1、12 在 0K 附近，钠的价电子能量约为 3eV，求其德布罗意波长。解 根据德布罗意波粒二象性的关系，可知E=hv，hP如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（ ） ，那么2cEe动ep2如果我们考察的是相对性的光子，那么E=pc注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为 3eV，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即 ，因此利用非相对论性的电eV6105.子的能量动量关系式，这样，便有 phnmEchee71.035.24296在这里，利用了 eVhc624.以及 e105.最后，对 Eche2作一点讨论，从上式可以看出，当粒子的质量越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较
2、强；同样的，当粒子的动能越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强，由于宏观世界的物体质量普遍很大，因而波动性极弱，显现出来的都是粒子性，这种波粒二象性，从某种子意义来说，只有在微观世界才能显现。13 氦原子的动能是 （k 为玻耳兹曼常数） ，求 T=1K 时，TE23氦原子的德布罗意波长。解 根据，eVKk310知本题的氦原子的动能为 ,5.233TE显然远远小于 这样，便有2c核Ech2核nmm37.0110524936这里，利用了 eVec962 107.34核最后，再对德布罗意波长与温度的关系作一点讨论，由某种粒子构成的温度为 T 的体系，其中粒子的平均动能的
3、数量级为 kT，这样，其相庆的德布罗意波长就为 TkchEc22据此可知，当体系的温度越低，相应的德布罗意波长就越长，这时这种粒子的波动性就越明显，特别是当波长长到比粒子间的平均距离还长时，粒子间的相干性就尤为明显，因此这时就能用经典的描述粒子统计分布的玻耳兹曼分布，而必须用量子的描述粒子的统计分布玻色分布或费米公布。14 利用玻尔索末菲的量子化条件，求：（1）一维谐振子的能量；（2）在均匀磁场中作圆周运动的电子轨道的可能半径。已知外磁场 H=10T，玻尔磁子 ，试计算运能12409TJMB的量子化间隔E，并与 T=4K 及 T=100K 的热运动能量相比较。解 玻尔索末菲的量子化条件为 nh
4、pdq其中 q 是微观粒子的一个广义坐标，p 是与之相对应的广义动量，回路积分是沿运动轨道积一圈，n 是正整数。（1）设一维谐振子的劲度常数为 k，谐振子质量为 ，于是有221xpE这样，便有)21(kxEp这里的正负号分别表示谐振子沿着正方向运动和沿着负方向运动，一正一负正好表示一个来回，运动了一圈。此外，根据 21kx可解出 Ex这表示谐振子的正负方向的最大位移。这样，根据玻尔索末菲的量子化条件，有 xx nhdxkEdkE)21()21(xx 22hndkx)1(为了积分上述方程的左边，作以下变量代换； si2kEx这样，便有 hnd2sicos222 kEhnd2cos22这时，令上式
5、左边的积分为 A，此外再构造一个积分22sikEB这样，便有（1）222cos,dkEBA2,cos)(dk这里 =2 ，这样，就有（2）0sindkEBA根据式（1）和（2） ，便有这样，便有 hnkE2k,nh其中 2h最后，对此解作一点讨论。首先，注意到谐振子的能量被量子化了；其次，这量子化的能量是等间隔分布的。（2）当电子在均匀磁场中作圆周运动时，有 BqR2p这时，玻尔索末菲的量子化条件就为 20)(nhdqBR2又因为动能耐 ，所以，有2pE2)(BqE,BnN其中， 是玻尔磁子，这样，发现量子化的能量也是等间隔的，2qMB而且 BME具体到本题，有 JJ232410910根据动能与温度的关系式kTE23以及 JeVKk23106.10可知，当温度 T=4K 时， 2.9.45.当温度 T=100K 时， JJE2014.1061显然，两种情况下的热运动所对应的能量要大于前面的量子化的能量的间隔。
