理由【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合问题；K3：椭圆的标准方程【分析】 （1）求得抛物线的焦点坐标，可得 c= ，即 a2b2=3，求得直线经过（c，0）和（0，b）的方程，运用直线和圆相切的条件：d=r，结合离心率公式可得 b，a，进而得到椭圆方程；（2）假设直线 l 的斜率存在，设直线的方程为 y=k（x+ ） ，代入椭圆方程x2+4y2=4，可得 x 的方程，运用韦达定理，设出 M（m ，0） ，运用向量的数量积的坐标表示，化简整理，结合定值，可得 m
35、，以及向量数量积的值；再讨论直线 l 的斜率不存在，求得 A，B，验证成立【解答】解：（1）抛物线 y2=4 x 的焦点为（ ，0） ，由题意可得 c= ，即 a2b2=3，由直线 l 经过（c，0）和（0，b） ，可得直线 l：bxcy+bc=0，直线 l 与原点 O 为圆心，以椭圆的离心率 e 为半径的圆相切，可得=e= = ，解得 b=1，则 a=2，即有椭圆的方程为 +y2=1；（2）当直线 l 的斜率存在时，设直线的方程为 y=k（x+ ） ，代入椭圆方程 x2+4y2=4，可得（1+4k 2）x 2+8 k2x+12k24=0，设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，可得 x1+x2= ，x 1x2= ，设 M（m ，0） ， =（mx 1， y1） ， =（mx 2， y2） ， （mx 1） （mx 2）+y 1y2=m2m（x 1+x2）+x 1x2+k2（x 1+ ） （x 2+ ）=m2+（ k2m） （x 1+x2） +（1+k 2）x 1x2+3k2=m2+（ k2m） （ ）+（1+k 2） +3k2= ，要使 为定值，则 =4，解得 m= ，即有 = 当直线 l 的斜率不存在时，A（ ， ） ，B（ ， ） ，=（ ， ） ， =（ ， ） ，可得 = 则在 x 轴上存在定点 M（ ，0） ，使得 为定值 2017 年 5 月 22 日
