1、1.热辐射的峰值波长与辐射体温度之间的关系被维恩定律表示： ，其中b=2.8978bTm，求人体热辐射的峰值波长（设体温为37 ）Km310 c解：T=273.15+37=310.15K 9.34um15.3089723Tb2宇宙大爆炸遗留在宇宙空间的均匀各向同性的背景热辐射相当于 T=2.726K黑体辐射。此辐射的峰值波长是多少？在什么波段？解： 1.06mm726.10893Tb可得在红外线波段3.波长为 的 X射线光子与静止的电子发生碰撞。在与入射方向垂直的方向上nm01.观察时，散射 X射线的波长为多大？碰撞后电子获得的能量是多少 eV？解： =2)cos(0h m12831403.0
2、962nm124343. Hzcv 19998 7.)0()1( 电子碰撞后获得的能量等于光子损耗的 eVJhE 5141934 0.83.)76.2(06. 4.在一束电子束中，但电子的动能为 E=20eV，求此电子的布罗意波长 解： 21mVcsmmE/10652.10.9639JP2463105.0.9Ah75.7.24.26145.1.设归一化波函数： （ ） ，a 为常数，求归一化常数 A。)(x21xae解： dx2)(2dAaA = =2dxea21dxeAa21a22.设归一化波函数： （0xa） ，n 为正整数， a为常数，求归一化)(n)si(n常数 A。解： andx02
3、)(adx02)(siadxa21)(si026.自由粒子波函数为 ，其中 和 是粒子的动量和能量， 和 t空),(tr)(EtrpiAer间和时间变量， 普朗克常数，A 是归一化常数。试建立自由粒子波函数所满足的方程。解： (1) Eit22xP22yP22zP（2）222 zyxrE= （3）mp由式（1）（2）（3）得 2rmit22mti7.设一个微观粒子的哈密顿算符的本征方程为 该粒子的初始波函数)()(xEHnn为 ， 设 和 是实数，求任意时刻的波函数)()()0,(21xCxnx及粒子的几率密度tn解： )ep(),( tEixxnndxCn)0,( dxCn)(1 dxCn)
4、(2=)21(02且任意时刻的波函数 = =,(tx),(0txnn0)exp()tEiCnnep11ti)(22ti粒子的几率密度 ),(,),(2txtx=ep11EiC)ep(22tEiC)exp()11tEiC)()22tx）（1）（ x1 )(cos)(21212 tx8.宽度为a的一维无限深势阱中粒子的本征函数为 ,求.)32,1)(sin)(xaxn证本征函数的正交性： anmdx00)(证明： .3,21si(2)(xmand0adxanx0)si()idxanmma 0 )cos(co(1当n=m时，原式 12i12s 00 a nxadn当n m时，原式 = )s()i(0
5、ain1sin1mm=09.原子核内的质子和中子可以粗略地当成处于无限深势阱中而不能逸出，它们在核中可以认为是自由的。按一维无限深势阱估算，质子从第一激发态(n = 2)跃迁到基态(n = 1)时，释放的能量是多少MeV? 核的线度按 m计算。140.a解： Exm2)2(2Ekx泛定方程 B=0，0)(2akan(n=,2,3)mnE2a221ma23eV619312144 0.6.0.98)0.(8)6.( 10.理想金属细杆中的电子可以当成处于一维无限深势阱中而不能逸出，它们在细杆中可以认为是自由的。设细杆的长度为a,电子的初始波函数为 (0xa,A为归Axfx)(0,(一化常数)，试求
6、任意t 时刻电子的波函数 。),(tx解： 30220 1),( aAdxxaa xa3)0,()ep(, tEiCtxnnn 由一维无限深势阱可知 ，man2)sin(2)(xax故 anndxC0)0,( nd6)1(co6)sin(602 ( )exp()i()1(3),(),(1 tEinaatxtx nnn man211.设一个微观粒子的哈密顿不含时间，其本征方程为 ，如果粒子的)()(xEHnn初态为 ，求粒子在任意时刻的波函数及几率密度。)(xk解：因为哈密顿不含时间，故 )ep(),( tEiCt nnn )(10(kdxnkkn粒子在任意时刻的波函数为 )exp(),(,1
