1、黑体辐射：假设恒星可按绝对黑体处理，估算恒星表面温度为多少时，恒星发出的辐射可使其周围的氢电离。 （维恩位移定律： ，氢原子第一电离能：3max2.910KT13.6eV）Solution：根据氢原子的玻尔理论，氢原子的电离能是 13.6eV，即：1913.60EhJ， ， ，1534.s. cT87153.0.90m，即恒星表面温度为 3 万开尔文数量级时，可使其周围的氢原472910.2K.T子电离。波粒二象性：我们一般用 X 射线衍射技术或电子衍射技术探测晶体的微观结构，已知晶体中相邻原子的间距为 1 埃（ 米）左右， （i）求能够成功探测晶体结构 X 射线的频10率是多少？（ii）能够
2、成功探测晶体结构高能电子的能量是多少？解：若能成功探测晶体结构，则 X 射线及电子物质波波长应也在 1 埃左右，10m光速： ，频率为： ，83./cs18/3.0cHz普朗克常数： ，能量：346.10hJ 52hJ，/p34150seVs，电子质量： ，2610h319.emkg电子速度： ，相对论效应可忽略。61/7.evs电子能量：217.405epEJeV薛定谔方程：质量为 的一个粒子在边长为 的立方盒子中运动，粒子所受势能ma由下式给出： ；（i）列出定态(,)Vxyz 0,;0,;,(,)xyzaVxyzothers薛定谔方程，并求系统能量本征值和归一化波函数（10 分） ；（i
3、i）假设有两个电子在立方盒子中运动，不考虑电子间相互作用，系统基态能是多少？并写出归一化系统基态波函数（提示：电子自旋为 ，是费米子） ； （iii）假设有两个玻色子在立方盒子中运动，不考12虑玻色子间相互作用，系统基态能是多少？并写出归一化系统基态波函数；解：（2.i）定态薛定谔方程： 2,xyzExyzm分离变量： ，,xyzXxYZxyz； ；222xyzdEmYdZ2sini2sinxyzaYyZza222xxyyzzEnana3/,sinsiiyx zxxyza，22mnlxyzE,1,23.xyzn（2.ii）电子是费米子，波函数应是反对称的： 121212,;,ASAzz zrs
4、rs由于自旋部分波函数可取反对称，轨道部分波函数可以取对称的，即轨道部分可取相同的态；基态： ，基态波函数：2013Ema1211231 221212,;,sinisinisini2A Azzzzzzrxyzxyzyzaaa （2.iii）玻色子可占据相同态，基态： ，基态波函数：2013Ema121123 1222,sinisinisiniSrxyzxyzxyzaaaa有限深势阱：粒子在如图深度为 ，宽度为 的有限深势阱中运动。0Va1（20 分）求当阱口恰好有一个束缚态能级（即： ）的条件；0EV2（10 分）不考虑归一化，定性地画出此时波函数的曲线。解：【1】粒子位于阱内时，波函数为正弦
5、或余弦型的，位于阱外时，由于我们考虑的是束缚态，所以是 e 指数衰减型的（当 x 趋于正负无穷时，波函数趋于零） 。如果考虑阱口恰好有一个束缚态能级，相当于指数衰减因子是趋于零的，即阱外波函数趋于常数，。0由于我们考虑的是一维具有对称性的势阱，即： ，波函数应具有确定的奇Vx偶性，即：波函数应为奇函数或偶函数。 （这里波函数未写成归一化形式），0cosinxk002,maxk边界条件： 连续， 连续00sin,2,46.co,35.ka即阱口恰好出现束缚能级的条件是： ，即： 。由于一0,12,3.kan20nVma维有限深势阱中至少有一个束缚态，因此当 时，势阱中只有一个束缚态（是偶02Vm
6、宇称的） 。【2】定性画出波函数曲线：阱内为正弦或余弦曲线，阱外为直线，并使阱内阱外曲线平滑地连接起来。势垒散射：质量为 的电子以动能 由左向右入射到高度为 （ ）的台阶势上，在台阶m0EV0V势的跃起处考虑还存在 势： ， （ ）的散射，即电子所受势能为()x，这里 ，为单位阶跃函数；（i）列出定态薛定谔0()()Vxx,10方程及波函数导数 在 两侧的跃变条件；（ii）求电子在 处的透射系数00x，和反射系数 ；outinjTrefinjR解：（3.i）定态薛定谔方程： ；20()dVxEm化简为： ，在 两侧邻域积分： ，02()EVx ,0dx，即 在02 2()() ()mdx xd
7、 两侧不连续；0（3.ii）在 的区域，定态薛定谔方程可分为 ， 两个区域考虑：02202,()0,mEkxV其解可表示为：，求导：(),0ikxikxeAB ,0,ikxikxeAB根据 处的 连续，和 跃变条件得到：0，即：21AmikBiB21AkmBi消去 ： ，即：21ki122ki所以： 122122kk kmiAmi 根据粒子流密度公式： ，*jx22,inreoutkkjjAjBmm反射系数：222112222kkrein kk mijR 透射系数： 2221outinkjTBkm可以验证：221221kkkRT 算符运算：在坐标表象中位置算符： ，动量算符： 。xxpi1（1
