1、2.1.证 明 在 定 态 中 ， 几 率 流 与 时 间 无 关 。 证 ： 对 于 定 态 ， 可 令 )r()r()r(m2i e)r(eeei )(2iJ e)rt(ftr( * EtiEti*EtiEti*Eti 与与与与与可 见 tJ与无 关 。 2.2 由 下 列 定 态 波 函 数 计 算 几 率 流 密 度 ： ikrikr ee1)2( 1)( 从 所 得 结 果 说 明 表 示 向 外 传 播 的 球 面 波 ， 2表 示 向 内 (即 向 原 点 ) 传 播 的 球 面 波 。 解 ： 分 量只 有和 J21 在 球 坐 标 中 sinr1err0 rmkr rikri
2、i eerrimiJ ikrikrikik302 022 01*11 )()( ( )(2 )(rJ1与同 向 。 表 示 向 外 传 播 的 球 面 波 。 rmkrk rikii erereii ikrikikik 302 022 0*222 )1(1)1( ( )( )(可 见 ， J与2反 向 。 表 示 向 内 (即 向 原 点 ) 传 播 的 球 面 波 。 2.3 一 粒 子 在 一 维 势 场 axU， ， 0 )( 中 运 动 ， 求 粒 子 的 能 级 和 对 应 的 波 函 数 。 解 ： t与)(无 关 ， 是 定 态 问 题 。 其 定 态 S方 程 )()()(2x
3、Exdxm 在 各 区 域 的 具 体 形 式 为 ： )()()(2 0 111 xEUd ： 22xxax ： )()()(3332 xm 由 于 (1)、 (3)方 程 中 ， 由 于 ， 要 等 式 成 立 ， 必 须 0x 2 即 粒 子 不 能 运 动 到 势 阱 以 外 的 地 方 去 。 方 程 (2)可 变 为 0)(2)(2xEdx 令 2mk， 得 )()(2kdx 其 解 为 xBAcossin2 根 据 波 函 数 的 标 准 条 件 确 定 系 数 A， B， 由 连 续 性 条 件 ， 得 )0(12 )(3a B 0sinkA ),3 21( 0sinkaA x
4、axi)(2 由 归 一 化 条 件 1)(d 得 sin02axA 由 mnb axdnm2si 2.4. 证 明 （ 2.6-14） 式 中 的 归 一 化 常 数 是 aA1 证 ： xanAn ,0 ),(si 由 归 一 化 ， 得 aAaxndxxanAddxaaan22222)(sico)(s1)(i 归 一 化 常 数 1 3.7 一 维 运 动 粒 子 的 状 态 是 0 ,0 )(xAex当当 其 中 ， 求 ： (1)粒 子 动 量 的 几 率 分 布 函 数 ； (2)粒 子 的 平 均 动 量 。 解 ： (1)先 求 归 一 化 常 数 ， 由 022dxed 34
5、A 2/ xex)( )( 0 0 dxxedpc ikikx )(2121 )(/3/ ikei ixik)(0)(/13)( 22/1322/ )()pi 动 量 几 率 分 布 函 数 为 2232232 )(1)()(pc (2) dxexidxpp )(4)(3* ei 2314 x)( 423i 0 axxanx ,0 ,0 ,si)( 2En )321(， 动 量 的 几 率 分 布 函 数 为 )nCE an dxdxC0* )(si( 先 把 )(x归 一 化 ， 由 归 一 化 条 件 ， aa dxAA0222022 )()(1 adxA0432( )53525 a n
6、dxanC05)(si2 si1023 nxdaa 3.8.在 一 维 无 限 深 势 阱 中 运 动 的 粒 子 ， 势 阱 的 宽 度 为 a， 如 果 粒 子 的 状 态 由 波 函 数 )()(xaA 描 写 ， A为 归 一 化 常 数 ， 求 粒 子 的 几 率 分 布 和 能 量 的 平 均 值 。 解 ： 由 波 函 数 的 形 式 可 知 一 维 无 限 深 势 阱 的 分 布 如 图 示 。 粒 子 能 量 的 本 征 函 数 和 本 征 值 为 axxanx ,0 ,0 ,si2)( 2En )321(， 动 量 的 几 率 分 布 函 数 为 )nCE an dxdxC
7、0* )(si( 先 把 )(x归 一 化 ， 由 归 一 化 条 件 ， aa dxAA0222022 )()(1 adxA0432( )53525 a n dxanC05)(si2 si1023 nxdaa axnaxnxa032 22323 cossi cosico5 )1(543 262)1(40)( nnCE ,420 5396， ， adxpdxH02)()()( a0 25 3 )3()(52 adx 2a 4.1.求 在 动 量 表 象 中 角 动 量 xL的 矩 阵 元 和 2x的 矩 阵 元 。 解 ： depzyeLriyrpipx )()21()(3 riyzri de
8、ppierizyzrpi )()21(3 i rizyz 与321 )()(ppyzy 4.5 设 已 知 在 ZL2与的 共 同 表 象 中 ， 算 符 yxL和 的 矩 阵 分 别 为 01x 02iiy 求 它 们 的 本 征 值 和 归 一 化 的 本 征 函 数 。 最 后 将 矩 阵 yx和 对 角 化 。 解 ： xL的 久 期 方 程 为 002023 3210与与 xL的 本 征 值 为 ， 的 本 征 方 程 32132102a 其 中 321a设 为 xL的 本 征 函 数 ZL2和 共 同 表 象 中 的 矩 阵 当 01时 ， 有 02321a 0 213231 a与
9、 10a 由 归 一 化 条 件 211*100),(a 取 21a 取 21a 归 一 化 的 21对 应 于 xL的 本 征 值 当 2时 ， 有 3213210a 13321321231)( aaaa 11a 由 归 一 化 条 件 2111*1* 4),2,( a 取 1a 5.3 设 一 体 系 未 受 微 扰 作 用 时 有 两 个 能 级 ： 021E与， 现 在 受 到 微 扰 H的 作 用 ， 微 扰 矩 阵 元 为bHaH2121与； a、 都 是 实 数 。 用 微 扰 公 式 求 能 量 至 二 级 修 正 值 。 解 ： 由 微 扰 公 式 得 nE)( mmnnE)0()(2)2( 得 bb 2)1(1)(0 021012)2(1 aHEmm 01202)2(0 E 能 量 的 二 级 修 正 值 为 02101abE 2