7、tEitxt kkn几率密度为 )2ep)(),(2tEixtxkk12.设谐振子处于基态( n=0)：1. 写出其波函数的表示式；2.由哈密顿算符的本征方程及基态波函数计算基态能量。解：1、 )(21exp()(nnnHA21)!(nA13.设想一个质量为m =1的小珠子悬挂在一个小弹簧下面做振幅为 =1的简谐振动。已知弹簧的劲度系数为=.1N/m。按量子理论计算，此弹簧振子的能级间隔多大？与它现有的振动能量对应的量子数n是多少？由此可以看出宏观谐振子与量子谐振子的关系是什么？解： Hzk10.JE334105.26. 能 级 间 距E JkA82 105).0(11相应的量子数 25310
8、.2n所以宏观谐振子与量子谐振子的关系是105.183E25所以当n 时，宏观谐振子与量子谐振子相一致14.H2分子中原子的振动相当于一个谐振子，其等效劲度系数为=1.13 N/m，质量为m 310=1.67 kg。求此分子的能量本征值（以eV为单位）。当此谐振子由某一激发态跃迁2710到相邻下一个激发态时，所发射的光子的能量和波长各是多少？解： Hzmk142730.816.)2(nE此分子的能量本征值 eVJE 27.013.402.8105.2210 34 所发射的光子的能量为 eV3.91.8.324cvm215.证明：坐标与动量算符构成的算符 不是厄密算符，已知 。xpxpx证明：
9、,xxp不是厄密算符pxx)(x16.求角动量 Z 分量 的本征方程： ，给出本征函数和本征值。iLz zli提示：利用周期性边界条件： )2()0解： zli用 分 离 变 量 法)expzlic由归一化条件 1|20d21)exp(21zli利用周期性边界条件： )(),.)210(21)2exp( mlmlli zzz 本 征 值本征函数 )exp()(im17.氢原子处于基态（n = 1，l = 0, m = 0）：1.写出其本征函数；2.写出电子的径向几率密度；3.求电子的最可几半径；4.说明量子理论与玻尔理论的区别。解：1、本征函数： )arexp(-a14)rexp(-a2),(
10、r)YR233010 2、电子的径向几率密度 )exp(-24)W()d( )ar()dexp-24)dar(-)r)da2rexp(-4r)r(,)r(-a23210310 径 向 几 率 密 度 ： 径 向 几 率 ： 从 3、电子的最可几半径： )2exp(8)(8d令 r=10)(d0a4、量子理论与波尔理论的区别：波尔理论认为电子处于半径为a的轨道半径而量子理论认为电子可以出现在整个空间中，在半径为a的地方出现的几率最大18.设氢原子的初始波函数为： 求任意时刻的波函数),(21)0,(210r。),(tr解：任意时刻波函数为 )exp(21)exp(21)(),( 21)r,020
11、0 00tEitEitirctnnn 19.设厄密算符 F 有正交完备集 ，相应的本征方程为 ，则n| nnF|任态矢量可以按 展开为 。n| nc|（1） 称为什么？ 表示什么？（2）证明 ；nc|c |nc（3）证明算符 F 在态中的期待值为 ：F2|解：（1） 称为几率幅， 表示在任意态 中发现本征态 的几nc2|nc)(x)(xn率。（2） n| nnmmm cc| |nc（3） |F|mnFnm|=nc|*= n2|20.设一个质量为 m的粒子在一维无限深势阱中运动，势阱表示为：),0()axxV(1）计算坐标算符的期待值；（2）计算动量算符的期待值；（3）设阱内粒子的状态为 ,求归
12、一化常数 A.Ax)(解：（1） |x a0 a02adx)nxsi(2)dansi(2nsi2 （2） |xp)i(dx)ai(i-0= =0nni02)cos()si(（3）归一化条件： 3003221)( aAadxAxaa21设谐振子的初态为基态和第一激发态的叠加态： 10|4|)(| 1、求出归一化常数A；2、求出谐振子任意时刻的状态 ;)(|t3、计算在态 中能量的期待值。)(|t解：1、归一化条件 1)0(|=25|4|10A|43A2A52、 t)Eiexp(-|5t)Eiexp(-|(t)| 1100 3、 2,nEH 5072159)(126E5 )exp(|54)exp(|53)exp(|53)exp(|4 tEi-|tEi-|tHEi|ti|5()(t)0 11000011 能 量 的 期 待 值 ：