8、0 分）计算： ,?xp2（10 分）利用 的结果，计算角动量算符对易关系：， ，,?xyL,?yzL,?zx3（10 分）利用 ， ， 的结果，计算 （xyz,zxL2,?zL）22xyz解：【1】 ；【2】 ， ， ；【3】 ,xpi,xyzi,yzxi,zxyL2,0zL角动量：已知角动量本征值问题： ， ，定22,1,Llmll,zLlml义： ， ， 可解释为升算符，使 本征值增加 ， 可解释xyLixyizL为降算符，使 本征值减少 。 （i） 和 是否为厄密算符；（ ii）计算z（iii）计算：,?lml,?lmLl ,?Llm,?l解： ，2xyxyzLii2 2,11()1l
9、ll l lm 2xyxyziiLL2 2 2,lmLllmlml因此： ，1, 1,lm角动量：对于 的共同本征态 ， （i）计算 ， ， ，2,zL,lm?xLy2?xL；（ii）并验证不确定关系： 。2?y221,xyxySolution： ，22,1,Llmll,zLll，,xyzi,yzyzyxi0zi因此： 0xyL2xyzyxyzxzyxyxzyzyxxziLLLLiL 因此： ；利用：2xy 2221xyzl1Llm222 2xxxxxLL类似地： yy，22 21xyLlm21,xymL这里： ，因此：21ll220lll时等号成立。因此：ml21,xyxyLL角动量：角动量
10、为 1（ ） ， 的共同本征函数是：l2,zL10133sin88co433sin88iixiyYerzxiyYer1（15 分）求 的共同本征函数，并把它们表示为 的线性叠加。2,xL101,Y2（15 分）对于 ，求力学量 的可能测量值及相应概率。10YxL解：【1】作如下坐标变换： ，则 x 轴相当于 z 轴，因此：,yzxr1 1101101101382243822yizYYrxyizYYr 选取适当的相位因子后， 的共同本征函数可重新写为：,xL111010111012222YY【2】根据上问结果， ，因此力学量 的可能测量值是 ，概率均为101YxL50%。线性谐振子：一维线性谐振
11、子的哈密顿： ， 与 满足对易关系：22pmxHp；引入算符： ，线性变换：,xpi1,mQxP。计算：(i)对易关系：11,22aiPai,?QP,a；(ii)将 用 表示，并求出基态能及能级的一般表达形式。,?,?H,a解：（1） ,QPi,1a,a（2） ， ，222pmxH12nE0,12.n线性谐振子： 。使用占有数表象，哈密顿可写为：A22pxm。这里 是湮灭算符， 是产生算符：A12HaaaAA,2mimixpxp1（10 分）把位置算符 ，动量算符 表示为产生算符 ，湮灭算符 的形式；aa2（10 分）考虑一维线性谐振子的基态 ，使用占有数表象求： ， ，0?xp， ；2?x2
12、p3（10 分）使用占有数表象分别对一维线性谐振子的基态和激发态，验证它们都满足海森堡不确定关系 。A224xp【1】 ,22maiam【2】 220|0|xpm【3】基态： 2222, 4mxpxpA激发态： 2222 2111, , 4nnnx xm 泡利矩阵：单位向量 位于 x-z 平面上与 z 轴成 角， （i）求： 的本征值及本征nn函数（取 表象） 。 （ii）对自旋向上的态 ，求 的可能测量值及相应概率。z1zSolution： ，sin,0cocosiin本征方程： ，本征方程有非零解的条件：cosiniab，解为： ；det 0sincos1对于 ， ，对于 ，12sin1s
13、in2co在 表象下， 。 的可能测量值为 ；z10zn取+1 的几率是： ，取-1 的几率是： 。21|cos21|sin占有数表象：假设 是两种湮灭算符，都满足玻色型对易关系： ，,ab ,1a， 之间无相互作用，即： 。 （i）定义：,1b ,0abb， ， ；求证： ，S2zSzS。 （ii）定义算符： ，求证：,2zN2211zSSSolution： 2 22, ,2zSababababS 2 22, ,z a 22 2, zSababababbS222222222 241144 14SabababababbaabNab两能级系统：哈密顿为： ，在 表象中， 和 的矩阵表示分别为：0
14、H00H， 。用矩阵对角化方法严格求解 的本征值和本征态。102EHb解：本征方程： ，即：E120Eb有非零解的条件为： 12detHb解得： 12124EE将 代入本征方程，并利用波函数归一化条件，可求出两本征值对应的本征态。假设 ，定义：1212Rb， ， ，E21/221R1/221R， ， ，E2两电子波函数：考虑两个电子组成的系统。它们空间部分波函数在交换电子空间部分坐标时可以是对称的或是反对称的。由于电子是费米子，整体波函数在交换全部坐标变量（包括空间部分和自旋部分）时必须是反对称的。 （i）假设空间部分波函数是反对称的，求对应自旋部分波函数。总自旋算符定义为： 。求： 和 的本
15、征值；（ii ）假设12Ss2Sz空间部分波函数是对称的，求对应自旋部分波函数， 和 的本征值；（iii ）假设两电z子系统哈密顿量为： ，分别针对（i） （ii）两种情形，求系统的能量。12HJs1）自旋三重态：空间部分波函数是反对称的，自旋部分应对称： 12s对应总自旋平方 本征值为：2S2对应总自旋第三分量 本征值分别为：z,02）自旋单态：空间部分波函数是对称的，自旋部分应反对称： 12A对应总自旋平方 本征值为：02S对应总自旋第三分量 本征值分别为：0z3）哈密顿： ，利用：12HJs2211Sss针对自旋三重态： ，对应能量：21234s24TJE针对自旋单态： ，对应能量：22
16、120 23S自旋轨道耦合：考虑在二维电子系统中存在自旋轨道耦合： 。 是0soH0二维自由电子哈密顿量： ，假设电子的轨道运动被限制在 平面内。A20yxpHmxy表示电子自旋运动与轨道运动的耦合： 。 （泡利矩阵：soH Axysoyp， ， ， 。 ）01x0yi10z10电子波函数可表示为自旋运动波函数与轨道运动波函数的直积形式：。 （A 为二维电子系统的面积） ，,zzkssxyikikreA， 。102z012z1（10 分）对哈密顿 求解本征值问题，并说明对 ，能量是简并的。0H2zs2（20 分）对哈密顿 求解本征值问题，求出本征值及对应本征函数。Aso解：【1】 ， ，1xy
17、ikikre ,0k0,k，显然能量 是简并的。2020kmH2km【2】令： 0, akakbabk，22yxyxpipmkEkbbi，解出：22det 0yxyxkEkiim， ， ，2220xykEk2kE2kkiietanxky三自旋系统：考虑三个自旋 1/2 组成的系统，哈密顿为： ， 。 （i ）12313HJSS0J利用： ，求三自旋系统的能级和21312313SS简并度；（ii）假设三自旋系统中 1、2 两自旋组成自旋单态，第 3 个自旋向上或向下；波函数可表示为直积的形式：， ；定义：112123212123，求： ， ， ，123toSS11|?toS22|?toS11|?
18、ztoS， ， 2|?ztH2Solution：（i）两自旋 1/2 耦和，总自旋为：1，0；三自旋耦 1/2 和，总自旋为：3/2，1/2三自旋 1/2 共有 8 种直积表示的基矢，总自旋 3/2 对应 4 个不同的量子力学态，剩下还有4 个态对应总自旋为 1/2。能级： 223,9412,t JfJES(ii) ， ，222113|4toto11|2ztoS2|ztoS212HJ厄米算符：请证明（1）厄密算符的本征值是实数；（2）不同本征值对应的本征矢相互正交。证：假设 A 为厄米算符， ，a*aAa，如果 ， ，则 ，即 为实*0a 0*a数。如果 ，则 ，即不同本征值对应本征矢相互正交
19、。a电子在均匀磁场中运动，假设磁场沿正 z 方向： ，电子自旋为 1/2，质量为 ，zBem电荷为 ，磁矩为： ， （ ） 。自旋用泡利矩阵： 表示；e2segmS2s 2S， ，01x0yi10z（1）求自旋在均匀磁场中的哈密顿量，并写出自旋的运动方程： ；5 分iHt（提示：磁矩在均匀磁场中的能量： ）mUB（2）在 表象中求解，自旋波函数可表示为： ，并z 10abab满足归一条件： ；假设 ， ，求时刻 ，波函数 的表达21ab0t12tt式；10 分（3）求时刻 ，自旋的平均值： ；t2tttttS（即求： ， ， ）10 分xSytz（4）求时刻 ，自旋延 y 方向取值为 的几率是多少？5 分t 2解：(1) ，（ 是玻尔磁子）BitBem(2) ，令 ， ，0BaadibbtBL11,22LLit itatebe(3) *20124cos24 itititxxititit ititLSaeeete*2024sin24 ititityyititit ititLaeSbeete * 102414 itititz zitititaeSbeee (4)假设时刻 ，自旋延 y 方向取值为 的几率是 ，则取 的几率是 ，满足：t 2P21P，解出：sin12LtP1sinLt
